利用旋转巧解几何题

1、利用旋转巧解几何题旋转，在初二来说并不是常规的数学解题方法。但是在几何证明题中，有时单纯地用各种定理难以解决，而要做辅助线也无从下手，此时，巧借旋转，往往会使难题迎刃而解。用这样非常规的思想看问题，常常会寻得非常规的解题途径，快捷、巧妙、通俗易懂，是我们在初中学习中必不可少的。旋转是对已知条件的再利用，将条件润色后为我所用。旋转需要较强的抽象思维能力，否则会把人“转晕”；但理清思路后，这就成了一种出奇制胜的法宝。一、 旋转在三角形中的运用例、如图，在ABC中，BAC=90，AB=AC，P为BC上一点，求证：2PA=PB+PC常规解法，需要用勾股定理不断推导，稍显复杂。解法一：如图（1），作AD

2、BC于D，可证AD=BD=CD。PA=AD+PD2PA=2AD+2PDPB=(BD+DP)=BD+2DPBD+PDPC=(CD-PD)=CD-2CDPD+PDAD=BD=CDPB+PC=2AD+2PD=2AP这种解法，往往使人在推导过程中像盲人一样摸索；但如果巧借旋转，思路将清晰得多。解法二：如图，将APC绕点A顺时针旋转90，则AC边与AB边重合，设旋转后点P的对应点为点O。此时，方法就很明显了：连接OP，由旋转可知ABO=ACPABC+C=90ABC+ABO=90即PBO=90, 由勾股定理得，BP+PC=BP+OB=OP又由旋转可知，OAP=BAC=90，OA=AP，OP= AP+ OA

3、=2APBP+PC=AP旋转之妙，无需多谈。有另外一种题型，与等腰直角三角形有关，它曾令我许久摸不着头脑，但用旋转求解就让人豁然开朗。下面让我来分享一下。例2 、P为等腰直角ABC中一点，AC=AB，AP=1，PC=7,PB=3,求APC.这道题只知道三条线段的长，似乎与角度无关。此时就要考虑构造出三角形，使这三条已知线段尽可能组合到同一三角形中。而有了AC=AB,就可以通过旋转将PA、PB、PC直接或间接地组合在一起。解：将APC绕点A顺时针旋转90得AOB，连接OP。由旋转可知，OA=AP=1，OB=PC=，OAP=BAC=90OAP为等腰直角三角形OP=，OA=1= AOP=45此时，O

4、P+OB=()+()=3=BPBOP为直角三角形，BOP=90APC=AOB=AOP+BOP=45+90=135APC为135。对于有关全等三角形的问题，尤其是正方形与三角形相结合的题目，旋转对于巧妙构造全等三角形帮助很大。正方形的边与角的特殊性，往往是解题的入手点。二、旋转在正方形中的运用例3、如图，在正方形ABCD中，边长为1，E、F分别是边BC、CD上的点，且CEF的周长是2，求EAF的大小。正方形四边相等且四个角均为90，这为旋转准备了条件。EAF无法直接求得，但可以求出BE+DF=EF,因此，旋转ABE，问题即可迎刃而解。解：将ABE绕点A逆时针旋转90，则AB边与AD边重合，设旋转后点E的对应点为点G。B=ADC=90ADG+ADC=B+ADC=90+90=180C、F、D、G在同一直线上由题意可知，BC+CD=1+1=2，CE+CF+EF=2CE+CF+BE+DF=CE+CF+EF,BE+DF=EF由旋转得，AE=AG,DG=BEFG=DF+DG=DF+BE=EFAEFAGF（SSS)EAF=FAGBAE+DAE=BAD=90EAG=EAD+DAG=EAD+BAE=90EAF=EAG=90=45EAF为4