(完整)平面向量知识点总结,推荐文档

1、平面向量基础知识复习一、向量的基本概念平面向量知识点小结21. 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.注意：不能说向量就是有向线段，为什么u？uur提示：向量可以平移.a举例 1 已知 a(1, 2) ， b(4, 2) ，则把向量 ab 按向量 r = (-1,3) 平移r后得到的向量是.结果： (3,0)2. 零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作： 0 ，规定：零向量的方向是任意的；uuur3. 单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与 ab 共线的单位向量是；4. 相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等r向量有传递性

2、；uuurabuuur ）| ab |5. 平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量rrra、 b叫做平行向量，记作：a b，规定：零向量和任何向量平行.注：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；r0平行向量无传递性！（因为有 )；uuur uuur三点 a、 c 共线 ab、ac 共线.rr6. 相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量. a 的相反向量记作-a .| a |a举例 2 如下列命题：（1）若 r = r ，| b则| r = r . b（2） 两

3、个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.uuur uu ur（3） 若 ab =dc，则 abcd 是平行四边形.uuur uu urrr（4） 若 abcd 是平行四边形，则 ab d=c .rrr r（5） 若 a = br ， br = c ，则 a = c .rrr r（6）若 a / /b ， b / /c 则 a / /c .其中正确的是 .结果：（4）（5）二、向量的表示方法1. 几何表示：用带箭头的有向线段表示，如uuur，注意起点在前，终点在后；ab rrr2. 符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如 a ， b ， c 等；3. 坐标表示：在平面内建立直角坐标系，

4、以与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量r rrrrrri , j 为基底，则平面内的任一向量 a 可表示为 a = xi + y = (x, y) ，称(x, y) 为向量 a 的坐标，=rra (x, y) 叫做向量 a 的坐标表示.结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.三、平面向量的基本定理定理设 r rr(a,a) ， 使 ar =e , e 同一平面内的一组基底向量， a是该平面内任一向量，则存在唯一实数对1 2 r + a r .aee1 21 12 2（1）定理核心： r = r + r ；（2）从左向右看，是对向量 r 的分解，且表达式唯一；反之，

5、是对向量 r 的合成.a1e12e2aae ,ea e ea（3）向量的正交分解：当 r r 时，就说 r = r + r 为对向量 r 的正交分解举 例 3 （1） 若 r = (1,1) ， r = 1 2 1) ， r = (-1, 2) 1 1r 2 2.结果： 1 r - 3 r .ab(1, -c，则 c =ab22（2） 下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是ba. rrrrrrrr 13 e= (0,0) ， e= (1, -2)b. e= (-1, 2) ， e= (5,7)c. e= (3,5) ， e = (6,10)d. e = (2, -3) ， e =, -12

6、121212 uuur uuuruuur ruuur ruuurr r 2 4 （3） 已知 ad, be 分别是abc 的边 bc ， ac 上的中线,且 ad = a ， be = b ,则 bc 可用向量 a,b 表示为.结2 r 4 r果： 3 a + 3 b .uuuruuuruuuruuuruuur（4） 已知 abc 中，点 d 在 bc 边上，且cd =2db ， cd r=ab s a+c，则 r + s = 的值是.结果：0.四、实数与向量的积a实数a与向量 ar 的积是一个向量，记作a r ，它的长度和方向规定如下：a| a|（1）模： | a r =| a| r ；（2

7、） 方向：当a 0 时， arra 0 ，且 ar 、 br不同向， ar br 0 是a为锐角的必要不充分条件；当a为钝角时， a 0 ，且 ab、 b不反向；a 0 是a为钝角的必要不充分条件.br rrr（3） 非零向量 ， 夹角a的计算公式： cosa=a b； a r rr r.abrrrrr r| a | b |b | a | b |4举例 6（1）已知 a = (a, 2a) ，= (3a, 2) ，如果 a 与的夹角为锐角，则a的取值范围是.结果： a 0 且a 1 ；bb 33（2） 已知ofq 的面积为 s ，且uuur uuur= 1 ，若1 s 0 ）.r rr rrr

8、r r k 2 + 11用 k 表示 a b ；求 a b 的最小值，并求此时 a 与 b 的夹角a 的大小.结果： a b =a= 60o .六、向量的运算(k 0) ；最小值为 ，4k2平面向量基础知识复习1. 几何运算（1） 向量加法运算法则：uu平ur行四r 边形法则；三角形法则.r运算形式：若uuurruuurrrruuur uuuruuur作图：略.ab = a ， bc = b ，则向量 ac 叫做 a 与b 的和，即 a + b = ab + bc = ac ；注：平行四边形法则只适用于不共线的向量.（2） 向量的减法运算法则：三uu角ur形法r 则.运算形式：若量的终点.作图

9、：略.uuurrrruuur uuuruurab = a ， ac = b ，则 a - b = ab - ac = ca ，即由减向量的终点指向被减向注：减向量与被减向量uuu的r 起uuu点r 相uu同ur .uuur uuur uu ur uuuruuuruuur uuur 举例 7 （1）化简：uuuruuurrad ； cb ； 0 ；ab + bc + cd =； ab - ad - dc =； ( ab- cd) - ( ac - bd) =.结果：（2）若正方形 abcd 的边长为 1， uuur = r ， uuur = r ， uuur = r ，则 r r r =.结果：

10、 2；2ab abucuubr uuur acuuurc uuur | au+uurb + c |（3） 若 o 是abc 所在平面内一点，且满足-=+-，则abc 的形状为.结果：直角三角形；ob oc ob oc2oa| ap |uuur uuur uuur ruuur（4） 若 d 为abc 的边 bc 的中点， abc 所在平面内有一点 p ，满足 pa + bp + cp = 0 ，设 uuur = a，则a的值为.| pd |结果：2；uuuruuur uuurr r （5） 若点 o 是abc 的外心r ，且o+ a ob+ co =，则0abc 的内角 c 为.结果： 120o

11、 .r2. 坐标运算：设 a = (x , y ) ，= (x , y ) ，则（11 1 r）向量的加减法运算： arb22r+ = (x + x , y + y ) ， a -= (x - x , y - y ) .b12 12b12 12uuur uuuruuur举例 8 （1）已知点 a(2,3) ， b(5, 4) ， c(7,10) ，若 ap =ab + aac( ar) ，则当a= 时，点 p 在第一、三象限的角平分线上.结果： 1 ；-（2）已知21 uuura aa(2,3) ， b(1,4) ，且= (sin x,cos y) ， x, y (-， 则 x + y =.结

12、果： a 或 a ；2 uaurb2 , 2 )62(9,1) .（3） 已知作用在点 a(1,1) 的三个力=uuruurur ur uur uur f1 (3, 4) ， f2 = (2, -5) ， f3 = (3,1) ，则合力 f = f1 + f2 + f3 的终点坐标是. 结果：r（2）实数与向量的积： aa = a(xu,uuyr ) = (ax ,ay ) .（3） 若 a(x , y ) ， b(x , y ) ， 则1 1= (x - x1 , y 1- y ) ，即一个向量的坐标等于表示这个向1 122ab21 21量的有向线段的终点坐标减u去uur 起1 u点uur

13、坐uu标ur .uuur11举例 9 设 a(2,3) ， b(-1,5) ，且=，=，则 c, d 的坐标分别是.结果：-7,9) .acr r3 abad 3ab(1,3),(（4） 平面向量数量积： a= x x + y y .b1 21 2举例 10 已知向量 r = (sin x,cos x) ， r = (sin x,sin x) ， r = (-1,0) .abcac（1）若 x = a ，求向量 r 、 r 的夹角；（2）若 x - 33a a ，函数 f (x) = ar r 的最大值为 1 ，求a的值.结果：（1） 150 ；（2） 1 或 - 2 - 1 .ao, b8

14、422x2 + y2a| a | a |（5）向量的模： r2 = r 2 = x2 + y2 r =.举例 11 已知 r r 均为单位向量，它们的夹角为 60 ，那么 r +r13a,bo| a3b |= .结果：.(x - x ) + ( y - y )222121（6）两点间的距离：若 a(x , y ) ， b(x , y ) ，则| ab |=.1 122y60oox举例 12 如图，在平面斜坐标系 xoy 中， xoy = 60o ，平面上任一点 p 关于斜坐标系uuur的斜坐标是这样定义的：若=r + r ，其中 r r 分别为与 x 轴、 y 轴同方向的单op xe yee

15、,e位向量，则 p 点斜坐标为(x, y) .121 2（1） 若点 p 的斜坐标为(2, -2) ，求 p 到 o 的距离| po | ；（2） 求以 o 为圆心，1 为半径的圆在斜坐标系 xoy 中的方程.3平面向量基础知识复习结果：（1）2；（2） x2 + y2 + xy - 1 = 0 .七、向量的运算律 rrrr1.交换律： r + b = b + r ， a(ar = (aa r ， r = r ；6aaa)rr)aarb a brrr2.结合律： r + + r = r + r ， r - - r = r - r + r， (ar= a r = r (a ；a b c(a b

16、) ca b ca(b c)a) b (ab) )ab )3.分配律： (a+ a r = ar + ar ， a r + r = aa + r ， rr ra c + c .r rr r)aar arr(ar r r rba) r(rar+br r =rb r) crrb举例 13 给出下列命题： a - c) = a - a c ； a c) = (a c ； (a -2 =| a |2 -r r + r 2 ；(br rrbrr r(bb )b )rr r r rr rrr2 | ra | br | | b |a r rr r2 2b = b ； (a b )2 = a2 b 2 ；若

17、a b = 0 ，则 a = 0 或 b = 0 ；若 a b = c b 则 a = c ； | a | = a ； r2rr rrr raa(a - b )2 = a 2- 2a r b +2b .其中正确的是.结果：.说明：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能r两边r 同r 除以r 一r 个r向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即 a 八、向量平行(共线)的充要条件 c) (a (bb ) c ，为什么？rrr rr r 2r

18、 r 2a / /b aab (a b ) = (| a | b |) x1 y2 - y1 x2 = 0 .举例 14 (1)若向量 r = (x,1) ， r = (4, x) ，当 x =时， r 与 r 共线且方向相同.结果：2.ar（2） 已知 rrbr rrr rabr r （3） 设uuura = (1,1) ， b = (4, x) ， u = a + 2b ， v = 2a + b ，且 u / /v ，则 x =.结果：4.uuuruuur pa = (k,12) ， pb = (4,5) ， pc = (10, k) ，则 k =时， a, b,c 共线.结果： -2 或

19、 11.九、向r 量垂r 直的r 充r 要条件rrrra b a b = 0 | a + b |=| a - b | x1 x2 + y1 y2 = 0 . uauubruaucur uauubruaucur 特别地 uuur + uuur uuur - uuur . | abuuur| | ac | | ab | | ac | 举例 15 (1)已知=uuuruuur uuur3oa (-1, 2) ， ob = (3, m) ，若 oa ob ，则 m =.结果： m = ；2（2） 以原点 o 和 a(4, 2) 为两个顶点作等腰直角三角形 oab ， b = 90 ，则点 b 的坐标是

20、.结果：(1,3)或（3，1）；（3） 已知 rr rrrr n = (a,b) 向量 n m ，且| n |=| m | ，则 m = 的坐标是.结果： (b, -a) 或(-b, a) .十、线段的定比分点1. 定义：设点 p 是直线 p1p2 上异于 p1 、 p2 的任意一点，若存在一个实数a，使uuuruuuruuuuruuuurp1p = app2 ，则实数a叫做点 p 分有向线段 p1p2 所成的比a， p 点叫做有向线段 p1p2 的以定比为a的定比分点.2. a的符号与分点upuuu的r 位置之间的关系（1） p 内分线段upuupur ，即点 p 在线段 pp 上 a 0

21、；a1（2） p 外分线段21 2时，点 p 在线段 pp 的延长线上 -1 ，点 p 在线段 pp 的p1 p21 21 2反向延长线上 -1 a 0 .uuuur注：若点 p 分有向线段pp所成的比为a，则点 p 分有向线段uuuur所成的比为 1 .uuur1 23uuurp2p1a举例 16 若点 p 分 ab 所成的比为，则 a 分 bp所成的比为.结果： - 7 .433. 线段的定比分点坐标公式：设 p (x , y ) ， p (x , y ) ，点 p(x, y) 分有向线段uuuur所成的比为a，则定比分点坐标公式为1 1 1x = x1 + ax2 ,2 22p1 p21

22、+ ay +ay(a -1) . y = 12 .1+ a特别地，当a= 1时，就得到线段 pp 的中点坐标公式 x = x1 +2 x2 ,1 2y + y y = 12 .2说明：（1）在使用定比分点的坐标公式时，应明确(x, y) ， (x1 , y1 ) 、(x2 , y2 ) 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标.（2）在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比a.举例 17 （1）若 m (-3, -2) ， n (6, -1) ，且 uu ur = - 1 uuuur ，则点 p 的坐标为.结果： (-6, - 7 ) ；mp3 mnuu

23、uur3（2）已知 a(a,0) ， b(3, 2 + a) ，直线 y = 1 ax 与线段 ab 交于 m ，且=uu urr.结果：或 -4 .2十一、平移公式ram 2mb ， 则 a = x = x + h,如果点 p(x, y) 按向量 ar= (h, k ) 平移至 p(x, y) ，则 y = y + k.；曲线 f (x, y) = 0 按向量a = (h, k ) 平移得曲线 f (x - h, y - k ) = 0 .说明：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！aa举例 18 （1）按向量 r 把(2, -3r) 平移

24、到(1, -2) ，则按向量 r 把点(-7, 2) 平移到点r.结果： (-8,3) ； a（2）函数 y = sin 2x 的图象按向量 a 平移后，所得函数的解析式是 y = cos 2x + 1 ，则 a =.结果： (- 十二、向量中一些常用的结论.,1)41. 一个封闭图形首尾连r 接而成的r向量和为r 零向量，要注意运用；2. 模的性质：| ar| - |b| | ar +b | ar| + | | .br r 同 向 或 r rrrrrr（1） 右边等号成立条件： ar、r bra、br 中有0r | ar + br |=| ar | + | rb |；（2） 左边等号成立条件

25、： a 反向或 a中 有 | a -=| a | +；a（3） 当 r r 不共线rr、b| a | -| arr、br+ | ar0| + .b | b |、b3. 三角形重心公式| b |b | b |在abc 中，若 a(x1 , y1 ) ， b(x2 , y2 ) ， c(x3 , y3 ) ，则其重心的坐标为g( x1 + x2 + x3 , y1 + y2 + y3 ) .33举例 19 若abc 的三边的中点分别为 a(2,1) 、 b(-3, 4) 、 c(-1, -1) ，则abc 的重心的坐标为.结果： - 2 , 4 . 3 3 5. 三uu角ur形“三心”的向量表示（

26、1）pg =1 uur uuur uuuruur u ur uuurr(pa + pb + pc) g 为 abc 的重心，特别地 pa + pb + pc = 0 g 为3abc 的重心.uur u ur u ur uuur uuur uur（2） pa pb = pb pc = pc pa p 为 abc 的垂心.uuuuruuur uuuur uuruu uru uru（uur3） |uuaubr | pc+| bc | p+a | ca |=pb0 p 为 abc 的内心；向量abaca uuuur + uuuur (a 0) 所在直线过 abc 的内心. | ab | | ac | uuuur1 26. 点p 分有向线段 pp所成的比a向量形式uuuuruuuru u ruuuur设点 p 分有向线段 pp 所成的比为a，若 m 为平面内的任一点，则 mp = mp1 + amp2 ，1 2uuuuruuuruuuur uuuur特别地 p 为有向线段 pp 的中点 mp = mp1 + mp2 .1+ a1 227. 向量uur u uruuur 中三终点 平a,面b向,c量共基础