圆锥曲线方程

1、第八章 圆锥曲线方程双曲线,圆锥曲线因为有很多比如对称、离心等优良完美 的性质，在我们平常生活中的 建筑、美学等领域应用非常广 泛，特别像椭圆在航天领域的 运用、双曲线在航海领域的运 用、抛物线在军事领域的运用 ，使人类科技发展更是垫下了 夯实的基石。双曲线是圆锥曲 线的成员之一，对它的学习， 也为以后对双曲面的学习打下 基础。 （罗兰长程航海定位法,8.3 双曲线及其标准方程,1. 到两个定点的距离之和为常数的点的轨迹是椭圆(动画1)所示。 其中：F1、F2都是平面上的定点，且P到F1和F2的距离之和为定值5cm，按此关系得到的点P的轨迹是一个椭圆。 2. 那如果到两个定点的距离之差为非零常

2、数的点，会有特定的轨迹吗,例：B是圆A外一定点，在圆A上取一动点D， 过直线A、D有一条直线，连B、D。取BD 的中点为E，过E作线段BD的 垂线m，当m与AD不平行时， 找出直线m与直线AD 的交点P的轨迹,解：令圆A的半径为r( 0r|AB|),因为 m是 线段BD的中垂线，则 BP=DP 故 AP-BD =AP-DP =AD =r 即AP-BD=r(定 值)P的轨迹(动画2,双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。 双曲线的标准方程：建立直角坐标系xoy,与椭圆的

3、规定一样，焦点F1、F2的坐标分别为（-c,0）和（c,0） 其中（c0），P与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a.设P的坐标为（x,y）。 则由定义： |PF1|= |PF2|= |PF1|- |PF2|= 2a,化简得： 由双曲线的定义可知，2c2a,令 方程等价于： 即为双曲线的标准方程(动画3,8.4 双曲线的简单几何性质,双曲线的标准方程(焦点在x轴)为(焦点在y轴上如(动画3)： 范围 由 知 即 ；显然 。 2. 对称性 将x换成-x，y换成-y，方程仍成立，故横、纵坐标轴都是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心。把双曲线的对称中心叫做双曲线的中心,顶点 令y=0得x=

4、a ,因此，双曲线和x轴有两个交点 A1(-a,0）、A2(a,0)。因为x轴是双曲线的对称轴,所 以这两个交点称为双曲线的顶点。尽管令x=0,得 ,这个方程没有实根，即与y轴没有交点， 但为了便于研究(比如表示渐近线)，仍把B1(0,-b)、 B2(0,b)画在y轴上。 把线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a 叫做双曲线的实半轴长；线段B1B2叫做双曲线的虚轴 它的长为2b，b叫做双曲线的虚半轴长,渐近线 所谓的渐近线，就是某曲线无限的靠 近而又不与之相交的曲线。 双曲线的渐近线是两条相 交的直线，如右图示： 求直线m,n的方程最简便的 方法是：将,改写为： 。 得 。 之所以这样

5、做，是因为双曲线上的点P的坐标为(x, ),可以写成: P,当x无限增大时， a/x无限减小，接近于0，当接近于的0 时候， P点的坐标就可视为p(x,bx/a)(极限), 这时的OP所在 直线的斜率(b/a)就接近直线 m的斜率(b/a)。 其它象限类似。 特别地，当 a与b相等时，实轴与 虚轴相等，渐近线y= x 。像这样， 实轴与虚轴相等的双曲线叫做等轴双 曲线。 如图： 渐近线的斜率k= 1,离心率 双曲线的焦距与实轴长的比值e=c/a，叫做双曲 线的离心率。因为总有ca0，所以双曲线的离心率 e1。 可知，e越大，双曲线的开口越阔,例题：点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到定直线l：x= /c的距离之 比是常数c/a(ca0),求点M的轨迹。 解：已知F(c,0)，设M(x,y),由题意： MF/d=c/a 将坐标代入，有 化简得 设,得： 。 准线 由该例题可知，当点M到一个定点的距离和它到 一条定直线的距离比是常数e=c/a(e1)时，这个点 的轨迹是双曲线。定点是双曲线的焦点，定直线叫 做双