AHP层次分析法课件

1、5.1 AHP方法的基本原理 一、递阶层次结构模型 首先要把问题条理化、层次化，构造出能够反映系统内在联系的递阶层 次结构模型。将具有共同属性的元素归并为一组，作为结构模型的一个层 次。同一 层次的元素既对下一层次元素起着制约作用，同时又受到上一层 次元素的制约。这样，构造了递阶层次结构模型。AHP的层次结构，既可以 是序列型的，也可以是非序列型的。一般来说，可以将层次分为三种类型： 最高层。只包含一个元素，表示总目标层。 中间层。包含若干层元素，表示实现总目标所涉及到的各子目标， 称目标层。 最低层。表示实现各决策目标的可行方案，称为方案层,1,AHP层次分析法,5.1 AHP方法的基本原理

2、 一、递阶层次结构模型,层次结构中相邻两层次元素之间的关系用直线标明，称为作用线，元素之间不存 在关系，就没有作用线。如果某一元素与相邻下一层次所有元素均有关系，则称此元 素与下一层次存在完全层次关系；如果某元素仅与相邻下一层次部分元素存在关系， 则称为不完全层次关系。 在实际操作中，模型的层次数由系统的复杂程度和决策的实际需要而定，不宜过 多。每一层次元素一般不要超过9个，过多的元素会给主观判断比较带来困难。构造一 个合理而简洁的层次结构模型，是AHP方法的关键,2,AHP层次分析法,5.1 AHP方法的基本原理 一、递阶层次结构模型,例1 构建科研课题决策的层次结构模型。决策往往涉及众多因

3、素：成果贡献、人 才培养、可行性、发展前景四个目标。和这四个目标相关的因素又有以下几个： 实用价值。研究成果给社会带来的效益，包括经济效益和社会效益。实用价值与成果贡献、人才培养、发展前景等目标都有关系。 科技水平。课题在学术上的理论价值以及在同行中的领先水平。科技水平直接关系到成果贡献、人才培养、发展前景。 优势发挥。课题发挥本单位学科及人才优势程度，体现与同类课题比较的有利因素。与人才培养、课题可行性、发展前景均有关系。 难易程度。指课题本身的难度以及课题组现有人才、设备条件所决定的成功可能性。与课题可行性、发展前景相关联。 研究周期。课题研究预计所需时间，与可行性直接相关。 财政支持。是

4、指课题的经费、设备以及经费来源。与课题可行性、发展前景直接相关。 科研课题决策，就是综合上述各种目标和因素，确定各个课题的相对优劣次 序，以供优选课题和安排科研力量参考。为此，建立科研课题决策的层次结构模 型。模型从上到下，分为四个层次，层次之司的关联情况均以作用线标明,3,AHP层次分析法,5.1 AHP方法的基本原理 一、递阶层次结构模型,4,AHP层次分析法,5.1 AHP方法的基本原理 二、判断矩阵及其特征向量,AHP方法采用优先权重作为区分方案优劣程度的指标。 优先权重是一种相对度量数，表示方案相对优劣的程度，其数值介于0和 1之间。在给定的决策准则之下，数值越大，方案越优，反之越劣

5、。方案层各 方案关于目标准则体系整体的优先权重，是通过递阶层次从上到下逐层计算 得到。这个过程称为递阶层次权重解析过程,例2设有3个物体，它们的重量分别为g1，g2，g3。为了测出各物体的重量，现将每一物体与其它物体重量两两比较：第i个物体重量与其它物体重量相比较，得到3个重量比值gi/g1 ，gi/g2，gi/g3 (i=1,2,3)。构成一个3行3列的矩阵A，称为3个物体重量的判断矩阵,5,AHP层次分析法,5.1 AHP方法的基本原理 二、判断矩阵及其特征向量,设3个物体重量组成的向量为,根据线性代数知识，3是矩阵A的最大特征值，G是矩阵A属于特征值3的特征向量。因此，物体测重问题就转化

6、为求判断矩阵的特征值和对应的特征向量，3个物体的 重量，就是判断矩阵最大特征值3的特征向量的各个分量,6,AHP层次分析法,5.1 AHP方法的基本原理 二、判断矩阵及其特征向量,实际中，判断矩阵的构造采用Saaty引用的1-9标度方法，各级标度含义如下表,1-9标度法则符合人的认识规律，有一定科学依据。从人的直觉判断能力看，在区分事物数量差别时，习惯使用相同、较强、强、很强、极端强等判断语言。根据心理学实验表明，多数人对不同事物在相同准则上的差异，其分辨能力介于5-9级之间，1-9标度反映了多数人的判断能力。Saaty将l-9标度方法和其它标度方法进行对比，大量模拟实验证明，1-9标度是可行

7、的，与其它标度方法比较，能更有效地将思维判断数量化,7,AHP层次分析法,5.1 AHP方法的基本原理 二、判断矩阵及其特征向量,例3设有3个元素A1，A2，A3，现在构造关于准则Cr的判断矩阵,8,AHP层次分析法,5.1 AHP方法的基本原理 三、判断矩阵的一致性,定义1:设,如果满足下列二个条件,则称 A 为互反矩阵,定义2:设,如果满足下列三个条件,则称 A 为一致性矩阵,9,AHP层次分析法,5.1 AHP方法的基本原理 三、判断矩阵的一致性,定理1(Perron):设,则,A 有最大的正特征值max，并且max是单根，其余特征值的模均小于max,定理2:设,A 是互反矩阵,A 的属

8、于max的特征向量 X0,若max是 A 的最大特征值，则 max m,若1,2,m 是A的特征值，则,A 是一致性矩阵的充分必要条件是 max=m,10,AHP层次分析法,5.1 AHP方法的基本原理 三、判断矩阵的一致性,定理2:设,A 是一致性矩阵，则,一致性正矩阵是互反正矩阵,A 的转置矩阵AT也是一致性矩阵,A 的每一行均为任意指定一行的正数倍数,A 的最大特征值max=m，其余特征值均为0,若A的属于max的特征向量为,产生问题：根据决策者主观判断所构造的判断矩阵具有互反性， 但是不一定具有一致性，即不一定满足,11,AHP层次分析法,5.1 AHP方法的基本原理 三、判断矩阵的一

9、致性,尽管判断矩阵不具有完全的一致性，仍希望它的最大特征值max略大 于阶数m，其余特征值接近于零，称之为满意的一致性。这样，计算出的 层次单排序结果才是合理的。因此，必须对判断矩阵的一致性进行检验， 使之达到满意的一致性标准,设判断矩阵A的全部特征值为：1= max，2，m,由于A是互反矩阵，aii=1，(i=1，2，m)。由矩阵理论有,为达到满意一致性，除了max之外，其余特征值尽量接近于零。取,作为检验判断矩阵一致性指标,12,AHP层次分析法,5.1 AHP方法的基本原理 三、判断矩阵的一致性,C.I越大，偏离一致性越大。反之，偏离一致性越小。判断矩阵的阶数m越 大，判断的主观因素造成

10、的偏差越大，偏离一致性也就越大，反之，偏离 一致性越小。当阶数m2时，C.I=0，判断矩阵具有完全一致性。因此， 必须引入平均随机一致性指标R.I，随判断矩阵的阶数而变化，如下表。 这些R.I值是用随机方法构造判断矩阵，经过1000次以上的重复计算，求出 一致性指标，并加以平均而得到的,一致性指标C.I与同阶平均随机一致性指标R.I的比较值，称为一致性比率,13,AHP层次分析法,5.1 AHP方法的基本原理 三、判断矩阵的一致性,用一致性比率C.R检验判断矩阵的一致性，当C.R越小时，判断矩阵的一致 性越好。一般认为，当C.R0.1时，判断矩阵符合一致性标准，层次单排 序的结果是可以接受的。

11、否则，需要修正判断矩阵，直到检验通过。 判断矩阵的一致性检验步骤是,第一步：求出一致性指标,第二步：查表得到平均随机一致性指标 R.I,第三步：计算一致性比率,当C.R0.1时，接受判断矩阵，否则，修改判断矩阵,14,AHP层次分析法,5.1 AHP方法的基本原理 四、判断矩阵求解,判断矩阵 A=(aij)mm 是决策者主观判断的描述，求解判断矩阵并不要求 过高的精度。有根法、和法及幂法，幂法适于在计算机上运算,1）根法,第一步：计算A的每一行元素之积 Mi,第二步：计算Mi的m次方根ai,第三步：对向量a=(a1,a2,am)T作归一化处理,得到最大特征值对应的特征向量W=(w1,w2,wm

12、)T,第四步：求A的最大特征值max,15,AHP层次分析法,5.1 AHP方法的基本原理 四、判断矩阵求解:（1）根法,取算述平均值,16,AHP层次分析法,5.1 AHP方法的基本原理 四、判断矩阵求解:（1）根法,例3求解下列判断矩阵的最大特征值及其对应的 特征向量，并进行一致性检验,17,AHP层次分析法,5.1 AHP方法的基本原理 四、判断矩阵求解:（1）根法,进行一致性检验,所以，判断矩阵A满足一致性检验,18,AHP层次分析法,5.1 AHP方法的基本原理 四、判断矩阵求解,2）和法,第一步：判断矩阵A的元素按列作归一化处理得到矩阵Q,第二步：将矩阵Q的元素按行相加，得到向量a

13、,第三步：对向量a=(a1,a2,am)T作归一化处理,得到最大特征值对应的特征向量W=(w1,w2,wm)T,第四步：求A的最大特征值max,19,AHP层次分析法,5.1 AHP方法的基本原理 四、判断矩阵求解:（2）和法,20,AHP层次分析法,5.1 AHP方法的基本原理 四、判断矩阵求解:（2）和法,取算述平均值,21,AHP层次分析法,5.1 AHP方法的基本原理 四、判断矩阵求解:（2）和法,例3求解下列判断矩阵的最大特征值及其对应的 特征向量，并进行一致性检验,22,AHP层次分析法,5.1 AHP方法的基本原理 四、判断矩阵求解:（2）和法,进行一致性检验,所以，判断矩阵A满足一致性检验,23,AHP层次分析法,5.1 AHP方法的基本原理 四、判断矩阵求解,3）幂法：逐步迭代方法，容易编程计算,第一步：k=0，任取初始正向量,第二步：k=1，迭代计算,定理：设,则,其中 E=(1,1,1)T，C 为常数,第k+1步：迭代计算（k=0,1,2,3,24,AHP层次分析法,5.1 AHP方法的基本原理 四、判断矩阵求解,3）幂法：逐步迭代方法，容易编程计算,第三步