北京航空航天大学附中高三数学一轮高考单元辅导与训练单元检测：计数原理

1、北京航空航天大学附中2019 高三数学一轮高考单元辅导与训练单元检测：计数原理本试卷分第卷( 选择题 ) 和第卷 ( 非选择题 ) 两部分满分150 分考试时间120 分钟第卷 ( 选择题共 60 分 )一、选择题( 本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1方程 ayb2 x2c 中的 a, b, c 3, 2,0,1,2,3 ，且 a, b, c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有( )A 60 条B 62 条C 71 条D 80 条【答案】 B2从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任选3 台， 其中至少要

2、有甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法有 () 来源:1A 35B 70C 84D 140【答案】 B3 5 人站成一排，甲、乙两人之间恰有1 人的不同站法的种数为( )A 18B 24C 36D 48【答案】 C来源 :学。科。网 Z。X。 X。K4某单位安排7 位员工对一周的 7 个夜晚值班，每位员工值一个夜班且不重复值班，其中员工甲必须安排在星期一或星期二值班，员工乙不能安排在星期二值班，员工丙必须安排在星期五值班，则这个单位安排夜晚值班的方案共有()A96 种B 144 种C 200 种D 216 种【答案】D5 (12x) 2009a1a1 xa2 x 2a2009 x 2009 (

3、x R) , 则 a1a2a2009的值为22222009( )2012ABCD【答案】 C6将 5 名同学分到甲、乙、丙3 个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为()来源: 学 +科+网A80B 120C 140D 50【答案】 A7从 6 名志愿者中选出4 人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有()A 280种B 2 40 种C 180 种D 96 种【答案】 B308二项式a2( )项的展开式的常数项为第3 aA 17B 18C 19D 20【答案】 C9 ( xa)5（ xR ）展开式中 x3

4、的系数为10，则实数 a 等于 ()xA -1B 1C 1D 22第 1页【答案】 D来源 :1ZXXK10防疫站有 A、 B、 C、 D 四名内科医生和E 、 F 两名儿科医生，现将他们分成两个3 人小组分别派往甲、乙两地指导疾病防控。两地都需要既有内科医生又有儿科医生，而且 A 只能去乙地。则不同的选派方案共有( ) 来源:1ZXXKA 6 种B 8 种C 12 种D 16 种【答案】 A11在 1， 2，3， 4，5 这五个数字所组成的允许有重复数字的三位数中，其各个数字之和为9的三位数共有 ()A 16 个B 18 个C 19 个D 21 个【答案】 C12用 5,6.7,8,9组成没

5、有重复数字的五位数. 其中有且仅有 - 个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数为 ()A 36B 48C 72D 120【答案】 A第卷 ( 非选择题共 90 分 )二、填空题 (本大题共4 个小题，每小题5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上)13已知 Ax212 ，则 x=。【答案】 414现有 7 件互不相同的产品，其中有4 件次品， 3件正品，每次从中任取一件测试，直到4 件次品全被测出为止，则第三件次品恰好在第4 次被测出的所有检测方法有_种 .【答案】 108015三位数 (100 ， 101， 999) 共 900 个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一个三位数，有的

6、卡片所印的，倒过来看仍为三位数，如198 倒过来看是861；有的卡片则不然，如 531 倒过来看是，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印_ 张卡片【答案】 3416将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有 5 种颜色可使用，那么不同的染色方法的总数是【答案】 420三、解答题 (本大题共6 个小题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17二项式 (1x )n 展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的4 倍 .3 x2求：（ 1） n ； (2）展开式中的所有的有理项。1xr 114Tr 1rn r()r( 1)rnr33【答案】 (1)二

7、项式的通项Cn (3 x )22rCn x依题意， Cn44(1)r1r Cn22解得 n=61(64 r )(2 ）由（ 1）得 Tr1(1)r 1r C6r x 3，当 r=0,3,6时为有理项，2第 2页故有理项有 T1152x6x2 , T4x , T764218已知二项式(x2n*）的 展开式中第5 项的系数与第3 项的系数的比是56：3 .x2) （ n N(1 ）求 n 的值；（2）求展开式中的常数项【答案】（ 1） n10 (2） 18019（ 1）比 50 00小且没有重复数字的自然数有多少个？(2 ）由 1 到 9 这 9个数字中每次选出5 个数字组成无重复数字的5 位数，

8、其中奇数位置上的数字只能是奇数，问有多少个这样的5 位数？其中奇数只能在奇数位置上，问又有多少个这样的5 位数 ?【 答案】（ 1） 2755；（ 2） 180 0； 2520.20从 1,3,5,7,9中任取 2个数，从0,2,4,6 中任取2 个数，能组成多少个没有重复数字的四位数？若将中所有个位是5 的四位数从小到大排成一列，则第100 个数是多少？【答案】不用0 时，有 C52C32A44720个；用0 时，有 C52C313A33540个；共有1260 个四位数 . “ 1 5”，中间所缺的两数只能从0,2,4,6中选排，有A4212个；“ 2 5”，中间所缺的两数是奇偶数各一个，有

9、C41C31 A2224个；“ 3 5”，仿“ 1 5”，也有 A4212个；“ 4 5”，仿“ 2 5”，也有 C1C1A224 个；432“ 6 5” 也有 C1C1 A2 24 个；即小于 7000 的数共有 96 个 .432故第 97 个数是 7025 ，第 98 个数是7045 ，第 99 个数是7065 ，第 100 个数是 7205 .21已知 (11 x)n 展开式的各项依次记为a1 (x), a2 ( x), a3 ( x),an (x), an 1 (x) 2设 F (x) a (x)2a ( x)3a ( x),na ( x)(n 1)a( x) 123nn 1(1 ）

10、若 a1 (x), a2 ( x), a3 ( x)的系数依次成等差数列，求n 的值；(2 ）求证：对任意x1, x20,2，恒有 | F (x1)F (x2 ) |2n1 (n2)1 .【 答案】（ 1）依题意 ak (x) Cnk 1 (1 x)k1， k1,2,3, n1，2a1 (x), a2 (x), a3 (x) 的系数依次为Cn01， Cn11n ， C n2(1 ) 2n(n 1)，2228所以 2 n1n(n1)，解得 n8 ；28(2 ） F (x)a (x) 2a ( x) 3a (x),na ( x)(n1)a( x)123nn 1第 3页设 SnCn02Cn13Cn2nCnn 1(n 1)Cnn ，则 Sn( n 1)CnnnCnn 13Cn22Cn1Cn0考虑到 CkCn k，将以上两式相加得：nn所以 Sn( n2)2n1又当 x0, 2时， F ( x)0恒成立，从而F ( x) 是 0, 2上的单调递增函数，所以对任意 x1, x20,2， | F ( x1 )F ( x2 ) | F (2) F(0) (n 2)2n 1 1 22已知 (x + 22 )n 的展开式的第 5项的二项式系数与第3 项的二项式系数之比为14:3. (1)x求正自然数n 的值；(2)求展开式中的常数项 .【答案】(1)由题意n4Cn2=14 ： 3，Cn(n