傅里叶变换的基本性质

1、第七节傅里叶变换的基本性质,主要内容,1.对称性质 2.线性性质 3.奇偶虚实性 4.尺度变换性质 5.时移特性,时域卷积定理 频域卷积定理,6.频移特性 7.时域积分性质 8.时域微分性质 9.频域微分性质 10.帕塞瓦尔定理,例1,1.对称性,互易对偶性,时频对称性,例2,例3,其中，a1,a2为常数,2.线性性,则,3.奇偶虚实性,意义,a)0a1 时域扩展，频带压缩,b) a1 时域压缩，频域扩展a倍,4.尺度变换特性,展缩特性,例,信号的持续时间与信号占有频带成反比,结论,时域压缩，则频域展宽；时域展宽，则频域压缩,时移加尺度变换,5.时移特性,式中t0为任意实数,注意,信号在时域中

2、的时移，对应频谱函数在频域 中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变,书例3-2,求下列所示三脉冲信号的频谱,解：令f0(t)表示矩形单脉冲信号,由时移特性可得,实偶信号的频谱为实偶,已知双sa信号,试求其频谱,令,书p133,解,由时移特性得到,从中可以得到幅度谱为,双sa信号的波形和频谱如图（d） （e）所示,6.频移特性,调制定理,证明,由傅立叶变换定义有,证明,书例3-4,已知矩形调幅信号如图所示,其中g(t)为矩形脉冲，脉幅为e，脉宽为，试求其频谱,解：g(t)矩形脉冲的频谱为,根据频移特性：f(t)的频谱f(w)为,书p133,书例3-5 ： （书p134,注意“1”的作用,利用频移定

3、理求余弦信号的频谱,解一,解二,余弦信号及其频谱函数,注意：周期信号也存在傅里叶变换,7.时域积分特性,证明方法一：书p.135,证明方法二,利用卷积定理,正向应用,逆向应用,应用,时域积分性质应用举例,解,直接套用性质,用被积函数的傅氏变换来表示积分后的傅氏变换,正向应用,即,解,书例3-7）用时域积分性质求y(t)的频谱,逆向应用,对所求函数先微分再表示成积分形式,例1,易出错处：微分后再积分不一定等于原函数,解,补充,例2,代入上式得,8.时域微分特性,证明：书p.134,正向应用,逆向应用,应用,有条件,时域微分性质应用举例,正向应用,例1：（补充,解,用原函数的傅氏变换来表示微分后的

4、傅氏变换,直接套用性质,直接套用性质,即,例,逆向应用,即：用微分后的傅氏变换来表示原函数的傅氏变换,思考,为什么结果错误,例2（补充,特别,所有的时限信号都满足上述条件,逆向应用条件,解,逆向应用,例3（补充,思考,能否用时域微分性质求y(t)的频谱 ,易出错处：逆向应用时域微分性质是有条件的,已知三角脉冲信号,求其频谱,例4（书例3-6,解一：用时域积分性质,注意：微积分关系式成立的条件,解法二：用时域微分性质,第一步：判断能否逆用,第二步：求出二阶导数的频谱f2(w,第三步：逆向用时域微分性质求f(t)的频谱f (w),其幅频图,解法一：用时域积分性质,解法二：用时域微分性质,思考,2、对分段线性的信号哪种是更普遍的方法,1、本例两种方法中哪种更简单,解法三 ：应用时域卷积定理,至于微分几次要视实际情况来定,2、逆向应用两性质的思想是相同的,1、正向应用时,直接套用公式，没有要注意的问题,3、时域微分性质比时域积分性质方便,即微分后的傅氏变换易求，用它来表示原函数的傅氏变换,时域积分和时域微分两性质的比较,证明 :略,思考,9.频域微分特性,求单位斜变信号f(t)=tu(t)的频谱,补充例1,解,求信号f(t)=t的频谱,解,注意“1”的作用,补充例2,频域积分特性,用的少,10.帕塞瓦尔定理（pa