中考数学中的开放性问题剖析

1、中考数学中的开放性问题江苏省泰州市九龙实验学校顾广林（此文在国家级核心期刊中学数学教学参考2007.4 上发表）新课程标准把逐步形成数学创新意识列为教学目标,各地中考数学命题为了实现这个目标都做了有益的尝试 ,并在不同程度上给予体现 ,主要表现在涌现出不少别具创意、独特新颖的探索规律、条件、结论的开放性问题。这类试题不仅考查了学生观察、 实验、类比、归纳、猜想、判断、探究等能力而且把解题的过程、考试的过程，变成了学生研究的过程， 变成了探索规律、发现规律的过程。尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用 .下面例析活跃在 2006 年中考数学试题中的开放性试题 .一、开放题常见的题型

2、开放性试题从结构特征上看主要分为三类：条件开放题、结论开放题及条件和结论都开放的试题。开放题是相对于传统的封闭题而言的，其显著特征是问题的答案不唯一（开放性） ，并且在设问方式上要求学生进行多方面、多角度、多层次探索1条件开放型例 1（ 2006 海口）如图， D 、E 分别在 AC、AB上，且 DE与 BC不平行，请填上一个你认为合适的条件：_，使得 ADE ABC.A分析：这是一道条件开放题， 只要寻求其成立的一个充分条件即可 . 如 ADE=B 或AED=C或 AD：AB=AE：AC等 B 或 AED= C或 AD：AB=AE： AC等 .E评注：在上述问题中，结论已知，而条件需探求，并

3、且具有开放性，这类问题称为D条件开放题在解决此类问题时，通常采取执果索因的策略进行探求这类题型虽然考B查的都是基础知识，但是给学生较大的思考空间，不是被动地套用解题模式，而是在问C题情景中创造性地解决问题 .2结论开放型例 2（ 2006南昌）如图 AB 是 O 的直径， BC 是 O 弦 ODCB 于点 E，交 BC 于点 D（ 1）请写出三个不同类型的正确结论：A（ 2）连结 CD，设 CDB= ， ABC= ，试找出与之间的一种关系式并给予证明.解：（ 1）不同类型的正确结论不惟一以下答案供参考： BE = CE； BD = CD ； BED = 90；BOD =A； ACOD； ACB

4、C； OE 2 BE 2 OB2 ；形； BOE BAC；等等OECBDS（图= BC4）OE； BOD 是等腰三角ABC（ 2） 与 的关系式主要有如下两种形式答； 与 之间的关系式为 - =90.证明： AB 为 O 的直径， A+ ABC=90又四边形 ACDB 为圆的内接四边形， A+ CDB=180 CDB-ABC=90, 即 -= 90 .答与 之间的关系式为2 .证明 ， ODB=OBD又OBD=+OD=OBABCCBD ， ODBABC ODBC ， CD BD， CD=BD 1CDB，CDO= ODB=2 1 CDBABC，即22评注：本题是在一定条件下，探求问题的结论，属于

5、结论开放题解决此类问题时，通常采用由因导果的策略进行探求。这类问题结论开放，学生可自主探索，自由发展，而第（2）小问中渗透的开放性问题，对知识的整合大有裨益。 解决这类问题的关键是通过观察、分析，发现图形所具有的特征及其中隐含的关系这道开放题留给学生很大的想象空间. 充分显示出思维的多样性，同时也体现了不同学生对数学学习的个性化 . 教学中要引导学生多角度、多层次、多渠道地解答开放性的问题，培养学生的个性，从而全方位培养学生的创造能力.3条件和结论都开放型例 3（2006 汉川）如图，下面四个条件中，请你以其中两个为已知条件，第三个为结论，推出一个正确的命题 _.CEOADB(1)AE=AD(

6、2)AB=AC(3)OB=OC(4) B=C分析：，四个条件任取二个，共有6 种不同的组合要求写出相应的6 种命题并一一进行研究，这是一个很有价值的研究性课题本题中只要求写出一个命题，具有明显的开放性通过证明ABE ACD，即可组建真命题（ 1）（ 2）（ 4）；（2）（ 4）（1）；（ 1）（4）（2）等。点评：本题是条件和结论都开放的试题， 可以充分考查学生对几何知识点的整合能力， 它一改过去的传统模式，鼓励探究、关注过程，体现了“不同的人在数学上得到不同的发展”这一新课程理念。这类开放性试题旨在让学生经历多角度认识问题， 多策略思考问题， 尝试解释不同答案合理性的数学活动， 培养和提高创

7、新意识及自主探索新知识的能力 .二、按知识分类操作设计类开放题例 8 （ 2006 大连）如图 -l ，P 为 RtABC所在平面内任意一点 ( 不在直线 AC上) ， ACB=90， M为 A B 边中点操作：以 PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连结 PM并延长到点 E，使 ME=PM，连结 DE探究：(1) 请猜想与线段 DE有关的三个结论；(2)请你利用图 2、图3 选择不同位置的点P 按上述方法操作； (3) 经历 (2) 之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；如果你认为你写的结论是错误的，请用图 2 或图 3 加以说明； ( 注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得

8、分 )(4) 若将 Rt ABC改为“任意 ABC，其他条件不变，利用图 -4 操作，并写出与线段 DE有关的结论 ( 直接写答案 ) 分析： (1)DEBC， DE=BC，DEA C (2)如图 4、如图 5(3) 不同的方法见图评注：本题是一道操作型试题， 这类问题的方案往往具有很强的开放性 本题中已经就直角三角形的情形给出了提示，这样就降低了问题的开放性与难度数学课程标准明确提出“动手实践”是学生学习数学三种重要方式之一。所以，数学学习无论是内容还是方法都要重视“实验” ，在“实验操作”中使学习活动成为一个生动活泼、主动并富有个性的过程，以后这方面考查的力度会增强，因此教学中要注重实践活

9、动，落实动手能力。例 4（2006 潍坊）如图 5，河边有一条笔直的公路 l ，公路两侧是平坦的草地在数学活动课上，老师要求测量河对岸 B 点到公路的距离，请你设计一个测量方案要求：B（ 1）列出你测量所使用的测量工具；（ 2）画出测量的示意图，写出测量的步骤；（ 3）用字母表示测得的数据，求出 B 点到公路的距离解：（ 1）测角器、尺子；（ 2）测量示意图见右图，测量步骤如下：公路 lCAD（图 5）在公路上取两点 C， D ，使BCD， BDC 为锐角；用测角器测出BCD，BDC；用尺子测得 CD 的长，记为 m 米；计算求值（ 3）解：设 B 到 CD 的距离为 x 米，作 BACD 于

10、点 A ，在 CAB 中， xCA tan，在 DAB 中， x AD tan ， CAx ， ADx，CA ADm ，tantanxx， xm tan tantanmtantantan评注：本题要求设计的测量方案具有开放性，因此该题属于设计方案类开放题解决此类问题， 往往采用构造数学模型的策略来进行求解例2猜想型开放题n 的“F”运算：当 n 为奇数时，结果为n ；当 n 为偶数6.（2006济南）定义一种对正整数35，则：时，结果为nk （其中 k 是使 nk为奇数的正整数），并且运算重复进行例如，取n222626FF44F11,13第一次第二次第三次若n，则第449次“ F 运算”的结果

11、是449解析：根据定义的“ F”运算算几步： 4491352169 512 1 8 118，就会发现规律，结果是 8.点评：所谓猜想归纳，是指通过对已给出的材料和信息对研究的对象进行观察、实验、比较、归纳和分析综合，作出符合一定规律与事实的推测性想象， 从而发现一般规律。 它是发现和认识规律的重要手段 . 平时的教学不能局限于课本， 可以设计一些猜想性、 类比性的活动， 让学生经历一个观察、 试验等活动过程，在活动中通过对大量特殊情形的观察猜想出一般情形的结论，从而探索事物的内在规律.3概率类开放题例 5（ 2006 泰州）三人相互传球，由甲开始发球，并作为第一次传球（ 1）用列表或画树状图的

12、方法求经过 3 次传球后，球仍回到甲手中的概率是多少？（2）由（ 1）进一步探索：经过4 次传球后，球仍回到甲手中的不同传球的方法共有多少种？（ 3）就传球次数 n 与球分别回到甲、乙、丙手中的可能性大小，提出你的猜想（写出结论即可） 分析：（ 1）易得三次传球后 P(球回到甲手中 )=1/4(2)经过 4 次传球后球仍然回到甲手中的不同传球方法共有6 种(3) 猜想：当 n 为奇数时， P(球回到甲手中 )P( 球回到乙手中 )=p( 球回列丙手中 )评注：本题（ 1）是常规的概率计算；（2）是在（ 1）基础上的进一步探索；（3）则是在前两问之下让你“提出你的猜想” 这个过程蕴含着发现数学结

13、论的策略和方法，能够有效地考查学生的推理和探究能力。事实上，出活题，考能力，一直是中考命题的方向，许多中考试卷把改变问题的叙述方法，使问题具有开放性，着力考查学生的数学探究能力放在重要位置，这样既提高了数学试卷在考查学生数学能力方面的效度和区分度，又有利于促使教师在教学中重视数学知识的发生、发展过程，发展学生的数学素养，提高教学质量。4几何推理开放题（ 2006江西）问题背景某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题 如图 1，在正三角形 ABC 中， M、NAC、AB 上的点， BM 与 CN 相交于AAND BON = 60，则 BM = CN.NM 如图 2，在正方形 ABCD 中

14、， M 、NOOMCD、 AD 上的点， BM 与 CN 相交于BCBC BON = 90,则 BM = CN.图 2图 1然后运用类比的思想提出了如下的 如图 3，在正五边形 ABCDE 中， M 、ECD、DE 上的点， BM 与 CN 相交于点NFEBON = 108，则 BM = CN.ADN任务要求OMAOD（ 1）请你从、三个命题中选择MBCBC图 3图4：分 别 是点 O，若分 别 是点 O，若命题：N 分别是O ，若 一个进行证明；（ 2）请你继续完成下面的探索：ENM 如图 4，在正 n（n3）边形 ABCDEF, 中， M、AO别是 CD、 DE 上的点， BM 与 CN

15、相交于点 O，当 BON 等于多少度时，结论 BM = CN 成立？BC（不要求证明）图5 如图 5，在正五边形ABCDE 中， M、 N 分别是AE 上的点， BM 与 CN 相交于点 O，当 BON = 108时，请问结论DN 分问DE、BM = CN 是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由 .（1）我选.分析：（1）命题只要证明 BCM CAN. 命题只要证明 BCM CDN . 命题只要证明BCM CDN.AANEEMDNNNMADAODOO MOMBCB图2CBCBC图1图 3图 5（2） 当 BON =( n2) 180 时，结论 BM = CN 成立 .,2n BM

16、 = CN 成立 .评注：这是一道结论性探究开放题，它具有综合性、 探究性、和开放性。本题从特殊图形 （正三角形、正方形）出发，由确定的角度寻找线段的大小关系，是展开探索的主 线。整个题目充分体现了几何图形内在的规律与结论， 给学生创造了自主探究的机会和空间， 让学生再次经历了课堂上的活动过程。 该题摆脱了原来几何试题单一的演绎模式， 而是从特殊到一般地引申推广， 这是数学研究的重要方式， 有利于考查学生参与数学学习过程的程度，也是考查学生创新能力的重要途径。5动态几何开放题(2006东营 ) 半径为 2.5 的 O 中，直径 AB 的不同侧有定点C 和动点 P已知 BC: CA = 4: 3

17、，点 P在 AB 上运动，过点 C 作 CP 的垂线，与 PB 的延长线交于点Q（ 1）当点 P 运动到与点 C 关于 AB 对称时，求 CQ 的长；（ 2）当点 P 运动到 AB 弧的中点时，求CQ 的长(3)当点 P 运动到什么位置时， CQ 取到最大值，并求此时CQ 的长解：（ 1）当点P 运动到与点C 关于直径AB对称时，如图所示，此时CPAB 于 D，通过证明 ACB BCPC432PCQ 得 CQ3PCAC5（2）因为点 P 在弧 AB 上运动过程中，有 CQBC PC4 PC ，AC320PCCQPCOPC取最大值 5所以最大时，取到最大值当过圆心，即时，最大，最大为CQ3评注：

18、在题目给定的已知量中， 有一个或几个量在某一范围内不断变化或连续地运动， 需要探究在这一变化过程中，其他相关量的变化情况。解题时要切实把握几何图形在运动过程中的特殊位置，在“动”中求“静”，在“静”中探求“动”的一般规律。6课题研究型开放题例（ 2006 黔南）一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽为 2m，隧道最高点 P 位于AB的中央且距地面 6m，建立如图所示的坐标系（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）一辆货车高 4m，宽 2m，能否从该隧道内通过，为什么？（ 3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以y顺利通过，为什么？（ 1）由题意可知抛物线经过点A 0，2， P 4，6 ， B 8，2P2将设抛物线的方程为y ax bx cA， P， D 三点的坐标代入抛物线方程AB解得抛物线方程为 y1x22x24OC x（2）令 y4 ，则有1 x22x24解得 x14 2 2，x2 4 2 24x2 x14 22货车可以通过（3）由（ 2）可知 1x2 x1222货车可以通过2评注：课题研究型开放题是不是指题目给出了一定的实际生活的问题