(完整)大一高数总结上册,推荐文档

1、姓名：班级：学号：8 / 8一、函数第一章 函数、极限、连续（小结）o1. 邻域： u (a) ,u (a) 以 a 为中心的任何开区间；a22. 定义域： y = tan x x ka+ ;y = cot x x ka;a ayx r, y (-a a； y = arcsin xx -1,1, y -= arctan x, ), 二、极限2 22 2y = arccos x x -1,1, y 0,a.1. 极限定义：（了解）lim x = a 若对于a 0 ， $n z + ， st. 当 n n 时，有| x- a | a；n nnnote： | xn - a | ?lim f (x)

2、= a a 0 ， $a 0 ， st.xx0当0 x - x0a时，有f (x) - a a；note：f (x) - a ax - x0 0 ， $x 0 ， st. 当 xx x 时，有f (x) - a a；note： 2.函数极限的计算（掌握）f (x) - a ?（1） 定 理 ： lim0xx-f (x) = a f (x- ) = f (x+ ) = lim000xx-f (x) = a ；（分段函数）3 - x1 + x 3（2） 0 型：约公因子，有理化；比如： lim x2 -1， lim-；0 2重要极限lim sin x = limx1 x -1sin u(x) =

3、1 ；x1x + x - 2x0xu ( x )0u(x)等价无穷小因式代换：tan x : x, sin x : x, arc sin x : x ，1- cos x 21 x2 ，n 1+ xn-1 1 x ， ex -1 x ， ln(1+ x) x - 型：先通分；比如： lim 1 -2 x1 1 - x1 - x2 型：转化为无穷小；比如： limx2 + 1x x2 + x - 2111 型： 重要极限lim (1 + x)x =x 0lim (1 + u(x)u ( x ) = e ；u ( x ) 0（3） 无穷小量：无穷小 无穷小=无穷小；无穷小 有界量=无穷小比如： li

4、m cos xx 2x（4） 函数极限与无穷小的关系： lim f (x) = a f (x) = a +a,其中：lima= 0（抽象函x x0数）x x0（5） 微分中值定理： f (b) - f (a) = f (a) ；比如： lim arctan x - arctan1 （第 3 章）b - ax1x -1（6） 罗必达法则： lim f (x) = lim f (x) 0 , 比如： limtan x - x（第 3 章）x x0 g(x)x3. 数列极限的计算：n2 + 1n2 + 2夹逼原则： lim1+1nx0 g(x) 0 n2 + n+l1x0 x2 sin x1 + i

5、n1 n1nn a积分定义： limnn i =1= 01 + xdx ；lim qn= 0(| q | 1) ； limn= 1.（第五章）三、连续1. 函数在点 x0 处连续： lim f (x) =xx0f (x0 ) .一切初等函数在其定义域都是连续的.2. 闭区间上函数连续的性质：最大最小值定理：若 f (x) 在 a , b 上连续，则 f (x) 在 a , b 上一定有最大、最小值.零点定理：设 f (x) c a , b ，且 f (a) f (b) 0 ，至少有一点a ( a , b ) ，使得 f (a) = 0介值定理：设 f (x) c a , b ，且 f (a)

6、= a ， f (b) = b , a b则对 a, b 之间的任意常数c ，至少有一点a ( a , b ) ，使得 f (a) = c .四、间断点1. 第一类间断点：f (x - ) 、 f (x + ) 存 在00若 f (x - ) = f (x + ) f (x ) ，则称 x 为可去间断点；0000000若 f (x - ) f (x + ) ，则称 x 为跳跃间断点；2. 第二类间断点：f (x - ) 、 f (x + ) 至少一个不存在00若其中一个趋向 ，则称 x0 为无穷间断点；若其中一个为振荡，则称 x0 为振荡间断点；第二章 导数与微分（小结）一、导数的概念1. f

7、 (x ) = lim dy = lim f (x0 + dx) - f (x0 ) = lim f (x0 + h) - f (x0 ) 0d x0 d xd x0d xh0hnote：该定义主要用于相关定理的分析与证明；导函数求导公式： f (x) = lim f (x + h) - f (x) .h0h2. 分段函数在分段点处可导性判别：定理： f (x) 在 x0 处可导 f (x) 在 x0 处即左可导，又右可导+0-0f (x ) = limf (x) - f (x0) ,f (x ) = limf (x) - f (x0 ) .00x x0 +x - xx x0 -x - x3.

8、 导数的几何意义：切线斜率，即 k = f (x0 )当 f (x0 ) 时，曲线在点(x0 , y0 ) 处的切线、法线方程为：00切线方程： y - y= f (x )(x - x ) ；法线方程： y - y = -1(x - x )二、导数的运算000f (x0 )1. 四则运算： u(x) v(x) = u(x0 ) v(x0 ) ；u(x)v(x) = u(x)v(x) + u(x)v(x) ；= u(x) u(x)v(x) - u(x)v(x)v(x) v2 (x)；2. 反函数求导： y = f (x) ， x =a(y) 互为反函数，则 f (x) =1a(y)3. 复合函数

9、求导： y = f a(x)，则 d y =d xf (u) a(x) .4. 隐函数求导：f (x, y) = 0 两边关于 x 求导，把 y 看成是 x 的函数.5. 参数方程x = x(t),dydydtdydx y(t)三、微分： y = y(t), 则=dxdt dx=dtdt= x(t)1. 微分的概念：若有dy = f (x0 + dx) - f (x0 ) = ad x + o(dx) 成立，记作：dydy = adxnote： dy = adx = adx =f (x)dx , y = f (x), dy = f (x)dx ；2. 微分在近似计算中的应用（1）近似计算f (

10、x) f (x0 ) + f (x0 )(x - x0 ) .第三章 微分中值定理及导数的应用一、微分中值定理1、罗尔(rolle)中值定理： (a, b) 内至少存在一点a，使得f (a) = 0 .note： 证明导函数根的存在性. 证明原函数根的唯一性.f (b) - f (a)2、拉格朗日中值定理：在(a, b) 内至少存在一点a,使得note： 把 f (b) - f (a) 用 f (a) 做代换，求极限.b - a 由 a a b 建立不等式，用于证明不等式.f (a) =.b - af (a)3、柯西中值定理：在(a, b) 内至少存在一点a,使得： g(a) =note：用于

11、说明洛必达法则.二、洛必达法则f (b) - f (a)g(b) - g(a)（1） 可结合两个重要极限、等价无穷小代换，约公因子等方法灵活运用.1（2） 若- ，不为分式，可通过令： x =1t，创造分式.比如： limx2 ln(1+) - x0xx: 0 : 0通分取倒数取对数- 0 00: : 1三、函数图形的描绘（1）写定义域，研究 f (x) 的奇偶性、周期性；（2）求 f (x) ， f (x) ；f (x) = 0f (x) = 0（3） 令 f (x)不$ 可疑极值点 x1 ， f (x)不$ 可疑拐点 x2 ；（4） 补充个别特殊点，求渐近线： lim f (x) = c

12、， lim f (x) = ；xxx0（5） 列表分析单调性、凹凸性、拐点、极值点； （6）画图x(-x1 )x1(x1x2 )x2(x2+)f (x):f (x)+极值点-+f (x)-拐点+-五、最值的计算:（1）求 f (x) 在(a , b) 内的可疑极值点： x1 , x2 , l , xm（2）最大值： m = maxf (x1) , f (x2 ) ,l, f (xm ) , f (a), f (b) 特别的，（1） f (x) 在 a, b 上只有一个可疑极值点，若此点取得极大值，则也是最大值点.（2） f (x) 在 a, b 上单调时，最值必在端点处达到.（3） 对应用问题

13、 , 有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大 值点或最小值点 .第四章 不定积分一、不定积分： f (x)dx = f (x) + c ， f (x)d x =note： c 为积分常数不可丢！ d f (x)f (x) dx = f (x) + c dx f (x)+ g(x)dx = f (x)dx + 几个常用的公式g(x) dx ； kf (x)dx = k f (x)dx .aa+1xax1a+1x dx = 1x+ c ， a dx = ln a + c x dx =ln x + csec x tan xdx = sec x + c ， csc x cot xdx = -cs

14、c x + c ，二、 换元积分法：1. f a(x)a(x)dxu=a(x)= f (u) du .note：常见凑微分：xdx = d (x + c), xdx = 1 d (x2 + c),1 dx = 2d (+ c), 1 dx = d (ln | x | +c)2xx11+x2dx = d (arc tan x) = -d (arc cot x),1dx = d (arcsin x) = -d (arc cos x)1- x2适用于被积函数为两个函数相乘的情况，若被积函数为一个函数，比如：()4sin x cos xe2x 1 dx ，若被积函数多于两个，比如：1+ sin x一般

15、选择“简单”“熟悉”的那个函数写成a(x) ；dx ，要分成两类；若被积函数为三角函数偶次方，降次；奇次方，拆项；u =a( x)2. f (u) du = f a(x)a x)dxnote：常见代换类型:n ax + b f (x , n ax + b ) dx ， t = f (x ,x2 - a2 ) dx ， x = a sec ta2 - x2a2 + x2 f (x ,) dx ， x = a sin t f (x ,) dx ， x = a tan tn a x+bc x+dc x+d f (ax ) dx ， t = ax f (x , n a x+b ) dx ， t =三、

16、分部积分法： uvdx = uv - uv dx .note：按“ 反对幂指三” 的顺序，谁在前谁为u uv 要比 uv 容易计算；适用于两个异名函数相乘的情况，若被积函数只有一个，比如：x arcsin x 1dx ， e x dx （ t =）；多次使用分部积分法：uuu 求导三、 有理函数的积分vv v 积分 p(x) 1. 假分式= 多项式 + 真分式 q(x) ；2. 真分式= （拆成）若干部分分式之和；note：拆项步骤：将分母分解： q(x) = (x - a)2 (x2 + p x + q)2根据因式的情况将真分式拆成分式之和：(p2 - 4q 0)2 +p1(x) = a1

17、+a2 b1 x + c1 b2 x + c23. 逐项积分.q(x)x - a(x - a)x2 + p x + q(x2 + p x + q)2注：有时一个题目会用到几种积分方法，要将所有的方法灵活运用，融会贯通！第五章 定积分一、 定积分的概念及性质bn(b - a)ib1. 定义： af (x)dx = lima0 i=1f (ai)dx i，其中ai =n；b2. 几何意义： f (x) 0 ,a f (x) dx 曲边梯形面积3. 性质：f (x) 0 ,a f (x) dx 曲边梯形面积的负值baa（1） a f (x) dx = -b f (x) dx a f (x) dx =

18、 0b（2） a dx = b - abb（3） a k f (x) dx = k a f (x) dx ;bbb（4） a f (x) g(x)dx = a f (x) dx a g(x) dx ;bcb（5） a f (x) dx = a f (x) dx + c f (x) dx ;b（6）若在a, b 上 f (x) 0 ， 则a f (x) dx 0 ;b（7） 设 m = max f (x),a , bbm = min f (x) ，则 m(b - a) a , ba f (x) dx m (b - a) ;（8） 积分中值定理： af (x) dx =xf (a)(b - a)

19、，aa , b .4. 变上限函数： f(x) = a f (t) dtnote： dbf (t) dt = -f (x) ；d a(x)f (t) dtf a(x)a(x)d x xd x aa(x)da(x) f (t) dtd af (t) dt+f (t) dtdx a( x)= d x a( x)a= f a(x)a(x) - f a(x)a(x)bb5. 牛顿莱布尼茨公式： a f (x) dx = f (x) a = f (b) - f (a) .二、定积分的计算1. 换元积分：换元必须换限，无需变量回代，凑微分不必换限；2. 分部积分： b uvdx = uv b - b uv

20、dx ；aaaa3. 若 f (x) 为奇函数，则- a f (x)dx = 0 ；aa若 f (x) 为偶函数，则- a f (x)dx = 20 f (x)dx .baa+a4. 广义积分：-f (x)dx = blim- bf (x)dx ;bf (x)dx = limaf (x)dx ;三、 定积分的应用b1. 平面图形的面积直角坐标： a = af (x) dxbd推广： a=a f (x) - g(x)dxa=c f ( y) - g( y)dy极坐标： a = 1 aa2 (a) da2 a1+ y22. 曲线的弧长b（1） s = aad x =b a1+ f (x) d x ， y =2 x =a(t)f (x)(a x b)a2 (t) +a2 (t)（2） s = adt ， y =a(t)(a t a)a（3） s = ada，r = r(a)(aa a)r2 (a)+ r2 (a)b3. 已知平行截面面积函数为 a(x) 的立体体积：v = a a(x) dxnote：特别的，当立体为曲线 f (x) 绕坐标轴形成的旋转体时， f (x) 绕 x 轴 ：v = b f (x)2 dxa f (x) 绕 y 轴 ：v = b a( y)2 dya“”“”at the e