向量的坐标表示和运算教(学)案

1、8.1向量的坐标表示及其运算教学目标知识目标：了解基本单位向量、位置向量、向量的正交分解等概念； 理解向量的坐标表示方法及其运算法则；掌握向量模的求法，知道模的几何意义；理解并掌握两个非零向量平行的充要条件，巩固加深充要条件的证明方式能力目标：会用两向量的坐标形式的和、差及实数与向量的积等运算解决相关问题；会用平行的充要条件解决点共线问题情感目标：感知数学中的运动、变化、 相互联系与相互转化的规律， 加深对辩证唯物主义观 点的体验；发展从数学的角度分析和解决问题的能力，以及通过积极参与数学学习和问题解决的过程，增强学习的主体意识，形成数学的应用意识，养成严谨、慎密的思维习惯.教学重、难点重点：

2、如何写向量的坐标以及向量坐标形式的运算及其应用难点：向量坐标形式的运算及其应用、新课引入:市莘庄中学的健美操队四名队员A B、C D在一个长10米，宽8米的矩形表演区域EFGH进行健美操表演(1)若在某时刻ti，四名队员 A B、CD保持如图1所示的平行四边形队形队员A位于点F处，队员B在边FG上距F点3米处,队员D位于距EF边2米距FG边5米处你能确定此时队员C的位置吗?8m8mB10m图2丄 - 10m说明此时队员C在位于距EF边5米距FG边5米处这个图形比较特殊，学生很快就会得到答案，这时教师引入第二个问题（2）若在某时刻t2，四名队员A、B、C D保持如图2所示的平行四边形队形队员A位

3、于 距EF边2米距FG边1米处，队员B在距EF边6米距FG边3米处，队员 D位于距EF边4 米距FG边5米处.你能确定此时队员 C的位置吗？说明不要求学生写出结果， 只引导学生思考.这个图形更为一般一些， 学生解决的可能不 是很顺，这时，教师就可以说，这一节我们就来学习一个新的容：向量的坐标表示及其运算，学习了这个容之后，同学们只要花上两分钟或者只要一分钟的时间就可以解决这个问题了， 引起学生学习的兴趣与探究的欲望 .二、新课讲授1、向量的正交分解（1 ）基本单位向量：我们称在平面直角坐标系中，方向与x轴和y轴正方向分别相冋的的两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为i, j。uur（2）位置向

4、量：如图，称以原点 o为起点的向量为 位置向量，如下图左，0A即为一个位 置向量.i, j来表示它吗?um思考1:对于任一位置向量 0A，我们能用基本单位向量如上图右，设如果点 A的坐标为 x, y，它在小x轴，y轴上的投影分别为 M, N,那urnuuuu uur么向量OA能用向量 OM与On来表示吗？（依向量加法的平行四边形法则可得mu uuuu uur uuuu luu*r rOA OM ON）， OM与ON能用基本单位向量i,j来表示吗？（依向量与实数相uunr illtr乘的几何意义可得 OM xi,ON yj），于是可得：uuu uuiin uuirr rOA OMON xi yj

5、（3）向量的正交分解：由上面这个式子，我们可以看到：平面直角坐标系的任一位置向量urnr rOA都能表示成两个相互垂直的基本单位向量i, j的线性组合，这种向量的表示方法我们称为向量的正交分解2、向量的坐标表示思考2:对于平面直角坐标系的任意一个向量a，我们都能将它正交分解为基本单位向量r ri, j的线性组合吗？如下图左.r r由于任意一个位置向量都可以正交分解为基本单位向量i, j的线性组合，所以平面任rr r意的一个向量a都可以正交分解为基本单位向量i,j的线性组合.即：r um r ra = OA = xi y j为了简便，通常我们将系数 x,y抽取出来，得到有序实数对（x,y）.可知

6、有序实数对rumr（x,y）与向量a的位置向量OA是一一对应的因而可用有序实数对（x,y）表示向量a，r并称（x,y）为向量a的坐标，记作：ra=（x,y）rruuu说明（x,y）不仅是向量 a的坐标，而且也是与 a相等的位置向量 0A的终点a的坐标！rr当将向量a的起点置于坐标原点时，其终点 a的坐标是唯一的，所以向量a的坐标也是唯一的.这样，我们就将点与向量、向量与坐标统一起来，使复杂问题简单化rrr显然，依上面的表示法，我们有：i （1,0）,j（0,1）,0 （0,0） 3、例题举隅r r r例1.（课本例题）如图，写出向量 a,b,c的坐标rruiur uun解：由图知a 1,2，与

7、向量b相等的位置向量为 0A，可知b 0A 1,2，ruuu r uuu与向量c相等的位置向量为 0B，可知c OB 1, 2rr r说明对于位置向量a，它的终点的坐标就是向量的坐标；对于起点不在原点的向量b,c，我们是通过先找到与它相等的位置向量，再利用位置向量的坐标得到它们的坐标那么，有没有不通过位置向量，直接就写出任意向量的坐标的方法呢？答案是肯定的，而且很简便，4、向量的坐标表示运算我们学过向量的运算，知道向量有加法、减法、实数与向量的乘法等运算，那么，在 学习了向量的坐标表示以后，我们怎么用向量的坐标形式来表示这些运算呢？设 是一个实数， a （x1,y1）,b （x2,y2）.x(

8、 rb rjyrix) yrjriri y)1 y1 x2 x 1riri (x x1 x1 xjy2y1x1jy1x1y11 y x1（1）向量的和（差）： （x1,y1） （x2,y2） x1 x2,y1 y2（2）数与向量的积： （x1,y1）x1, y1 说明 上面第一个式子用语言可表述为： 两个向量的和 （ 差） 的横坐标等于它们对应的横坐标 的和 （差） ，两个向量的和 （差）的纵坐标也等于它们对应的纵坐标的和（ 差） ，可笼统地简称为：两个向量和 （ 差）的坐标等于对应坐标的和 （ 差） ；同样，第二个式子用语言可表述为： 数与向 量的积的横坐标等于数与向量的横坐标的积， 数与向

9、量的积的纵坐标等于数与向量的纵坐标 的积，也可笼统地简称为：数与向量积的坐标等于数与向量对应坐标的积 .5、例题举隅例 2、如下图左，设 P x1,y1 、 Q x2,y2 是平面直角坐标系的任意两点，如何用P、Quuur的坐标来表示向量 PQ ？解：如上图右，向量 PQ OQ OPX22Xi,yiX2 Xi,y2 yiuuu从而有PQx2片，y2 y1说明平面直角坐标系的任意向量的横坐标等于它终点的横坐标与它起点的横坐标的差，纵坐标也等于它终点的纵坐标与它起点的纵坐标的差，可简称为“任意向量坐标=终点坐标-起点坐标”.例3、如图，平面上a、b、C三点的坐标分别为 2,1、3,21,3 .uu

10、u uuu（1）写出向量AC, BC的坐标；（2）如果四边形 ABCD是平行四边形，求 D的坐标.ujur解：（ 1）AC 1 2,3 13,2uuuBC 13 ,3 22,1uur uuu（2）在上图中，因为四边形 ABCD是平行四边形，所以DC ABuuu设点D的坐标为Xd$d，于是有1XD ,3y abuuu又 AB3 2,2 15,1，故1Xd,3y5,11Xd5XD4由此可得解得3y 1y2因此点D的坐标为4,2 .rrrr例4、已知向量a 4, 1与b5,2，求2a3b的坐标.解：因为 2a 8, 2 , 3b 15,6所以 2a 3b 8 15, 2 623,4uuuuu例5、已

11、知平面两点 P、Q的坐标分别为(-2,4 )、( 2,1 )，求PQ的单位向量a0uuu解：因为PQ2 2 ,144, 3，故uuuPQ 5，uuuuuPQ143所以a0wu-4, 3PQ5557、向量的平行b成立，则(1)向量平行的概念：对任意两个向量a, b，若存在一个常数，使得a 两向量a与向量b平行，记为：a/b.思考1：在坐标平面上描出下列三点 A(0,1), B(1,3),C(3,7),完成下列问题：请把下列向量的坐标与模填在表格:uuu ABuuiu BCuuur AC向量坐标(1,2)(2,4)(3,6)向量的模亦2真3亦 通过画图，你得出什么结论？三点 A B、C在一条直线上

12、 分析表格中向量的模，你发现了什么?uuuABuuuBCAC 分析表格中向量，你还发现了什么？uiuruuu uuuuuuBC 2AB，AC 3AB，L 分析表格中向量坐标，你又发现了什么?向量坐标之间存在比例关系 .思考3：如果向量a,b用坐标表示为a (x1, y1 ),b (x2,y2)，则互 必是a/b的(X2y2条件.A、充要B 、必要不充分 C 、充分不必要D、既不充分也不必要(2)判断三点共线的方法方法一：计算三个向量的模长关系方法二：看两个非零向量之间是否存在非零常数(向量的坐标存在比例关系)(x2,y2)，则a/b的充要条件是例5、若a, b是两个非零向量，且 a(xi, y

13、1), bX2 X2%.证明：分两步证明，(I)先证必要性：a / b x1y2 x2 y1r rrr非零向量a/b存在非零实数，使得ab，即(Xi, yi)(X2,y2)，化简整理可得：rXiYir2，消去即得xi y2Y2X2Yi(H)再证充分性：x-i y2 x2yia/ b(1)若X2X2W0 ,则 x、x2、yi、y2全不为零，显然有2Xly_X2y2rrr r(Xi, yi)(X2,y2)a ba/b(2)若xiy2X2yi0 ,则 Xi、X2、yi、y2中至少有两个为零如果xi0,则由a是非零向量得出-疋有yi0 ,X200,即又由b疋非零向量得出 y20 ,从而，此时存在于0使

14、(0，Y_)(0,y2)，即rrr raba/br r如果x_0,则有y20 ,同理可证a/b综上，当Xi y2 X2 yi时，总有a/b所以，命题得证.两向量平行的充要条件:若a,b是两个非零向量,且 a (Xi,yj,b (X2,y2)，则 a/b 的充要条件是x1 y2x2 y .8、例题举隅uurumr例6、已知P是直线RP2上的一点，且RPPF2 ( 为任意实数，且 故G为 X2 X3力 y2讨3坐标分别为Xi,yi 、 X2,y2，求点P的坐标x, y解：由uuiPPiuirPF2，可知XiX2X由于所以解得向量uuurPP2的定比分点坐标公式:特别地，当yiXiy2 yX2iyiy?iX-IX2iyiy?ii时，P为R、P2的中点，中点的坐标公式为yiy?2例7、已知平面上 A、B、C三点的坐标分别为(x1, yi) (x2,y2)、(x3,y3)，心，求点G的坐标G是厶ABC的重解：设D为A、B的中点，那么DXiX2 yi y22 ， 2rur因为