(完整版)高一上学期函数的单调性-奇偶性及周期性知识点和题型,推荐文档

1、（一）函数的单调性知识梳理1. 函数单调性定义：对于给定区间 d 上的函数 f(x)，若对于任意 x 1 ,x 2 d,当 x 1 x 2 时，都有 f(x 1 ) f(x 2 )，则称 f(x)是区间 d 上的增函数，d 叫 f(x)单调递增区间当 x 1 f(x 2 )，则称 f(x)是区间 d 上的减函数，d 叫 f(x)单调递减区间2. 函数单调性的判断方法：（1） 从直观上看，函数图象从左向右看，在某个区间上，图象是上升的，则此函数是增函数，若图象是下降的， 则此函数是减函数。（2） 一般地，设函数 y = f (x) 的定义域为 i 如果对于属于定义域 i 内某个区间 a 上的任意

2、两个自变量的值x1 ， x2 ，且 x1 x2 ，则 x1 - x2 012x -12x（1） f (x )- f (x ) 0 (x x )即f (x) 在区间 a 上是增函数；1212x -12x（2） f (x ) f (x )则 f (x1 )- f (x2 ) 0（或0）且为增函数，则函数 1f (x)在其定义域内为减函数【题型一、单调性的判断】例、写出下列函数的单调区间（1） y = kx + b,（2） y = k ，（3） y = ax 2 + bx + c x如图是定义在区间5，5上的函数 y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上， 它是增函数还是减函数

3、？【题型二、用定义法证明单调性】例、定义法证明函数 y=2x+3 在(-,+) 的单调性.1例、判断函数 f（x） x + 在（0,1）上的单调性x【变式训练 1】证明函数 f (x) = x + 2 在(-1,+) 上是增函数x +1【方法技巧】根据函数的定义法来进行判别，记好步骤。【题型三、单调性的运用】例、已知 f (x) = (-k 2 + 3k + 4)x + 2k -1 在 r 上是增函数,则 k 的取值范围例、函数 f (x) = x2 + 2(a -1)x + 2 在(-, 4 上是减函数,则求 a 的取值范围【变式训练 2】已知函数 f (x) = x2 + 2ax + 2,

4、 x -5, 5上是单调函数， a 的取值范围是3【变式训练 3】函数 f（x）是 r 上的减函数,求 f（a2a1）与 f（4）的大小关系【题型四、抽象函数的单调性及其应用】例、已知 y=f(x)是定义在（-2，2）上的增函数，若 f(m-1)f(1-2m)，则 m 的取值范围是例、设 f（x）定义在 r+上，对于任意 a、br+，有 f（ab）f（a）f（b） 求证：（1）f（1）0；1（2）f（ x）f（x）；（3）若 x（1，+）时，f（x）0，则 f（x）在（1，+）上是减函数x 2 + 2x - 3【题型五、复合函数的单调性】例、求函数 f (x) =的单调递减区间。x 2 - 4

5、x - 5求 f(x)=的单调区间课后作业： 一、选择题1 、 函 数 f(x)|x| 和 g(x)x(2x) 的 递 增 区 间 依 次 是 ( ) a(，0，(，1b(，0，1，)c0，)，(，1d0，)，1，)2、当| x | 1 时，函数 y = ax + 2a + 1 的值有正也有负，则实数 a 的取值范围是（ ）a. a - 13b. a -1 c -1 a 0 ，在其定义域内判断下列函数的单调性： y = f (x) + a ( a 为常数)是； y = a - f (x) ( a 为常数)是； y =1f (x)是； y =| f (x)2 | 是6、函数 f(x) = ax2

6、4(a1)x3 在2，上递减，则 a 的取值范围是7、若函数 f(x)error!则 f(x)的递减区间是三、解答题8、讨论函数 f(x) = x 2 - 2ax + 3 在(-2,2)内的单调性。9、设 f(x)是定义在(0,+）上的增函数，f(2)=1 ，且 f(xy)=f(x)+f(y)，求满足不等式 f(x)+f(x-3)2 的 x 的取值范围.（二）函数的奇偶性知识梳理1、函数奇偶性定义：1、一般地，如果对于函数 f (x)的定义域内任意一个 x ，都有 f (- x)= f (x)，那么就称函数 f (x)为偶函数.偶函数图象关于 y 轴对称.2、 一般地，如果对于函数 f (x)

7、的定义域内任意一个 x ，都有 f (- x)= - f (x)，那么就称函数 f (x)为奇函数.奇函数图象关于原点对称.如果函数 f(x)不具有上述性质，则 f(x)既不是奇函数也不是偶函数； 如果函数同时具有上述两条性质，则 f(x)既是奇函数，又是偶函数2、函数奇偶性的判定方法：定义法、图像法（1） 利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域是否关于原点对称；确定 f(x)与 f(x)的关系；作出相应结论：若 f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则 f(x)是偶函数；若 f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0 或 f(x)=-f(-x)，则 f

8、(x)是奇函数（2） 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称（3） 利用图像判断函数奇偶性的方法：图像关于原点对称的函数为奇函数，图像关于 y 轴对称的函数为偶函数3、函数奇偶性的性质：奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性4、（1）奇函数、偶函数的定义域关于原点对称。若 x 是定义域中的一个数值，则-x 也必然在定义域中，因此， 函数 y = f (x) 是奇函数或是偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称。换言之，所给函数的定义域若不关于原

9、点对称，则这个函数必不具奇偶性。（2） 若奇函数 f (x) 在 x = 0 处有定义，则 f (0) = 0 。（3） f1(x) = f (x) + f (-x) 为偶函数， f2 (x) = f (x) - f (-x) 为奇函数。（4） 函数的奇偶性是相对于整个定义域来说的，而单调性是相对于定义域内某个区间而言的，是局部性质。【题型一、有关函数奇偶性的判断或证明的问题】例、判断下列函数的奇偶性。9 -x 21 + x1 - xx 2 - 1 1 - x 2 f (x) = (x - 1), f (x ) =, f (x) =x2 + xx - x2(x 0) f (x) =1- x2

10、f (x) = | x + 2 | -2【方法技巧】判断函数的奇偶性，第一步是要先判断函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，就是非奇非偶函数，如果对称，接下去再去找 f(x)与 f(-x)之间的关系，牢记好，在定义域内 f(x)=f(-x)则为偶函数，f(-x)=-f(x)则为奇函数。【变式训练 4】函数 f (x) = x - 1 (x 0) 是()xa奇函数b偶函数c既是奇函数又是偶函数d既不是奇函数又不是偶函数【变式训练 5】若函数 y = x2 + bx + c 是偶函数，则有 ()a. b r, c rb. b r, c = 0c. b = 0, c = 0d. b = 0, c

11、 r【变式训练 6】设函数 f (x) = ax3 + 2bx -1，且 f (-1) = 3, 则 f (1) 等于（）a.-3b.3c.-5d. 5【题型二、应用函数奇偶性求值、求解析式】例、（1）已知偶函数 f (x) 的定义域是(-,0) (0,+) ，当 x 0 时 g(x) = x 2 + 2x ，求 g(x) 的解析式.【变式训练 7】已知 f (x) 是定义在 r 上的奇函数，且当 x 0 时， f (x) = x 2 - 2x + 3 ，求 f (x) 的解析式。【题型三、抽象函数的奇偶性的判断】例、设函数 f(x)，g(x)的定义域为 r，且 f(x)是奇函数，g(x)是偶

12、函数，则下列结论中正确的是() af(x)g(x)是偶函数b|f(x)|g(x)是奇函数cf(x)|g(x)|是奇函数d|f(x)g(x)|是奇函数【变式训练 8】设 f (x) 是定义在 r 上的一个函数，则函数 f (x) = f (x) - f (-x) ，在 r 上一定是() a奇函数b 偶 函 数c既是奇函数又是偶函数d非奇非偶函数.【题型四、有关函数奇偶性的综合问题】例、设奇函数 f (x) 在(0, +) 上为增函数，且 f (1) = 0 ，则不等式 f (x) - f (-x)x 0,已知函数 f(x) 0, x = 0,x2 + mx, x 0是奇函数求实数 m 的值；1.

13、 周期函数(三)函数的周期性对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数 t，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(xt)f(x)，那么就称函数 yf(x)为周期函数，称 t 为这个函数的周期2. 最小正周期如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期例、设 f (x) 是(-, +) 上的奇函数， f (x + 2) = - f (x) ，当 x 0,1 时， f (x) = x ，求 f (7.5) 的值。例、已知定义在 r 上的奇函数 f(x)满足 f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则 ( ) af(25)f(11)

14、f(80)bf(80)f(11)f(25) cf(11)f(80)f(25) df(25)f(80)f (-3) f (-2)b f (p)f (-2) f (-3)c f (p)f (-3) f (-2)df (p) f (-2) f (-3)8. 若函数 y = f (x) 是奇函数， f (1) = 3 ，则 f (-1) 的值为.9. 已知分段函数 f (x) 是奇函数，当 x 0,+) 时的解析式为 y = x 2 ，则这个函数在区间(-,0) 上的解析式为10. 判断下列函数是否具有奇偶性：(1) f (x) = x + x3 + x5 ；(2) f (x) = x2 , x (-

15、1, 3) ；(3) f (x) = -x 2 ；(4) f (x) = 5x + 2 ；(5) f (x) = (x + 1)(x - 1) .a11. 已知函数 f(x)x2x (x0)(1)判断 f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若 f(1)2，试判断 f(x)在2，)上的单调性12. 已知定义在 r 上的函数 yf(x)满足条件 f题：函数 f(x)是周期函数；(x3)(x3)2 f(x)，且函数 yf4 为奇函数，给出以下四个命3( ，0)函数 f(x)的图象关于点4对称；函数 f(x)为 r 上的偶函数；函数 f(x)为 r 上的单调函数 其中真命题的序号为变式训练答案：1、2、

16、3、4、5、6、7、8、9、“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employe