高考数学《向量》专题复习(专题训练

1、高考向量专题复习1.向量的有关概念：（1）向量的定义：既有大小又有方向的量。向量可以任意平移。（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：.（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量。任意向量的单位化：与共线的单位向量是.（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量。（5）平行向量又叫共线向量，记作：.向量与共线，则有且仅有唯一一个实数，使；规定：零向量和任何向量平行；两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因为有)；相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；（6）向量的加法和减法满足平行四边形法则或三角形法则；2.平面向量的

2、坐标表示及其运算：（1）设，则；（2）设，则；（3）设、两点的坐标分别为，则=；（4）设，向量平行；（5）设两个非零向量，则，所以；（6）若，则；（7）定比分点：设点是直线上异于的任意一点，若存在一个实数，使，则叫做点分有向线段所成的比，点叫做有向线段的以定比为的定比分点；当分有向线段所成的比为，则点分有向线段所成的比为.注意：设、，分有向线段所成的比为，则， 在使用定比分点的坐标公式时，应明确，、的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比.当时，就得到线段的中点公式.的符号与分点的位置之间的关系：当点在线段上时；

3、当点在线段的延长线上时；当点在线段的反向延长线上时；3.平面向量的数量积：（1）两个向量的夹角：对于非零向量、，作，称为向量、的夹角。（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量、，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即.零向量与任一向量的数量积是0，注意：向量的数量积是一个实数，不再是一个向量。（3）在上的投影为，投影是一个实数，不一定大于0.（4）的几何意义：数量积等于与在上的投影的乘积。（5）向量数量积的应用：设两个非零向量、，其夹角为，则，当时，为直角；当时，为锐角或同向；注意：是为锐角的_条件；当时，为钝角或反向；注意：是为钝角的_条件；（6）向量三角不等式：

4、当同向，；当反向，；当不共线；4.平面向量的分解定理（1）平面向量分解定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使成立，我们把不共线的向量、叫做这一平面内所有向量的一组基底。（2）O为平面任意一点，A、B、C为平面另外三点，则A、B、C三点共线且.5.空间向量空间向量是由平面向量拓展而来的，它是三维空间里具有大小和方向的量，它的坐标表示有x，y，z.空间向量的性质与平面向量的性质相同或相似，故在学习空间向量时，可进行类比学习。如，若、三个向量共面，则.同时，对于空间任意一点O，存在，其中_例1.下列命题： 若a与b共线，则存在唯一的实数，使b=

5、a； 若向量a、b所在的直线为异面直线，则向量a、b一定不共面； 向量a、b、c共面，则它们所在直线也共面； 若A、B、C三点不共线，O是平面ABC外一点，若OM=13OA+13OB+13OC，则点M一定在平面ABC上，且在内部；若，且，则 ；若，则它们的夹角为锐角；其中正确的命题有_（填序号）例2.已知向量a，b夹角为3，|b|=2，对任意xR，有|b+xa|a-b|，则|tb-a|+|tb-a2|（tR）的最小值是_例3.如图，在等腰三角形ABC中，已知|AB|=|AC|=1，A=120，E、F分别是AB、AC上的点，且AE=AB，AF=AC，且，（0，1），且+4=1，若线段EF、BC的

6、中点分别为M、N，则MN的最小值为_例4.已知平面向量a，b，c满足|a|=2，|b|=1，ab=-1，且a-c与b-c的夹角为4，则|c|的最大值为_变式训练：1.已知向量a=（-1，-2），b=（1，），若a，b的夹角为钝角，则的取值范围是_2.在ABC中，|AB|=5，|AC|=6，若B=2C，则向量BC在BA上的投影是_3.如图，在中，已知BAC=3，|AB|=2，|AC|=3，点D为边BC上一点，满足AC+2AB=3AD，点E是AD上一点，满足AE=2ED，则|BE|=_4.在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且AB=1，EF=2，CD=3若ADBC=15，则A

7、CBD的值为_5.向量a，b的夹角为120，|a|=|b|=2，|c|=4，则|a+b-c|的最大值为_6.已知O是面上一定点，A，B，C是平面上的三个顶点，B、C分别是边AC、AB的对角。以下命题正确的是_（填序号）动点P满足OP=OA+PB+PC，则的外心一定在满足条件的P点集合中； 动点P满足OP=OA+（AB|AB|+AC|AC|）（0），则的内心一定在满足条件的P点集合中； 动点P满足OP=OA+（AB|AB|sinB+AC|AC|sinC）（0），则的重心一定在满足条件的P点集合中； 动点P满足OP=OA+（AB|AB|cosB+AC|AC|cosC）（0），则的垂心一定在满足条件

8、的P点集合中；动点P满足OP=OB+OC2+（AB|AB|cosB+AC|AC|cosC）（0），则的外心一定在满足条件的P点集合中；7.已知O是锐角三角形ABC的外接圆的圆心，且A=，若cosBsinCAB+cosCsinBAC=2mAO，则m=_8.（2017全国）已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA（PB+PC）的最小值是_9.在中，点A在OM上，点B在ON上，且AB/MN，2OA=OM，若OP=xOA+yOB，则终点P落在四边形ABNM内（含边界）时，y+x+2x+1的取值范围为_ 10.如图，在直角坐标系中，ABC是以（2，1）为圆心，1为半径的圆的内接正三

9、角形，ABC可绕圆心旋转， M、N分别是边AC、AB的中点，的取值范围是_11.如图，已知点P（2，0），且正方形ABCD内接于O：x2+y2=1，M、N分别为边AB、BC的中点当正方形ABCD绕圆心O旋转时，PMON的取值范围为_12.如图，矩形ORTM内放置5个边长均为3的小正方形，其中A，B，C，D在矩形的边上，且E为AD的中点，则（AE-BC）BD= _ 13.（2017浙江）如图，已知平面四边形ABCD，ABBC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=，I2=，I3=，则（ ）A.I1I2I3 B.I1I3I2 C.I3I1I2 D.I2I1I314.在坐标系中，O点坐标为（0，0），点A（3，4），点B（-4，3），点P在AOB的角平分线上，且OP长度为，则点P坐标为_15.（2017浙江）已知向量，满足，则的最小值是 ，最大值是 16.如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B3C3上有10个不同的点P1，P2，P10，记=，则m1+m2+m10的值为_17.已知向量、满足|=1，|=2，若对任意单位向量，均有|+|，则当取最小值时，向量与的夹角为_（用反三角表示）18.正十二边形A1A2A12内接于半径为1的圆，从、这1