概率论与数理统计答案-第四版-第2章(浙大

1、1、 考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年后因意外死亡，则公司赔付20万元，若投保人因其他原因死亡，则公司赔付5万元，若投保人在投保期末生存，则公司无需付给任何费用。若投保人在一年内因意外死亡的概率为0.0002，因其他愿意死亡的概率为0.0010，求公司赔付金额的分布律。解：设X为公司的赔付金额，X=0,5,20P（X=0）=1-0.0002-0.0010=0.9988P（X=5）=0.0010P（X=20）=0.0002X0520P0.99880.00100.00022.(1) 一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取3只球，以X表示取出的三只中的最大号码，写出随机

2、变量的分布律. 解：方法一: 考虑到5个球取3个一共有C53 =10种取法，数量不多可以枚举来解此题。设样本空间为S S=123,124,125,134,135,145,234,235,245,345 易得，PX=3=110；PX=4=310；PX=5=610；X345Pk1/103/106/10 方法二：X的取值为3,4,5 当X=3时，1与2必然存在 ，PX=3= C22C53 =110; 当X=4时，1,2,3中必然存在2个， PX=4= C32C53 =310； 当X=5时，1,2,3,4中必然存在2个， PX=5= C42C53 =610；X345Pk1/103/106/10 (2)

3、将一颗骰子抛掷两次，以X表示两次中得到的小的点数，试求X的分布律.解：PX=1= P (第一次为1点)+P（第二次为1点）- P（两次都为一点）= 16+16-136 = 1136；PX=2= P (第一次为2点，第二次大于1点)+P（第二次为2点，第一次大于1点）- P（两次都为2点）= 1656+1656-136 = 936；PX=3= P (第一次为3点，第二次大于2点)+P（第二次为3点，第一次大于2点）- P（两次都为3点）= 1646+1646-136 = 736； PX=4= P (第一次为4点，第二次大于3点)+P（第二次为4点，第一次大于3点）- P（两次都为4点）= 163

4、6+1636-136 = 536； PX=5= P (第一次为5点，第二次大于4点)+P（第二次为5点，第一次大于4点）- P（两次都为5点）= 1626+1626-136 = 336；PX=6= P (第一次为6点，第二次大于5点)+P（第二次为6点，第一次大于5点）- P（两次都为6点）= 1616+1616-136 = 136；X123456Pk11/369/367/365/363/361/363.设在15只同类型的零件中有2只是次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样.以X表示取出的次品的只数. (1)求X的分布律.解：PX=0= C133C153 =2235;PX=1= C13

5、 2C21C153 =1235;PX=2= C131C22C153 =135;X012Pk22/3512/351/35 (2)画出分布律的图形. 4、进行独立重复试验，设每次试验的成功率为p，失败概率为q=1-p（0p3,即PX3=1-PX3=1-PX=0-PX=1-PX=2-PX=3 =1-e-4-4e-4-42e-42!-43e-43! =1-713e-4=0.566513.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼叫的次数X服从参数为（1/2）t的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）。（1） 求某一天中午12点至下午3点未收到紧急呼叫的概率；（2） 求某一天中午12点至下午5

6、点至少收到1次紧急呼叫的概率。解：(1)设某一天中午12点至下午3点未收到紧急呼叫的概率为P，时间间隔长度t=3，依题意有PX=0=(t2)ke-t2k!=(32)0e-320!=e-32=0.2231(2)依题意，即X1，时间间隔长度t=5，则 PX1=1-PX=0 =1-(t2)ke-t2k! =1-(52)0e-520! =1-e-52=0.917914.某人家中在时间间隔t（小时）内接到电话的次数X服从参数为2t的泊松分布。（1）若他在外出计划用时10分钟，问其间有电话铃响一次的概率是多少？（2）若他希望外出时没有电话的概率至少为0.5，问他外出应控制最长时间是多少？解：(1) 设其间

7、有电话铃响一次的概率为P，t=1/6，依题意有PX=1=(2t)ke-2tk!=(13)1e-131!=13e-13=0.2388(2) 外出时没有电话的概率至少为0.5,即为 PX=00.5 PX=0=2tke-2tk!=2t0e-2t0!0.5 即 e-2t0.5 求解得 t12ln2=0.3466 （小时） 即外出时间不得超出20.79分钟.15.保险公司在一天内承保了5000张相同年龄，为期一年的寿险保单，每人一份，在合同有效期内若投保人死亡，则公司需赔付3万元。设在一年内，该年龄段的死亡率为0.0015，且各投保人是否死亡相互独立。求该公司对于这批投保人的赔付总额不超过30万元的概率

8、（利用泊松定理计算）。解：设投保人在一年内死亡人数为X,则Xb（5000,0.0015），若公司赔付不超过30万元，则死亡人数不该超过303=10个人，PX10=k=010(C5000k)(0.0015)k(0.9985)5000-k根据泊松定理，=np=50000.0015=7.5PX10k=0107.5ke-7.5k!=0.8622.16.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设一辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001。在某天的该时间段内有1000辆汽车通过。问出事故的车辆数不小于2的概率是多少？（利用泊松定理计算）解：设某天该时段汽车站汽车出事故的辆数为X，则Xb（1000,

9、0.0001），所求为PX2=1-PX=0-PX=1.其中，根据泊松定理，=np=10000.0001=0.1.PX=k=Cnkpk(1-p)n-kke-k!.所以，PX2=1-PX=0-PX=11-e-0.1-e-0.10.1=0.0047.17.（1）设X服从（0-1）分布，其分布律为PX=k=pk(1-p)1-k,k=0，1，求X的分布函数，并作出其图形。（2）求第2题（1）中的随机变量的分布函数。解：（1） X服从（0-1）分布，即，当X=0，pk=1-p；当X=1，pk=p.当x0,F(x)= 0;当0x1,F(x)=1-p;当x1,F(x)=(1-p)+p=1.X的分布函数为Fx=

10、0, &x01-p,0x11, &x1，（2）第2题(1)中，X的分布律为 所以，当X3，Fx=0; 3X4，Fx=0.1; 4X0，0，x0.求下列概率：（1）P至多3分钟.（2）P至少4分钟.（3）P3分钟至4分钟之间.（4）P至多3分钟或至少4分钟.（5）P恰好2.5分钟.解：（1）P至多3分钟=PX3=FX（3）=1-e-0.4*3 =1-e-1.2 （2）P至少4分钟=PX4=1-PX4=1-FX（4）=e-0.4*4=e-1.6 （3）P3分钟至4分钟之间=P3X4=FX（4）-FX（3）=（1-e-0.4*4）-（1-e-0.4*3）=e-1.2-e-1.6 （4）P至多3分钟或

11、至少4分钟=PX3UX4=PX3+PX4=（1-e-1.2）+e-1.6=1+e-1.6-e-1.2 （5）P恰好2.5分钟=PX=2.5=020.设随机变量X的分布函数为FX（x）=0，x，1lnx，1xe，1，xe.（1）求PX2，P0X3，P2X2.5.（2）求概率密度fX（x）.解：（1）根据连续型随机变量的分布函数的定义和性质可得PX2=FX（2）=ln2P0X3=FX（3）-FX（0）=1-0=1P2X2.5=FX（2.5）-FX（2）=ln2.5-ln2=ln1.25 （2）根据概率密度的定义可得 fX（x）=dFX（x）dx=1x，1xe0，其他21.设随机变量X的概率密度为（

12、1）f（x）=21-1x2，1x20，其他.（2）f（x）=x，0x1，2-x，1x2，0，其他求X的分布函数F（x），并画出（2）中f（x）及F（x）的图形.解：（1）F（x）=P（Xx）=-xf（t）dt 当x1时，F（x）=-x0dt=0 当1x2时，F（x）=-10dt+1x21-1t2dt =2（x+1x -2） 当2x时，F（x）=-10dt+1221-1t2dt+2x0dt =1 故分布函数为F（x）=0，x12x+1x -2，1x21，x2（2）F（x）=P（Xx）=-xf（t）dt 当x0时，F（x）=-x0dt=0当0x1时，F（x）=-00dt+0xtdt =x22当1x

13、2时，F（x）=-00dt+01tdt+1x（2-t）dt=2x- x22 -1当2x时，F（x）=-00dt+01tdt+12（2-t）dt+2x0dt =1故分布函数为F（x）=0，x0x22，0x12x- x22 -1，1x21，2xF（x）和F（x）的图形如下22.（1）分子运动速度的绝对值X服从麦克斯韦（Maxwell）分布，其概率密度为：f（x）=Ax2e-x2/b， x0,0, 其他.其中b=m/(2kT)，k为玻尔兹曼常数，T为绝对温度，m是分子的质量，试确定常数A。 （2）研究了英格兰在1875年1951年期间，在矿山发生导致不少于10人死亡的事故的频繁程度。得知相继两次事故

14、之间的时间T（日）服从指数分布，其概率密度为 fT（t）=1241e-t/241， t0,0, 其他.求分布函数F(t)，并且求概率P（50T100）.（1） 解：由题意可知-fxdx=1,可得-fxdx=-00dx+0Ax2e-x2/bdx =-Ab2xe-x2b|0+Ab20e-x2bdx不妨令xb=u则原式可写为Abb20e-u2du=Abb4由此可得A=4bb（2） 解：当t0时，FTt=-tfTtdt=-t0dt+0t1241e-t/241dt=1-e-t241故所求的分布函数为 FT（t）=1-e-t241， t0,0, 其他. 而P50T1000,0, 其他.现有一大批此种器件（

15、设各种器件损坏与否相互独立），任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？解：任取一只该种器件，其寿命大于1500h的概率为 P=15001000x2dx=-1000x|1500=23任取5只这种器件，其中寿命大于1500小时的只数记为X，则Xb(5，23).故所求概率为PX2=1-PX=0-PX=1 =1-1-232-C51231-234=24.设顾客在某银行的窗口等待服务时间X(min)服从指数分布，其概率密度为fx(x)=15e-x/5, x0,0, 其他.某顾客在窗口等待服务，若超过10min，他就离开，他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数

16、，写出Y的分布律，并求P(Y1).解：顾客在窗口等待服务超过10min的概率为 P=10fx(x)dx=1015e-x5dx=e-2故顾客去银行一次因未等到服务而离开的概率为e-2，从而Yb(5, e-2)那么，Y的分布律为PY=k=C5k(e-2)k(1-e-2)5-k， k=0,1,2,3,4,5. PY1=1-PY=0=1-(1-e-2)5=0.516725、设K在（0,5）服从均匀分布，求x的方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的概率。解：4x2+4Kx+K+2=0有实根即 （4K）2-44（K+2）0解得 K-1 或 K2由题知K在（0,5）服从均匀分布即 0K5设 方程4x2+4K

17、x+K+2=0有实根为事件AP(A)=P2K5=2515dx=3526、设XN(3，22)(1)求P2X5，P-42，PX3(2)确定c使得PXc=PXc(3)设d满足PXd0.9，问d至多为多少?解：z=X-N0,1(1) P2X5=P2-32X-325-32 =P-12X-321 =1-12 =1-1+12=0.5328 P-4X10=P-722=PX2= PX-32-12 =-52+12 =0.6977PX3=1-PX-32c=PXc即PX-32c-32=PX-32c-321-PX-32c-32=PX-32c-32=0.5即c-32=0 可得c=3(3) PXd0.9即PX-32d-32

18、0.9即-d-320.9即-d-321.29即d0.42则d至多为0.4227、某地区18岁的女青年的血压（收缩压，以mmHg计）服从N(110，122)分布，在该地区任选一18岁的女青年，测量她的血压X，求(1)PX105，P100x0.05.解：z=X-N0,1(1) PX105=PX-11012105-11012 =-0.417=0.3383P100X120=P-0.833X-11012x0.05即PX-11012x-110120.05即PX-11012x0.05.28.由某机器生产的螺栓的长度（cm）服从参数=10.05,=0.06的正态分布。规定长度在范围10.050.12内为合格品

19、，求一螺栓为不合格品的概率。解：设螺栓的长度为X。0.12=2，根据3法则，产品合格的概率P合格= P10.05-0.12X10.05+0.12=95.44%不合格概率：P不合格=1-P合格=4.56%29.一工厂生产的某种元件的寿命（h）X服从参数为=160，（0）的正态分布，若要求P120X2000.80，允许最大为多少？解：由正态分布图形得，越小时，X落在附近的概率越大。当P120X200=P160-40X160+40=0.8时40=0.9根据标准正态分布表查得，40=1.2831.20即最大为31.20.30.设在一电路中，电阻两段的电压（V）服从N120，22，今独立测量了5次，试确

20、定2次测定值落在区间118,122之外的概率。解：设第i次测定值为Xi， i=1,2,3,4,5，则Xi-N（120,22）P118Xi122=（）-（） =（1）-（-1） =2（1）-1 =0.6826PXi【118,122】=1-P118X122 =0.3174 （i=1,2,3,4,5）Xi之间相互独立若以Y表示5次测量其测定值Xi落在【118,122】之外的个数 Yb（5,0.3174）所求概率 PY=2=C2 5（0.3174）2(0.6826)3 =0.320431某人上班，自家里去办公室要经过一个交通指示灯，这指示灯有80%时间亮红灯，此时他在指示灯旁等待直至绿灯亮。等待时间在

21、区间0，30（以秒计）服从均匀分布。以X表示他的等待时间，求X的分布函数F（x）。画出F（x）的图形，并问X是否为连续性随机变量，是否为离散型的？（要说明理由）解 当他到达交通指示灯处时，若是亮绿灯则等待时间为0，若是亮红灯则等待时间X服从均匀分布。记“指示灯亮绿灯”为事件A。则对于固定的x0，全概率公式有PXx=PXxAPA+PXxAPA当0x30时，PXx=10.2+x300.8=0.2+2x75当x30时，PXx=10.2+10.8=1于是得到X的分布函数为Fx=PXx=0 x0 0.2+2x75 0x30 1 x0 F（x）的图像如图所示因F(x)在x=0处有不连续点，故随机变量X不是

22、连续型，又因不存在一个可列的点集，使得在这个点集上X取值的概率为1，所以随机变量也不是离散型的，X是混合型随机变量。32 设f（x），g(x)都是概率密度函数，求证h（x）=f（x）（1）g（x），01也是一个概率函数。解 因为f（x），g(x)都是概率密度函数，故有f（x）0，g(x)0 且-+fxdx=1， -+g（x）dx=1.因01，故10，所以有f（x）0 ， （1）g（x）0，于是h（x）0.又-+h（x）dx=-+fxdx+1-+gxdx=+1-=1所以h（x）是一个概率分布函数。33.设随机变量X的分布律为X-2-1013Pk1516151151130求Y=X的分布律。解 Y=

23、X的所有取值为0，1, 4, 9.PY=0=PX=0=15PY=1=PX=1+PX=-1=115+16=730PY=4=PX=2=15PY=9=PX=3=1130所以Y的分配率为Y0149Pk1573015113034. 设随机变量X在区间（0,1）服从均匀分布。（1） 求的概率密度。（2） 求的概率密度。解：（1）由X服从均匀分布可知 由可得 故 （2） 由X服从均匀分布可知 由可得故35. 设XN(0，1)。 （1）求的概率密度。 （2）求的概率密度. （3）求的概率密度. 解：由XN(0，1)可知 （1） 由可得 （2） 当时，=0，=0 当时， 综上 （3） 综上36、 （1）设随机变量X的概率密度为。（2）设随机变量X的概率密度为，求的概率密度。解：（1） （2）