2011年高考数学难点、重点突破精讲精练专题五-函数的概念及其性质(教师版)

1、专题05函数的概念及其性质【名师导航】函数的概念及其性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）是高考考查的主要内容，函数的定义域、解析式、值域是高考考查重点，函数性质的综合考查在历年考试中久考不衰，应重点研究。1、映射与函数：以考查概念与运算为主，部分涉及新定义运算；2、定义域、值域、解析式是考查的重点，而且比较稳定，有时结合其它知识点（一本部分内容为背景），分段函数较多、花样翻新；3、函数的单调性在历年考试中久考不衰，且比例有上升趋势，和导函数联系较多； 4、函数的周期性在试题中往往不是直接给出的，考生要善于通过其他函数性质进行推理，将问题转化为较为明显的周期函数，再根据函数的周期性分析解决问题

2、。5、函数的奇偶性主要和单调性、不等式、最值、三角函数等综合，与周期性、对称性、抽象函数等问题联系较多。【考纲知识梳理】一、函数与映射的概念函数映射两集合设是两个非空数集设是两个非空集合对应关系如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应。如果按某一个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应。名称称为从集合到集合的一个函数称为从集合到集合的一个映射记法，对应是一个映射 注：函数与映射的区别：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集。二、函数的其他有

3、关概念（1）函数的定义域、值域在函数，中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（2）一个函数的构成要素定义域、值域和对应关系（3）相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数。注：若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？（不一定。如果函数y=x和y=x+1,其定义域与值域完全相同，但不是相等函数；再如y=sinx与y=cosx，其定义域为R，值域都为-1，1，显然不是相等函数。因此凑数两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系）（4）函数的表示方法表示函数的常用方法有：解析法、图象法和列表法。（5

4、）分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是个函数。一、函数的单调性（1）单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2当x1 x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的（2）单调区间的定义若函数f(x)在区间

5、D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫做f(x)的单调区间。注：单调区间是定义域的子区间二、函数的最值前提设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意xI，都有f(x)M存在xI，使得f(x)=M对于任意xI，都有f(x)M存在xI，使得f(x)=M结论M为最大值M为最小值注：函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素；任何一个函数，其值域必定存在，但其最值不一定存在。一、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)是偶函数。 关于y轴对称奇函数如果对

6、于函数f(x)的定义域内任意一个，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)是奇函数。关于原点对称注：1、奇偶函数的定义域的特点：由于定义中对任意一个x都有一个关于原点对称的-x在定义域中，即说明奇偶函数的定义域必关于原点对称；2、存在既是奇函数，又是偶函数的函数，它们的特点是定义域关于原点对称，且解析式化简后等于零。三、奇偶函数的性质1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反（填 “相同”、“ 相反”）。2、在公共定义域内，（1）两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；（2）两个偶函数的和函数、积函数是偶函数；（3）一个奇函数，一

7、个偶函数的积函数是奇函数。3、若是奇函数f(x)且在x=0处有定义，则f(0)=0.4、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；5、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；6、可逆性： 是偶函数；奇函数；7、等价性：8、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；9、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。四、函数的周期性 函数的周期性在试题中往往不是直接给出的，考生要善于通过其他函数性质进行推理，将问题转化为较为明显的周期函数，再根据函数的周期性分析解决问题。【难点精析】一、函数单调性的判定1、用定义证明函数

8、单调性的一般步骤（1）取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1 x2.（2）作差：即f(x2) f(x1)(或f(x1)-f(x2)，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形。（3）定号：根据给定的区间和x2- x1符号，确定差f(x2) f(x1)(或f(x1)-f(x2)的符号。当符号不确定时，可以进行分类讨论。（4）判断：根据定义得出结论。2求函数的单调性或单调区间的方法（1）利用已知函数的单调性；（2）定义法：先求定义域，再利用单调性定义；（3）图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间。（4）导

9、数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间。注：函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制。例如函数y=1/x在内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为，不能用“”二、函数奇偶性的判定1、相关链接判断函数奇偶性的一般步骤（1）首先确定函数的定义域，看它是否关于原点对称。若不对称，则既不是奇函数又不是偶函数。（2）若定义域关于原点对称，再判定f(-x)与f(x)之间的关系若f(-x)=-f(x)（或f(-x) +f(x)=0），则为奇函数；若f(-x)=f(x)(或 f(-x) -f(x)=0)，则f(x)为偶函数；若f(-x)=-f(x)

10、且f(-x)=f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数;若f(-x) f(x)且f(-x)- f(x)，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数。一些重要类型的奇偶函数函数f(x)=ax+a-x为偶函数; 函数f(x)=ax-a-x为奇函数；函数f(x)=( ax-a-x)/( ax+a-x)=( ax-1)/( ax+1)其中（a0且a1）为奇函数；函数f(x)=loga()为奇函数（a0且a1）;函数f(x)= loga()为奇函数（a0且a1）例题【解析】例1：已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间0,2上是增函数,若方程f(x)=m(m0)在区间上有四个不同的根,则【答案】 -8【命题立意】

11、:本题综合考查了函数的奇偶性,单调性,对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题,运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题.例2：若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（ D ）ABCD【解析】用代换x得： ，解得：，而单调递增且大于等于0，选D。点评：本题主要综合考查函数的性质.【难点突破训练】1、若一系列函数的解析式相同,值域相同但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,那么函数解析式为y=2x2+1,值域为3,19的“孪生函数”共有 A.15个 B.12个 C.9个 D.8个【答案】C 将x=3代入2x2+1=3,得x=1;将x=19代入2x2+1=19,x=3.要使值域为3,

12、19,定义域可以是1,3,-1,3,1,-3,-1,-3,1,-1,3,1,-1,-3,1,3,-3,-1,3,-3,1,-1,3,-3共9种,“孪生函数”共有9种.2、函数的定义域为（ ） 【答案】B 要使函数有意义，则需，解得x,所以，函数的定义域为x|x1,故选B。3、已知函数f(x+1)是偶函数，当x2x11时，f (x2) f (x1)( x2x1)0恒成立，设a=f (),b=f (2),c=f (3),则a,b,c的大小关系为 Abac Bcba Cbca Dabc【答案】A 由题意可知，当z1时，函数f(x)单调递增，f(x)的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为偶函数，

13、所以函数f(x)的大致图象如图所示，所以f()=f(),f(2) f()f(3),所以bac,选A. 4、已知函数f(x)=2ax2ax+1(a0),若x1x2,x1+x2=0,则f(x1)与f(x2)的大小关系是( ) A.f(x1)=f(x2) B.f(x1)f(x2)C.f(x1)f(x2) D.与a的值有关【答案】C 【解析】函数据的图象开口向下，对称轴为，又依题意得x10，x20，且x1与x2关于y轴对称，则x1到的距离大于x2到的距离，即，故f(x1) f(x2)，选C5、我们用记号ei来表示复数cos+isin,即ei=cos+isin.(其中e=2.718是自然对数的底数,的单

14、位是弧度),则2=2i;=sin;+1=1.其中正确的式子序号是( ) A. B. C. D.【答案】B【解析】， ，正确； ，错； ，正确，综上所述，其中正确式子的序号为，故选B6、已知函数f(x)=,则ff()的值是( ) A.9 B. C.9 D.【答案】B【解析】本题考查分段函数概念.由条件易知.7、下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（ ） A B C D【答案】A y=x+x在其其定义域内既是增函数又是奇函数，y=logx其定义域内是减函数,y=3在其定义域内是非奇非偶函数，y=在其定义域内无单调性. 8、已知函数，若的图象与的图象关于点(2，0)对称，则等于 ( )

15、A.5 B.5 C.1 D.1【答案】B 【解析】求解本题的关键是利用对称关系和函数 f(x)的解析式进行求解因为abc g(1)，(1，g(1)在函数g(x)上，其关于点(2，0)的对称点(3，g(1)在函数f(x)上，则将其代人函数f(x)的解析式得g(1)5，故选择B求解问题要注意发现“破题点”，如本题abcg(1)，是求解的突破口关于图象的对称问题实质上都是关于点的对称，故在具体求解对称问题时要能够借助于点的对称关系求解有关问题9、已知f(x)是定义在(0,+)上的非负可导函数,如果对任意正数x,xf(x)f(x)都成立,那么对于任意正数a、b,若ab,则必有 A.af(b)bf(a)

16、 B.af(b)bf(a)C.af(a)bf(b) D.af(a)bf(b)【答案】B【解析】由题知xf(x)-f(x)0,则()=0.故在(0,+)上是减函数.0ab,得af(b)bf(a). 10、定义在R上的函数f(x)在(-,0)上是减函数,则“f(x)在(0,+)上是减函数”是“f(x)为奇函数”的 A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由“f(x)在（0,+)上是减函数”“f(x)为奇函数”,而“f(x)为奇函数”“f(x)在(0,+)上是减函数”,“f(x)在(0,+)上是减函数”是“f(x)为奇函数”的必要不充分条件. 1

17、1、定义运算:a*b=如1*2=1,则函数f(x)=2x*2-x的值域为 A.R B.(0,+) C.(0,1 D.1,+)【答案】C【解析】a*b=f(x)=2x*2-x=当x0时,f(x)=2-x,当x0时,0f(x)1.又当x0时,f(x)=2x,当x0时,0f(x)1.f(x)=2x*2-x的值域为(0,1. 12、已知对任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)= g(x),且x0时f(x)0,g(x)0,则x0时 A.f(x)0,g(x)0 B.f(x)0,g(x)0C.f(x)0,g(x)0 D.f(x)0,g(x)0【答案】B【解析】由题意知,f(x)为奇函数,g(x)为

18、偶函数,且在(0,+)上f(x)与g(x)均为增函数,在(-,0)上f(x)为增函数,g(x)为减函数.有f(x)0,g(x)0. 13、下列函数中既是偶函数,又是区间-1,0上的减函数的是 A.y=cosx B.y=-|x-1|C.y=ln D.y=ex+e-x【答案】D【解析】y=cosx在-1,0上为增函数,A项不正确;y=-|x-1|不是偶函数,B项不正确;y=ln为(-2,2)上的奇函数,C项不正确;故选D. 14、已知f(x)是定义在实数集R上的函数,它的反函数为f-1(x),若y=f-1(x+1)与y=f(x+1)互为反函数,且f(1)=1,则f(2)的值为 A.2 B.1 C.

19、0 D.-1【答案】C【解析】由y=f-1(x+1),得x+1=f(y),得x=f(y)-1,y=f-1(x+1)的反函数为y=f(x)-1.f(x+1)=f(x)-1.令x=1,得f(2)=f(1)-1=0. 15、已知函数f(x)在R上同时满足条件：对于任意x,yR都有f(x+y)=f(x)+f(y)；当x0时，f(x)0，则函数f(x)在R上 A.是奇函数且是减函数 B.是奇函数且是增函数C.是奇函数且不具有单调性 D.是偶函数且不具有单调性【答案】A【解析】x、yR,有f(x+y)=f(x)+f(y),令y=-x,f(x-x)=f(x)+f(y).f(x)+f(y)=f(0).又f(0

20、+0)=f(0)+f(0),f(0)=0.f(x)=-f(-x).取x1x2,则f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)0,f(x2)f(x1).f(x)在R上是奇函数且是减函数.故选A. 16、定义在(-,+)上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且在-1,0上是增函数,下面关于f(x)的判断:f(x)是周期函数;f(x)的图象关于直线x=1对称;f(x)在0,1上是增函数;f(x)在1,2上是减函数. 其中所有正确的判断是A. B. C. D.【答案】B【解析】f(x+2)=f(x),f(x)的周期T=2.又f(x)为偶函数,且f(x)在-1,0上是增函数

21、,f(x)在0,1上是减函数,f(x)在1,2上是增函数.故判断正确,判断错误.故选B. 17、对于定义在R上的函数y=f(x),有下述四个命题: 若y=f(x)是奇函数,则y=f(x-1)的图象关于点A(1,0)对称;若对于任意xR,有f(x+1)=f(x-1),则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称;若函数y=f(x-1)的图象关于直线x=i对称,则y=f(x)为偶函数;函数y=f(1+x)与函数y=f(1-x)的图象关于x=1对称.其中正确命题的个数为A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】中f(x)的图象关于原点对称,则f(x-1)的图象关于(1,0)点对称;中f(x+1)

22、=f(x-1)时,满足f(3)=f(1),又函数f(x)不恒为常函数,图象不一定关于x=1对称;f(x-1)关于x=1对称,则f(x)的图象关于y轴对称,f(x)为偶函数;当x=1时,两函数的函数值分别为y1=f(2),y2=f(0),且y1y2.综上知正确. 18、定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且在-1,0上是增函数,下面关于f(x)的判断:(1)f(x)是周期函数;(2)f(x)的图象关于直线x=1对称;(3)f(x)在0,1上是增函数;(4)f(x)在1,2上是减函数.其中所有正确的判断是 A.(1)(4) B.(1)(2) C.(3)(4) D.(2)(3)【答

23、案】答案:B【解析】f(x+2)=f(x),f(x)是以2为周期的周期函数,故(1)正确.f(x)为偶函数,f(x+1)=f(x-1)=f(1-x),f(x)关于直线x=1对称,(2)正确.f(x)在0,1上是减函数,在1,2上是增函数.19、函数f(x)=的定义域为 A.(-2,4 B.-4,2) C.(-4,2) D.-4,2【答案】答案:B【解析】若使函数有意义,则0-4x2.故定义域为-4,2).20、函数f(x)=+(0x1)的最小值为 A.2 B.4 C. D.1【答案】答案:B【解析】f(x)=,0x1,f(x)min=f()=4.21、函数y=1-()x的定义域是_. 【答案】

24、0,+) 由1-()x0,得()x1,解得x0.函数的定义域为0,+). 22、设函数f(x)=x,给出下列四个命题:函数f(|x|)为偶函数;若|f(a)|=|f(b)|,其中a0,b0,ab,则ab=1;函数f(-x2+2x)在(1,2)上为单调增函数;若0a1,则|f(1+a)|f(1-a)|.则正确命题的序号是_.(把正确命题的序号都写上) 【答案】 f(x)=x,f(|x|)=|x|为偶函数,正确;若|f(a)|=|f(b)|,不妨设0a1,b1,则|f(a)|=|f(b)|f(a)=-f(b)f(a)+f(b)=0log2ab=0ab=1,正确.f(x)在(0,+)上单调递减,而n

25、=-x2+2x在(1,2)上单调递减,且u0,f(-x2+2x)在(1,2)上单调递增，正确.当0a1时,11+a2,01-a1,01-a21,则|f(1+a)|-|f(1-a)|=|(1+a)|-|(1-a)|=-(1+a)-(1-a)=-(1-a2)0,正确.综上，得均为正确命题. 23、若函数f(x)=2x+3的图象与g(x)的图象关于_对称，则函数g(x)= _. （注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）【答案】x轴,g(x)=-2x-3;y轴,g(x)=2-x+3;直线y=x,g(x)=log2(x-3);(0,0),g(x)=-2-x-3(答案不唯一)

26、。24、下列命题： 函数y=sinx在第一象限是增函数；函数y=cosx+的最小正周期是；函数y=tan的图象的对称中心是(k,0),kZ；函数y=lg(1+2cos2x)的递减区间是k,k+),kZ；函数y=3sin(2x+)的图象可由函数y=3sin2x的图象按向量a=(,0)平移得到.其中正确的命题序号是_.【答案】25、将函数f(x)图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的倍,然后再将得到的图象向下平移1个单位,又得到了函数f(x)的图象.试写出满足题意的一个函数为_. 【答案】f(x)=log2x y=f(x)y=f(2x)y=f(2x)-1,f(2x)-1=f(x).y=log2

27、x. 26、给出下列四个结论： 若A、B、C、D是平面内四点，则必有+=+；“ab0”是“ab”的充要条件；如果函数f(x)对任意的xR都满足f(x)=-f(2+x)，则函数f(x)是周期函数；已知Sn是等差数列an(nN+)的前n项和，且S6S7S5，则S120.其中正确结论的序号是_.（填上所有正确结论的序号）【答案】 设O是平面内任意点,则+=+,+=+,+=+,正确;由ab0成立,可推得ab;但ab成立,不一定有ab0成立,只需ab即可,所以应是充分不必要条件,不正确;由f(x)=-f(2+x),f(2+x)=-f(4+x).f(x)=f(4+x).周期为4,正确;S6S7,S7-S6

28、0.a70,S13=13a70.又S7S5,S7-S50.a6+a70,S12=(a1+a12)12=6(a6+a7)0,正确.故正确. 27、若f(x)是R上的增函数，且f(-1)=-4,f(2)=2，设P=x|f(x+t)2,Q=x|f(x)-4，若“xP”是“xQ”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是_. 【答案】(3,+) P中:f(x+t)2,x+t2.x2-t;Q中:f(x)-4,x-1.“xP”是“xQ”的充分不必要条件,2-t-1.t3.28、已知函数f(x)的定义域为-2,+)，部分对应值如下表， x-204f(x)1-11f(x)为f(x)的导函数，函数y=f(x)的图象

29、如图所示.若两正数a,b满足f(2a+b)1，则的取值范围是_.【答案】(,) 由y=f(x)图象,知f(x)在-2,0上为减函数,在0,4上为增函数.由f(-2)=1,f(0)=-1,f(4)=1,又f(2a+b)1,-22a+b4,且a0,b0.可行域如右图阴影部分,而可看作(a,b)与(-3,-3)两点连线的斜率,记P(-3,-3),kPA=,kPB=,的范围为(,).29、已知f(x)=则f()=_,f=_. 【答案】0 f()=f(2)=f(1)=0,1,f=f2=f().又1,f()=f(2)=f().1,f=f()=log2=.30、已知函数f(x)=log2(x2-ax+3a)

30、，对于任意x2，当x0时，恒有f(x+x)f(x)，则实数a的取值范围是_. 【答案】(-4,4 由题意知,f(x)=log2(x2-ax+3a)在2,+)上为增函数,令g(x)=x2-ax+3a,则即-4a4.故实数a的取值范围为(-4,4. 31、设函数f(x)=|x-2|+|x+1|,若f(x)5,则x的取值范围是_. 【答案】-2,3 f(x)=|x-2|+|x+1|=当x2时,由2x-15得2x3;当-1x2时,由35得-1x2;当x-1时,由1-2x5得-2x-1.综上,x的取值范围是-2,3.32、已知f(x)=+2(kR),若f(lg2)=0,则f(lg)=_. 【答案】4 由

31、+2=0得k=-2lg2,即f(x)=+2.f(lg)=+2=+2=4.33、设函数f(x)=x,给出下列四个命题:函数f(|x|)为偶函数;若|f(a)|=|f(b)|,其中a0, b0,ab,则ab=1;函数f(-x2+2x)在(1,2)上为单调增函数;若0a1,则|f(1+a)|f(1-a)|.则正确命题的序号是_(把正确命题的序号都写上). 【答案】 f(x)=x,f(|x|)=|x|,为偶函数,正确.若|f(a)|=|f(b)|,不妨设0a1,b1,则|f(a)|=|f(b)|f(a)=-f(b)f(a)+f(b)=0log2ab=0ab=1.正确.f(x)在(0,+)上单调递减,而

32、u=-x2+2x在(1,2)内单调递减且u0,f(-x2+2x)在(1,2)上单调递增,正确.当0a1时,11+a2,01-a1,01-a21,则|f(1+a)|-|f(1-a)|=|(1+a)|-|(1-a)|=-(1+a)-(1-a)=-(1-a2)0,正确.综上得,均为正确命题.34、若f(x)是R上的增函数，且f(-1)=-4,f(2)=2，设P=x|f(x+t)2,Qx|f(x)-4，若“xP”是“xQ”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是_. 【答案】(3,+) P中:f(x+t)2,x+t2.x2-t.Q中:f(x)-4,x-1.“xP”是“xQ”的充分不必要条件,2-t-1.

33、t3.35、已知函数f(x)=满足对任意x1x2,都有0成立，则a的取值范围是_. 【答案】(0, 函数f(x)对任意x1x2都有0成立,函数f(x)在R上为减函数,故0a.36、【合肥市2010年高三第一次教学质量检测(理)】已知函数. (1)求函数的单调区间；(2)试说明是否存在实数，使若的图像与直线无公共点 (其中自然对数的底数为无理数且).【答案】【解析】（1）函数 若上恒成立， 若 （2）时，由（I）可知，上的最小值为 即存在 故存在无交点。 37、【14分】设函数 （1）当时，求的最大值； （2）令，（03），其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围； （3）当，方程有

34、唯一实数解，求正数的值。【答案】【解析】（1）依题意，知的定义域为（0，+） 当时， 令=0，解得或x=-2(舍去). 当时，此时单调递增； 当时，此时单调递减。 所以的极大值为，此即为最大值。 （2）， 则有，在上恒成立， 所以， 当时，取得最大值，所以 （3）当a=0，b= -1时，因为方程有唯一实数解， 所以有唯一实数解， 设， 则. 令，得. 因为，所以（舍去）， 当时，在（0，）上单调递减， 当时，在（，+）单调递增 当时，=0，取最小值. 则既 所以， 因为，所以（*） 令，h (x)= +1, 因为当时，是增函数，所以至多有一解。 因为，所以方程（*）的解为， 即， 解得. 38

35、、【12分】已知函数 （1） 求x为何值时，上取得最大值； （2）设是单调递增函数，求a的取值范围.【答案】【解析】（1）易得 由题意可知函数f(x)的定义域为x2. （2） F(x)是单调递增函数，恒成立又显然在恒成立.恒成立. 下面分情况讨论 的解的情况.当时，显然不可能有上恒成立.当上恒成立.当时，有两种情况：；由得，无解；由得综上所述各种情况，当上恒成立.所求的a的取值范围为 39、【16分】已知kR,函数. () 如果实数m,n满足,函数是否具有奇偶性？如果有,求出相应的k值,如果没有，说明为什么?() 如果，判断函数的单调性；() 如果，且，求函数的对称轴或对称中心.()m1n0，

36、当k 0时，显然f(x)mx + knx在R上为增函数；当k0时，由nx 0，得，得，得当x(， 时，f(x)0，f(x)为减函数；当x ， + )时，f(x)0，f(x)为增函数；()当m2，时，f(x)2x + k2x，如果k0， f(x)2x + k2x2x(k)2-x，则f(2(k)x) f(x)，函数yf(x)有对称中心(，0)如果k0f(x)2x + k2x，则 f(2kx) f(x)，函数yf(x)有对称轴 40、【14分】 设m、n为正整数，且轴的两个交点间的距离为轴的两个交点间的距离为、n的值。 【答案】解：设二次函数yx2 +(3m t)x3m t的图象与x轴的两个交点分别

37、为(x1，0)，(x2，0)二次函数yx2 +(2tn)x + 2 n t的图象与x轴的两个交点分别为(x3，0)，(x4，0)则；d1 d2对一切实数t恒成立，(mt3)2 + 12m t (n2t)2 + 8nt对一切实数t恒成立，即：(m24)t2 + (6m4n)t + 9n2 0对一切实数t恒成立；整理得又m，n为正整数，m3，n2或m6，n1 41、【12分】设函数f(x)=1(x0). （1）求f(x)的单调区间；（2）是否存在正实数a,b(ab)，使函数f(x)的定义域为a,b时值域为,？若存在，求a,b的值;若不存在，请说明理由.【答案】解:(1)f(x)= f(x)的递减区

38、间为(0,1，递增区间为(1,+). （2）假使存在符合题设的a,b,则当0ab1时， a=b(与ab矛盾）. 当0a1b时，f(1)=0,a0b(这与a0矛盾）. 当1ab时， a,b是方程x2-6x+6=0的两根.a=3-,b=3+3. 综上,存在a=3-,b=3+满足题意. 42、【15分】设函数f(x)=(1+x)2-ln(1+x)2. (1)求函数f(x)的单调区间;(2)当x-1,e-1时，不等式f(x)m恒成立,求实数m的取值范围;(3)关于x的方程f(x)=x2+x+a在0,2上恰有两个相异实根，求实数a的取值范围.（e为自然常数，约等于2.718 281 828 459）【答

39、案】解:(1)函数定义域为(-,-1)(-1,+),f(x)=2(x+1)=,由f(x)0,得-2x-1或x0;由f(x)0,得x-2或-1x0,则递增区间是(-2,-1),(0,+),递减区间是(-,-2),(-1,0). (2)由f(x)=0,得x=0或x=-2.由（1）知,f(x)在-1,0上递减,在0,e-1上递增. 又f(-1)=+2,f(e-1)=e2-2,且e2-2+2,x-1,e-1时,f(x)max=e2-2,故me2-2时,不等式f(x)m恒成立. (3)方程f(x)=x2+x+a,即x-a+1-ln(1+x)2=0.记g(x)=x-a+1-ln(1+x)2,则g(x)=1

40、=.由g(x)0,得x-1或x1,由g(x)0,得-1x1.g(x)在0,1上递减,在1,2上递增. 为使f(x)=x2+x+a在0,2上恰好有两个相异的实根,只需g(x)=0在0,1)和(1,2上各有一个实根,于是有解得2-2ln2a3-2ln3. 43、【12分】设函数f(x)=ex-m-x,其中mR. (1)求函数f(x)的最值;(2)定理:若函数g(x)在a,b上连续,且g(a)与g(b)异号,则至少存在一点x0(a,b),使得g(x0)=0.试用上述定理判断:当m1时,函数f(x)=0在区间(m,2m)内根的个数.(已知f(x)在R上连续)【答案】解:(1)f(x)在(-,+)上连续

41、,f(x)=ex-m-1,令f(x)=0,得x=m. 当x(-,m)时,ex-m1,f(x)0;当x(m,+)时,ex-m1,f(x)0.当x=m时,f(x)取极小值也是最小值.f(x)min=f(m)=1-m;又当x趋向-时,ex-m趋向于0,f(x)=ex-m-x趋向于无穷大.f(x)无最大值. (2)函数f(x)在m,2m上连续.而f(2m)=em-2m,令g(m)=em-2m,则g(m)=em-2,m1,g(m)e-20.g(m)在(1,+)上递增. 由g(1)=e-20得g(m)g(1)0,即f(2m)0, 又f(m)=1-m0,f(m)f(2m)0.又f(x)在m,2m上为单调增函

42、数,根据定理,可判断函数f(x)=0在区间(m,2m)上只有一根. 44、【16分】已知函数f(x)=(x2-2ax)ex,xR,aR. （1）当a0时,f(x)是否存在最小值,若存在,请求出相应x的值；若不存在,请说明理由.（2）当x-2,时,若f(x)的图象上存在两点M,N,使得直线MNy轴，求实数a的取值范围.【答案】解:(1)f(x)=(x2+2x-2ax-2a)ex,令f(x)=0,即x2+2(1-a)x-2a=0,解得x1=a-1-,x2=a-1+.2分a0,x1-1,x20.当xx1或xx2时,f(x)0;当x1xx2时,f(x)0,f(x)在(-,x1)和(x2,+)上单调递增

43、,在(x1,x2)上单调递减.f(x)在x1处取极大值,在x2处取得极小值. 又当x=0时,f(x)=0;当x0时,f(x)=x(x-2a)ex0, x(-,a-1-)时,f(x)(0,f(a-1-).x(a-1-,a-1+)时,f(x)(f(a-1-),f(a-1+);x(a-1+,+)时,f(x)(f(a-1+),+),又f(a-1+)=(2-2)0,x=a-1+时，f(x)取得最小值. (2)x-2,时f(x)的图象上存在两点M,N,使得直线MNy轴,则x-2,时f(x)不是单调增函数,也不是单调减函数,f(x)=(x2+2x-2ax-2a)ex在x-2,上有正有负.g(x)=x2+2x

44、-2ax-2a在x-2,上有正有负. 而g(-1)=1-2+2a-2a=-10,g(x)=x2+2x-2ax-2a在x-2,上有正有负的充要条件为g(-2)g()0或或 由g(-2)g()0,解得a0或a;或解得a不存在.综上,a的取值范围是a0或a. 注:(1)若学生从反面考虑,先求得函数f(x)单调时a的范围a0,再求其补集也可;(2)若学生求出f(x)=0的根x1=a-1,x2=a-1+,利用-2a-1-a2+1或-2a-1+a2+1,或或解得a0或a也可.(3)若学生未发现g(-1)0,直接从“”、“对称轴”、“端点函数值”综合考虑也可. 45、【14分】函数f(x)和g(x)的图象关

45、于原点对称,且f(x)=x2+2x. (1)求函数g(x)的解析式;(2)解不等式g(x)f(x)-|x-1|;(3)若h(x)=g(x)-f(x)+1在-1,1上是增函数,求实数的取值范围.【答案】解:(1)设函数y=f(x)的图象上任意一点Q(x0,y0)关于原点的对称点为P(x,y),则即点Q(x0,y0)在函数y=f(x)的图象上,-y=x2-2x,即y=-x2+2x,故g(x)=-x2+2x.(2)由g(x)f(x)-|x-1|,可得2x2-|x-1|0,当x1时,2x2-x+10,此时不等式无解.当x1时,2x2+x-10,解得-1x.因此,原不等式的解集为-1,.(3)方法一:h

46、(x)=-(1+)x2+2(1-)x+1.当=-1时,h(x)=4x+1在-1,1上是增函数,=-1.当-1时,对称轴的方程为x=.()当-1时,-1,解得-1.()当-1时,1,解得-10.综上所述,0.方法二:h(x)=-(1+)x2+2(1-)x+1,h(x)=-2(1+)x+2(1-).由已知h(x)=-2(1+)x+2(1-)0对x-1,1恒成立,得(1+x)1-x.当x=-1时,得到R;当x-1时,01+x2,得到.又=-1+0,0.综上所述,0.46、【14分】已知函数f(x)=lnx,g(x)=x2+bx(a0). (1)若a=-2时,函数h(x)=f(x)-g(x)在其定义域

47、内是增函数,求b的取值范围;(2)在(1)的结论下,设函数(x)=e2x+bex,x0,ln2,求函数(x)的最小值;(3)设函数f(x)的图象C1与函数g(x)的图象C2交于P、Q,过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N,问是否存在点R,使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在,求出R的横坐标;若不存在,请说明理由.【答案】解:(1)依题意:h(x)=lnx+x2-bx.h(x)在(0,+)上是增函数,h(x)=+2x-b0对x(0,+)恒成立. b+2x.x0,则+2x2.b的取值范围为(-,2. (2)设t=ex,则函数化为y=t2+bt,t1,2.y=(t+)2,当1,即-2b2时,函数y在1,2上为增函数.当t=1时,ymin=b+1. 当12,即-4b-2时,当t=时,ymin=;当2,即b-4时,函数y在1,2上为减函数,当t=2时,ymin=4+2b.综