(完整版)解三角形知识点及题型总结,推荐文档

1、基础强化（8）解三角形1、三角形三角关系：a+b+c=180；c=180-(a+b)；. 三角形三边关系：a+bc; a-bbc 则60 a 90, 0 c 602、三角形中的基本关系： sin( a + b) = sin c, cos( a + b) = -cos c,tan( a + b) = - tan c,cos, cossin a + b =ca + b = sin c , tan a + b = cot c2222223、正弦定理：在 dabc 中， a 、b 、c 分别为角 a 、b 、c 的对边， r 为 dabc 的外接圆的半径，则有a=b=c= 2r sin a4、正弦定理

2、的变形公式：sin bsin c化角为边： a = 2r sin a ， b = 2r sin b ， c = 2r sin c ；化边为角： sin a = a ， sin b =2rb ， sin c = c ；2r2r a : b : c = sin a : sin b : sin c ；a + b + cabc=2rsin a + sin b + sin csin asin bsin c5、两类正弦定理解三角形的问题：已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）)1116、三角形

3、面积公式： sdabc =bcsin a =ab sin c =ac sin b =2r2sinasinbsinc= 222abc = r(a + b + c)4r27、余弦定理：在 dabc 中，有 a2 = b2 + c2 - 2bc cos a ， b2 = a2 + c2 - 2ac cos b ，c2 = a2 + b2 - 2ab cos c 8、余弦定理的推论：b2 + c2 - a2a2 + c2 - b2a2 + b2 - c2cos a =2bc， cos b =2ac， cosc =2ab9、余弦定理主要解决的问题：已知两边和夹角，求其余的量。已知三边求角10、三角形的五

4、心：垂心三角形的三边上的高相交于一点重心三角形三条中线的相交于一点外心三角形三边垂直平分线相交于一点内心三角形三内角的平分线相交于一点旁心三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点11.仰角与俯角，方向角与方位角题型一：求解斜三角形中的基本元素指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题例 1. （1）在dabc 中，已知 a = 45o ， b = 60o ， a = 42 cm，解三角形（2）在dabc中，求=和6, a = 45o , a = 2,bb, c （3）在dabc中，b =和3, b = 60

5、o , c = 1,aa, c 32（4） 在abc 中，已知 a =，b =， b = 45o ，求 a, c 和c 37（5）在abc 中，已知三边长 a = 3 ， b = 4 ， c =1 .在abc 中， a = 4 ， b = 5 ， c = 6 ，则 sin 2 a =sin c，求三角形的最大内角=4 62.在 abc 中，已知 ab3, cos b =6 ，ac 边上的中线 bd=，求 sina 的值56题型二：判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状例 2（1）在dabc 中， a = 2b cos c ，则此三角形一定是（）a.等腰三角形b.直角三角

6、形c.等腰直角三角形d.等腰或直角三角形（2） 在dabc 中，若sin c = 2 cos asin b ，则此三角形必是（）a.等腰三角形b.正三角形c.直角三角形d.等腰直角三角形（3） 设dabc的内角 a,b,c 的对边分别为 a, b, c ，若a = (b + c) cosc ,则dabc的形状是a.等腰三角形b.等边三角形c.直角三角形d.锐角三角形1、在dabc 中，若lgsin a - lgcos b - lgsin c = lg 2, 则dabc 的形状是() a直角三角形b等边三角形c不能确定d等腰三角形2. 在dabc 中，若b cosc + c cos b = a

7、sin a , 则dabc 的形状为a.锐角三角形b.直角三角形c.钝角三角形d.不确定题型三：与面积有关问题例 3、已知向量 m = (sin x, 3sin x), n = (sin x,-cos x),设函数 f (x) = m n,若函数g(x) 的图象与 f (x) 的图象关于坐标原点对称d d(1) 求函数 g(x) 在区间-, 上的最大值，并求出此时 x 的值；4 63(2) 在dabc 中， a, b, c 分别是角 a, b, c 的对边，a 为锐角，若 f ( a) - g( a) =,2b + c = 7, dabc 的面积为 2 3, 求边 a 的长, sin b =2

8、1. 、在dabc 中，内角 a, b, c 的对边分别为 a, b, c. 已知cos a =3cos c.5(1)求 tan c 的值；(2)若 a =2, 求dabc 的面积.2. 已知abc 的周长为（i） 求边 ab 的长；（ii） 若abc 的面积为+1，且sin a + sin b =221 sin c ，求角c 的度数6sin c 题型之四：三角形中求值问题1. 在dabc 中， a、b、c 所对的边长分别为 a、b、c ，3设 a、b、c 满足条件b 2 + c 2 - bc = a 2 和 c = 1 +，求a 和 tan b 的值b22. 在锐角abc 中，角 a， bc

9、 所对的边分别为 a， bc ，已知sin a =2 2，（1）32求tan2 b + c + sin2 a 的值；（2）若 a = 2 ， s=，求b 的值。22 abc3. 在abc 中，内角 a，c 对边的边长分别是 a，bc ，已知c = 2 ， c = p 33（）若abc 的面积等于，求 a，b ；（）若sin c + sin(b - a) = 2 sin 2 a ，求abc 的面积题型五：解三角形中的最值问题例 5. 在abc 中，角 a，b，c 所对的边分别为 a，b，c，已知c = 2 ， c = p3（1） 求abc 周长的取值范围（2） 求abc 面积的取值范围1. 在a

10、bc 中，角 a，b，c 所对的边分别为 a，b，c，已知cos c + (cos a - 3 sin a) cos b = 0 .1）求角 b 的大小；(2)若 a + c = 1，求 b 的取值范围2. abc 在内角 a, b, c 的对边分别为 a, b, c ,已知 a = b cos c + c sin b .()求 b ;()若b = 2 ,求 abc 面积的最大值.3. 已知 a, b, c 分别为dabc 的三个内角 a, b, c 的对边， a =2，且(2 + b)(sin a - sin b) = (c - b) sin c ，则dabc 面积的最大值为.4. 设锐角三

11、角形 abc 的内角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c，a=2bsina.（）求 b 的大小；（）求 cosa+sinc 的取值范围.5. dabc 的三个内角为 a、b + cc ，求当 a 为何值时，cos a + 2 cos2取得最大值，并求出这个最大值。题型六：图形中的解三角形例 6. 如图，在dabc 中， d 是边 ac 上的点，且ab = ad,2 ab =3bd, bc = 2bd ，则sin c 的值为a. 3b. 3c. 6d. 636361. 如图dabc 中,已知点 d 在 bc 边上, ac ad ,sin bac = 2 2 3, ab = 3 2, ad =

12、3 ，则 bd 的长为.题型七：正余弦定理解三角形的实际应用（一）测量问题1. 如图 1 所示，为了测河的宽度，在一岸边选定a、b 两点，望对岸标记物 c，测得cab=30，cba=75，ab=120cm，求河的宽度。 c adb图 1（二）遇险问题北西东a15b南30图 2c2. 某舰艇测得灯塔在它的东 15北的方向，此舰艇以 30 海里/小时的速度向正东前进，30 分钟后又测得灯塔在它的东 30北。若此灯塔周围 10 海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？（三）追击问题北ab3. 如图 3，甲船在 a 处，乙船在 a 处的南偏东 45方向， 距 a 有 9n mile 并以 2

13、0n mile/h 的速度沿南偏西 15方向航行，若甲船以 28n mile/h 的速度航行，应沿什么方向， 用多少 h 能尽快追上乙船？c图 3“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the