排列组合专题复习及经典例题详解

1、排列组合专题复习及经典例题详解1. 学习目标掌握排列、组合问题的解题策略2.重点（1）特殊元素优先安排的策略：（2）合理分类与准确分步的策略；（3）排列、组合混合问题先选后排的策略；（4）正难则反、等价转化的策略；（5）相邻问题捆绑处理的策略；（6）不相邻问题插空处理的策略3.难点综合运用解题策略解决问题4.学习过程:(1)知识梳理1分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有几类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法在第n类型办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法2分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种

2、不同的方法，做第n步有种不同的方法；那么完成这件事共有种不同的方法特别提醒：分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏3排列：从n个不同元素中，任取m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，时叫做选排列，时叫做全排列.4排列数：从n个不同元素中，取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示.5排列数公式：排列数具有的性质：特别提醒：规定0!=16

3、组合：从n个不同的元素中，任取m(mn)个不同元素，组成一组，叫做从n个不同元素中取m个不同元素的一个组合. 7组合数：从n个不同元素中取m(mn)个不同元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数，用符号表示. 8组合数公式：组合数的两个性质： ； 特别提醒：排列与组合的联系与区别.联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系. (2)典型例题考点一:排列问题例1.六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（

4、5）甲、乙站在两端；（6）甲不站左端，乙不站右端.【解析】：(1)方法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：方法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有种站法，然后中间4人有种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：方法三：若对甲没有限制条件共有种站法，甲在两端共有种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即共有站法：（2）方法一：先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，和其余4人进行全排列有种站法，再把甲、乙进行全排列，有种站法，根据分步乘法计数原理，共有方法二：先把甲

5、、乙以外的4个人作全排列，有种站法，再在5个空档中选出一个供甲、乙放入，有种方法，最后让甲、乙全排列，有种方法，共有（3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有种站法；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，有种站法，故共有站法为此外，也可用“间接法”，6个人全排列有种站法，由（2）知甲、乙相邻有种站法，所以不相邻的站法有.（4）方法一：先将甲、乙以外的4个人作全排列，有种，然后将甲、乙按条件插入站队，有种，故共有站法.方法二：先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有种，然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下

6、2人作全排列有种方法，最后对甲、乙进行排列，有种方法，故共有站法.（5）方法一：首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有种，再让其他4人在中间位置作全排列，有种，根据分步乘法计数原理，共有站法.方法二：首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有种站法，然后考虑中间4个位置，由剩下的4人去站，有种站法，由分步乘法计数原理共有站法.（6）方法一：甲在左端的站法有种，乙在右端的站法有种，甲在左端而且乙在右端的站法有种，故甲不站左端、乙不站右端共有-2+=504（种）站法.方法二：以元素甲分类可分为两类：甲站右端有种站法，甲在中间4个位置之一，而乙又不在右端有种，故共有+=504（种）站法.考点二:组合问题例

7、2. 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）队长中至少有1人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员.【解析】：（1）选法为.（2）方法一：至少1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分类计数原理可得总选法数为.方法二：因“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，故可用间接法求解.从10人中任选5人有种选法，其中全是男运动员的选法有种.所以“至少有1名女运动员”的选法.（3）方法一：可分类求解：“只有男队长”的选法为；“只有女队长”的选

8、法为；“男、女队长都入选”的选法为；所以共有2+=196（种）选法.方法二：间接法：从10人中任选5人有种选法.其中不选队长的方法有种.所以“至少1名队长”的选法为-=196种.（4）当有女队长时，其他人任意选，共有种选法；不选女队长时，必选男队长，共有种选法，而且其中不含女运动员的选法有种，所以不选女队长时的选法共有种选法.所以既有队长又有女运动员的选法共有种.考点三:综合问题例3.4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？【解析】：（1）为保证“恰有1个盒不放球”，先

9、从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有；（2）“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也就是说另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法.（3）确定2个空盒有种方法；4个球放进2个盒子可分成（3，1）、（2，2）两类：第一类有序不均匀分组有种方法；第二类有序均匀分组有种方法.故共有种.当堂测试1.从5名男医生、4名女医生

10、中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 （ ）A.70 种 B.80种 C.100 种 D.140 种【解析】：分为2男1女，和1男2女两大类，共有种解题策略：合理分类与准确分步的策略2.2020年北京奥运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事司机、导游、翻译、礼仪四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 （ ）A.48 种 B.12种 C.18种 D.36种【解析】：合理分类，通过分析分为（1）小张和小赵恰有1人入选，先从两人中选1人，然后把这个人在前两项工作中安排一

11、个，最后剩余的三人进行全排列有种选法（2）小张和小赵都入选，首先安排这两个人做前两项工作有种方法，然后在剩余的3人中选2人做后两项工作，有种方法故共有种选法解题策略：.特殊元素优先安排的策略.合理分类与准确分步的策略.排列、组合混合问题先选后排的策略3.从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（ ）A.48 B.12 C.180 D.162【解析】：分为两大类：（1）含有0，分步：从另外两个偶数中选一个，有种方法，.从3个奇数中选两个，有种方法；.给0安排一个位置，只能在个、十、百位上选，有种方法；.其他的3个数字进行全排列，有种排法，根据乘

12、法原理共有种方法（2）不含0，分步：偶数必然是2和4 ；奇数有种不同的选法，然后把4个元素全排列，共种排法，不含0 的排法有种根据加法原理把两部分加一块得108+72=180个4.甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女同学若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）A.150种 B.180种 C.300种 D.345种【解析】：4人中恰有1名女同学的情况分为两种，即这1名女同学或来自甲组，或来自乙组，则所有不同的选法共有种选法解题策略：合理分类与准确分步的策略5.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有

13、（ ）A.6 B.12 C.30 D.36【解析】：法一：甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法可以分为两类：甲、乙所选的课程中2门均不相同，甲先从4门中任选2门，乙选取剩下的2门，有种甲、乙所选的课程中有且只有1门相同，分为2步：从4门中先任选一门作为相同的课程，有种选法，甲从剩余的3门中任选1门，乙从最后剩余的2门中任选1门，有种选法，由分步计数原理此时共有种最后由分类计数原理，甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有6+24=30种故选C法二：可以先让甲、乙任意选择两门，有种方法，然后再把两个人全相同的情况去掉，两个人全相同，可以将甲与乙看成为同一个人，从4门中任选两门有种选法，所

14、以至少有一门不相同的选法为种不同的选法解题策略：正难则反，等价转化的策略6.用0 到9 这10 个 数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ）A.324 B.328 C.360 D.648【解析】：第一类个位是0，共种不同的排法；第二类个位不是0，共种不同的解法故共有+=328（个）解题策略：合理分类与准确分步的策略.7.从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的总数为（ ）A.85 B.56 C.49 D.28【解析】：合理分类，甲、乙全被选中，有种选法，甲、乙有一个被选中，有种不同的选法，共+=49种不同的选法解题策略：（1）特殊元素

15、优先安排的策略；（2）合理分类与准确分步的策略.8.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的总数为（ ）A.4 B.18 C.24 D.30【解析】：将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组，则共有种不同的分法，然后三组进行全排列共种不同的方法；最后再把甲、乙分到同一个班的情况排除掉，共种不同的排法所以总的排法为-=30种注意:这里有一个分组的问题，即四个元素分成三组有几种不同的分法的问题解题策略：.正难则反、等价转化的策略.相邻问题捆绑处理的策略.排列、组合混合问题先选后排的策略；解排列组合的应用题要注意以下几点：仔细审题，判断是排列还是组合问