1-2-1绝对值的性质及化简(2).讲义教师版

1、绝对值的性质及化简目na归 中考要求内容基本要求略咼要求较咼要求绝对值借助数轴理解绝对值的意义，会求实 数的绝对值会利用绝对值的知识解决简单的化简 问题目倔匸 例题精讲绝对值的几何意义： 一个数a的绝对值就是数轴上表示数 a的点与原点的距离.数a的绝对值记作a . 绝对值的代数意义： 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：取绝对值也是一种运算，运算符号是“”求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.任何一个有理数都是由两

2、部分组成：符号和它的绝对值，如:-5符号是负号，绝对值是 5.求字母a的绝对值：a(a 0) a = 0(a =0)-a(a 0)a屮心a( a : 0)a = a(a 0)l-a(0)利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小绝对值非负性：如果若干个非负数的和为 0,那么这若干个非负数都必为0.例如：若 |a| |b| |c =0，贝U a =0，b = 0， c = 0绝对值的其它重要性质：(1)任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a亠a，且a：a ；(2)若 a = b，则 a =b或 a -七；(3)ab| =|a b ； a =-F (20)

3、；b b(4) |a|2=|a2| = a2 ；(5) a| |b| ：；a b 乞 a|“|b ,对于a乞a|“|b，等号当且仅当a、b同号或a、b中至少有一个0时，等号成立;对于 a| |b a b ,等号当且仅当a、b异号或a、b中至少有一个0时，等号成立.绝对值几何意义x -a的零点值.当x=a时，x_a= 0 ,此时a是零点分段讨论的一般步骤：找零点、分区间、定符号、去绝对值符号.即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴 上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值.a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离.一、绝对值的化简1.条件型绝

4、对值化简【例1】a -b的几何意义：在数轴上，表示数 a、b对应数轴上两点间的距离.已知1 x : 5，化简卩x x 5【考点】条件型绝对值化简【难度】【题型】解答【关键词】【解析】因为 1 x : 5，所以 1 x 0 , x -5 ：: 0 ,原式 =x T 5 -x = 4【答案】【巩固】已知 x -3，化简 3 + 2-1.【考点】条件型绝对值化简【巩固】若a v0，化简aa|【考点】条件型绝对值化简【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】a | = a +a： = 2a =【答案】-2a2a .【难度】4星【题型】解答 【关键词】【解析】当 xc-3时，3 + 21+X|=3 +

5、2+1+X|=3+|3+X=33 x = x=x.【答案】-x【例 2】 如果 0 :m ：10 并且 m x 10 ,化简 xm| -|x10 x m10 .【考点】条件型绝对值化简【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】 x m| -卜10| -|x m 10 二x m 10 x m 10 x = 20 x.【答案】20 -x【例3】 如果有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，求aba_q |b c的值.1ILb -1c 0a 1【考点】条件型绝对值化简【难度】3星【题型】解答【关键词】人大附中，期中考试【解析】原式 =-(a b) (a -c) (b c) =0【答案】0【巩固】如果

6、有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，求a b |b-1-a -c-1-c 的值. L. a b0 c 1【考点】条件型绝对值化简【难度】3星【题型】解答【关键词】人大附中，单元测试【解析】先判断每个绝对值符号内部的正负，而后化简原式二-(ab)(b -1)(a -c) (1 c)二-a_b b1ac1 c =_2【答案】-2【例 4 】 已知 x ：0 ：z,xy . 0，y |z . x，那么 x z yz-x-y =【考点】条件型绝对值化简【难度】4星【题型】填空【关键词】【解析】由 xy Ox： 0 : z 可得 y 0 ： z，又因为 y |z| |x，所以 y ： x ： z，原

7、式=x z-y-z-x y = 0【答案】0【巩固】abcde是一个五位自然数，其中a、b、c、d、e为阿拉伯数码，且a：b：c：d ，则 a-b - b-c - c-d|“d 的最大值是 .【考点】条件型绝对值化简【难度】6星【题型】填空【关键词】第4届希望杯2试【解析】当 a : b : c : d _e时，a -b，b-c c - |d -e a，当 e=9 , a=1 时取得最大值 8;当 a =: b : c : d，且 a e 时，ab b c c寸 de =2d a e，当 d=9 , a=1 , e = 0 时取 得最大值17 .所以ab| ：|bc| |c -d| |d -e

8、的最大值是17 .【答案】17【巩固】a、b、c分别是一个三位数的百、十、个位上的数字，且a_b_c，贝U a-b “|b-c| |c-a可能取得的最大值是多少？【考点】条件型绝对值化简【难度】5星【关键词】华罗庚金杯赛前培训题【题型】填空【解析】由a b 时，(a -b)2 (b -a) a -b =(a -b)2 - (a -b)2 =0 =ab ,若 a :b 时，(a-b)2 (b-a) a b =(a-b)2 (b-a)2 = 2(a b)2 =ab ,从平方的非负性我们知道 ab _0 ,且ab =0，所以ab 0，则答案A 一定不满足.【答案】A【例8】 若a, b, c d为互

9、不相等的有理数，且|a -c二bc二d -b =1，求a -d .【考点】条件型绝对值化简【难度】5星【题型】解答 【关键词】数形结合【解析】从ac二bc我们可以知道，c到a, b的距离都是1，且三者不相等, 那么在数轴上就有：因为d -b =1，且a,b,c,d为互不相等的有理数，则有:(b) c (?) d显然易得a d =3 .【答案】3【巩固】已知有理数a、b的和a b及差a _b在数轴上如图所示，化简2ab_2a_b_7.a+ba-b*-10 1【考点】条件型绝对值化简【难度】4星【题型】解答【关键词】第7届，希望杯2试【解析】由图可知 0 ： a -b ：1，a b ： -1，两式

10、相加可得：2a ：0， a ： 0进而可判断出b ： 0，此时2a ： 0，b -7 ： 0，所以 2a b -2 a - b -7 = -(2a b) -2(-a) (b -7).【答案】-7【巩固】 数a , b在数轴上对应的点如右图所示，试化简 a bb-a b-a-aTIIIa0b【考点】条件型绝对值化简【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】 a +b +b -a| +b -a - a| =-(a +b )+(b - a )+b - (-2a )=b .【答案】b【巩固】 实数a, b,c在数轴上的对应点如图，化简a c-b-a b|-|a-cINilba 0 c【考点】条件型绝对

11、值化简【题型】解答【关键词】数形结合【解析】由题意可知：a : 0, cb . 0, a b ： 0, a -c ： 0，所以原式=2ca【答案】2c -a【例9】若 ad 且 b 0，化简 a-b a b ab.【考点】条件型绝对值化简【难度】3星【题型】解答【关键词】a【解析】若 a ：七且 0 , a ： 0,b ： 0, a b 0, ab 0【答案】ba-b -la b |ab = -a b - a -b ab =ab -2aab2a【巩固】若 a : b，求 |b - a 1 - a- b-5 的值.【考点】条件型绝对值化简【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】b -a 1 a

12、 b 5 =b a 1 a b -5 = Y .【答案】-4【例10】右 a ：0， ab : 0，那么 ba1 - ab -5 等于【考点】条件型绝对值化简【难度】3星【题型】填空【关键词】第7届，希望杯2试【解析】a ：0 , ab : 0 ,可得：b . 0 ,所以 b a . 0 , a b ： 0 , ba 1 ab _5 = ba 1 ab 5 = _4 .【答案】-4【巩固】 设a, b,c为非零实数，且 a a = 0, ab = ab , c _ c = 0 .化简b| |ab_c_ba_c .【考点】条件型绝对值化简【难度】3星【题型】解答【关键词】北大附中，2005-20

13、06学年度第一学期，期中考试【解析】|a a=0 , a=-a , a 0 ; cc=0 , c=c, c 0所以可以得到a 0 , b 0 , c 0 ;b - a b|c _b|“|a -c = -b亠i a b jjc -bjja _c= b .【答案】b2001【巩固】 若 x =2，则 |x| | x -1| |x2| |x3| |x4| x 51 =.2002【考点】条件型绝对值化简【难度】4星【题型】填空【关键词】 第13届，希望杯培训试题2001【解析】因为 x=2 ，所以 2 ：:x ：3，原式=x (x -1) (x -2) -(x-3)-(x-4) -(x-5) =9 .

14、2002【答案】9【例11】设A = x -b| -卜-20| |x -b -20，其中0 :b x 20 ,试证明A必有最小值【考点】条件型绝对值化简【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】 因为0 b 0, x-20 x-2x - -x -20，所以 A 的最小值为 - 20【答案】-20【巩固】若x :： 0，化简 x_2xlx -耳-H【考点】条件型绝对值化简【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】x -2x3 = _x .x -3 -|x 3x x 3【答案】-X【例12】已知a - _a, b ：0,化简兰 笃4 2 (a 2b) (a 2b) a 2b(a+2b)|a+2b|

15、 |4b+3 |2a 3|【考点】条件型绝对值化简【难度】4星【题型】【关键词】四中【解析】/ a - _a ,二 a 3【巩固】xx 2【考点】绝对值零点分段化简【难度】4星【题型】解答【关键词】分类讨论【解析】略2x 3 x -2【答案】原式=1-2 w x ： -12x 3 x -1【巩固】化简 x - 5| -|2x -3 .【考点】绝对值零点分段化简【难度】3星【题型】解答【关键词】分类讨论，2005年，淮安市中考题2【解析】先找零点.x=0, x - -5 ; 2x3=0,x=-，零点可以将数轴分成三段.22x -3 0 , x 5 2x -3 =3x 2 ；Q当-5 w x :

16、- , x 5 0 , 2x 3 ：0 , x 5 2x3 =8 x ; 2当 x ： 5 , x 5 0 , x 5 2x 3 =3x 2 ;3x 5 0 , 2x3 ：0 , x 5 2x3 =8x ;当 x ： -5 , x 5 :0 , 2x _3 ：0 , |x 5| |2x _耳=_3x _2 .【例14】阅读下列材料并解决相关问题：lx x .0我们知道|x| = 0 x =0 ，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式亠（X 0 ）|x 1卡一2|时，可令x仁0和x 一2 =0，分别求得x = 一1, x=2 （称-1,2分别为|x 1 与| x习的 零点值

17、），在有理数范围内， 零点值x - 一1和x=2可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下 3中 情况：当x ： _1时，原式-x1 -X-2 -Tx1当_1 2时，原式=x 1x-2 =2x-1匚2x 1 x ： _1综上讨论，原式2x-1 x 2通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：分别求出|x -2和|x4的零点值化简代数式|x-2 x-4|【考点】绝对值零点分段化简【难度】3星 【题型】解答 【关键词】分类讨论，2005年，云南省中考试题【解析】分别令x，2=0和x-4=0 ,分别求得x - -2和x = 4 ,所以|x 2和|x - 4的零点值分别为 x - -2和x =4当 x ：

18、:2 时，原式-x，2 X4 - -X2x-2x 2 ;当-2 4 时，原式=x 2 x-4=2x-2-2x 2 x ：: -2所以综上讨论，原式 =6 2 W x 42x 2（x 4 ）-2x 2 x ： -2【答案】原式=6 -2 W x ： 42x -2 x 4【例15】求2|的值.【考点】绝对值零点分段化简【难度】4星【题型】解答【关键词】分类讨论【解析】先找零点，m = 0 , m =0, m 2 =0，解得m = 0 , 1, 2 .依这三个零点将数轴分为四段：m ：0 , 0m ：1 , 1二m：2 , m丄2 .当 m ：0时，原式 =_m ：；m 1 jm 2 = -3m 3

19、 ;当 0 _ m ： 1 时，原式=m-m-1 -m-2 - -m 亠 3 ;当 1 _ m ： 2 时，原式=mm-1 - m- 2 =mT ;当 m _ 2 时，原式 m 亠 i m -1 | 亠 | m - 2 = 3m - 3 .【答案】当m ：0时，原式-m - m-1 - m-2 - -3m 3 ;当 0 _ m ： 1 时，原式=m-m-1 - m- 2 - -m 3 ;当 1 3 , x-10, x1-2 0 ,x+10, | x1 -2 +|x+1 =2x-2 ;1 x ：3 , x 1 亠 0 , x1 -2 ： 0, x1 0 , | x -1 -2 一 | x 1 =

20、 4 ;-1 x 0, | x12+.x + 1 =2x + 2 ;xM , x10 , x120 ,x+1 3 , x-1 0 , x-1,一2 0 ,x+1a0, I x-1 一2 +|x+1 =2x-2 ;1 x ：:3, x -1 _0 , x-1 -2 ：. 0, x1 0 , | x -1 一2 x 1 =4 ;-1 x c1,x-1 0 , |x-1-2+ x + 1 =2x + 2 ; xc= , x1c0 , x120 , x+1c0 , | x 1 2 十 x+1 =-2x2 .abc ,abc的值4.分式型绝对值化简按符号化简【例16】若a , b , c均为非零的有理数

21、，求【考点】分式型绝对值化简按符号化简【难度】3星【题型】解答【关键词】分类讨论【解析】略【答案】当a, b, c都是正数时，原式- C 3a b c当a ,b,c都是负数时，原式二-3当a，b，c有两个正数一个负数时，原式二1当a，b，c有两个负数一个正数时，原式-_1【巩固】若abc ：0,求a b -c的值.【考点】分式型绝对值化简按符号化简【难度】3星【题型】解答【关键词】第16届希望杯培训试题【解析】由abc 0，贝V 各=；若 a c0，则 U .|a|a【考点】分式型绝对值化简按符号化简【难度】1星【题型】填空【关键词】【解析】略【答案】1 ;-1【巩固】当m = 时，化简m_?

22、【考点】分式型绝对值化简按符号化简【难度】2星【题型】解答【关键词】分类讨论 【解析】m 一3 , m 3 = 0 , 当 m*-3，即 m 3 .0 时，m 3=m 3，所以_3 =1 ;m +3当 m ： _3，即 m 3 ：； 0 时，m 3 = -（m 3），所以 =-1. m+3【答案】一1【例 20】若 0 ：a ：:1 , _2 : b ： _1，贝U四+四的值是（）a -1 b 2 a bA. 0 B. -1C. -3D. -4【考点】分式型绝对值化简按符号化简 【难度】4星 【题型】选择 【关键词】2009年，全国初中数学竞赛黄冈市选拔赛试题【解析】C 特殊值法：取a =0.

23、5, b-1.5代入计算即可.【答案】C.【巩固】下列可能正确的是（aA .时/ 冋b上上=3c da bCd =4abcd【考点】分式型绝对值化简按符号化简【难度】 【题型】选择 【关键词】分类讨论 【解析】选D .排除法比较好或特殊值法 【答案】D【例21】如果2a +b = 0 ,贝Ua-+H_2等于（)|b|bA . 2B . 3C .4D . 5【考点】分式型绝对值化简按符号化简【难度】3星【题型】选择【关键词】【解析】由2a b =0得b = 2a，进而有b 一/a一2 a2a若a 0，贝U-1 冋+_2b若a 0, - a+b+c 0, U旦 | A | +p 的值等于（）廻丿

24、1冋丿 凶丿A. 1 B. -1C. 0 D. 3【考点】分式型绝对值化简按符号化简【难度】3星【题型】选择【关键词】002” 002z 宅002【解析】易知呂=1, Al = J Al =1，所以原式=1，故选择a1同丿ljb|丿Qc|丿【答案】A 【巩固】如果a +b -c a0 , a -b +c 0 , t +b +c 0，求（冷）2002 -召）2003 +（占严 的值.|a|b|c|【考点】分式型绝对值化简按符号化简【难度】4星【题型】解答 【关键词】第13届希望杯培训试题【解析】由a b -c 0 , a -b c 0 , -a b c 0，两两相加可得：a 0 , b 0 ,

25、c 0，所以原式结果为1.若将此题变形为：非零有理数a、b、c，求b=1等于多少？从总体出发：(a )2008 = 1，所以原式. a【答案】1【例23】若a , b , c均不为零，求上丄 c .a b |c|【考点】分式型绝对值化简按符号化简【难度】3星【题型】解答【关键词】分类讨论【解析】若a， b， c，全为正数，则原式 =3 ；若a， b， c，两正一负，则原式 =1 ;若a， b， c，一正两负，则原式 -_1 ;若a， b， c，全为负数，则原式 =-3.【答案】1或：。【巩固】若a，b，c均不为零，且a b 0，求- c .a b |c|【考点】分式型绝对值化简按符号化简【难度

26、】3星【题型】解答【关键词】分类讨论【解析】根据条件可得 a，b，c有1个负数或2个负数，所以所求式子的值为 1或-1【答案】1或-1 【例24】a，b，c为非零有理数，且a+b+c=O,则 出+坐+車 的值等于多少?|a|b |b|c |q a【考点】分式型绝对值化简按符号化简【难度】5星【题型】解答【关键词】分类讨论【解析】由a b c =0可知a , b , c里存在两正一负或者一正两负;a|b|+b|c| +c|a| _ a |b| + b_ b M bbb |bbbb lba b b c |c a若两正一负，那么若一正两负，那么ccS.cc lc.cc lcaa1 1 1 = 1 ；

27、aa1 1 1 - -1.a【答案】综上所得-1cacaab beab|bc【例25】三个数a , b , c的积为负数，和为正数，且x =_a b c 色陛肥,冋 |C ab ac be 求 ax3 bx2 cx 1 的值.【考点】分式型绝对值化简按符号化简【难度】5星【题型】解答【关键词】海口市竞赛题【解析】a， b， c中必为一负两正，不妨设 a ：0，则b 0,c0 ；“a ib cc .(ab列i竺ab ac bc-_1 1 1 _1 _1 1 =0，所以原式【答案】1【巩固】设实数a , b，c满足a b c =0，及abc . 0 ,若x = b ，y = a（丄-）b（- -）

28、 c-）， lailblcb c a c a b那么代数式x +2y +3xy的值为.【考点】分式型绝对值化简按符号化简【难度】4星【题型】填空【关键词】 祖冲之杯”初中数学邀请赛试题【解析】由a b -0及abc 0 ,知实数a , b , c中必有两个负数，一个正数，从而有 x -1 .111111abc又 y =a( ) b( ) c( ) =3，贝U x 2y 3xy - -1 - 69 = 2 .bcacababc【答案】2【例26】有理数a,b, c均不为零，且a+b+c=0 ,设x =且+地+出，则代数式 b +c a +c a +b|x200 -4x - 2007的值为多少？【

29、考点】分式型绝对值化简按符号化简【难度】4星 【题型】解答【关键词】分类讨论【解析】由a b c = 0易知a, b, c中必有一正两负或两正一负，不妨设a . 0, b ： 0, c ： 0或a ： 0 , b . 0, c . 0所以x二芒 1或者x 1,所以x=1，所以原式= 2004a+b a+c a+bb+c a+c a + b【答案】2004【巩固】 有理数a，b，c均不为零，且abc=0，设x = - 一- ，则代数式x19 99x 2000的值 b +c a +c a为多少？【考点】分式型绝对值化简按符号化简【难度】4星【题型】解答【关键词】分类讨论【解析】由a b c = 0

30、易知a, b, c中必有一正两负或两正一负，不妨设a 0, b ： 0, c ： 0或a ： 0 , b 0, c 0所以1或者x 1,所以当x=1时，原式=1902a+ba+ca+bb+ca+ca + b当x = -1时，原式=2098【答案】1902【巩固】 若 a+b+c =0， abc 0，贝U.iaibic【考点】分式型绝对值化简按符号化简【难度】4星 【题型】填空 【关键词】【解析】/ a b c =0 , abc 0 , / a、b、c 中一正二负,b c c a a b_-a-b_c_1a b c a b c 【答案】1【巩固】已知a、b、c互不相等，求(ab)(b-c) .

31、(b-c)(ca) (ca)(a b)的值.(a_b)(b_c)(b_c)(c_a) (c_a)(a_b)【考点】分式型绝对值化简按符号化简【难度】4星【题型】解答【关键词】整体思想，分类讨论c a当成整体分【解析】由题意可得 (a _b)(b _c)(c-a) = 0 且(a _b) (b-c) (c-a) = 0,把 a-b， b-c， 类讨论：两正一负，原式值为-1 ；两负一正，原式值为-1 .【答案】一1【巩固】a、b、c的大小关系如图所示，求a-bb-cc-a. ab-ac的值.|ab|b _c|ca|abac|Bab 0【考点】分式型绝对值化简按符号化简【难度】4星【题型】解答【关

32、键词】第6届希望杯2试【解析】从图中可知 a : b : c且a ：0 , b：0, c 0 ,所以 a -b :0 , b -c ：0 , c -a 0 , ab 0 , ac ： 0 ,所以 ab - ac、0 ,原式=(-1)-(-1) 1=2 .【答案】2【例27】若有理数m、n、p满足=1，求2mnp的值.m n p|3mnp|【考点】分式型绝对值化简按符号化简【难度】4星【题型】解答 【关键词】第18届希望杯2试【解析】由 冋+叫+回=1可得：有理数m、n、p中两正一负，所以 mnp ；0，所以mnp =_1 ,m n pmnp2mnp 2 mnp 23mnp - 3 |mnp 一

33、 3 【答案】_23【例28】有理数a, b , c , d满足abcd ，求a b c d的值. abedabed【考点】分式型绝对值化简按符号化简【难度】4星【题型】解答【关键词】分类讨论labed I【解析】由1知abed ：0，所以a , b , e, d里含有1个负数或3个负数：abed若含有1个负数，贝U - - =2 ；若含有3个负数，贝U - - - -2 .abedabed【答案】2或-2【例29】如果1 ：x ：2，求代数式_2L 上的值.x 2 1 xx【考点】分式型绝对值化简按符号化简【难度】3星【题型】解答【关键词】第2届希望杯2试【解析】当 1 ：x ：2 时，x

34、0 , x -1 0 , x - 2 ：0，原式二-2 - 1 - -1 1 1 .x2 x1x【答案】12.已知有理数a ,b, c满足a -aabcabc (D .不能确定厂1，则【考点】分式型绝对值化简按符号化简【难度】【题型】选择【关键词】【解析】提示：其中两个字母为正数,一个为负数，即 abc : 0【答案】3.已知ab =0，求-b的值a lbl【考点】分式型绝对值化简按符号化简【难度】【题型】解答课后练习1. 当 x - _1 时，贝y x_2 x 2 =【考点】条件型绝对值化简【难度】1星【题型】填空【关键词】【解析】略.【答案】4【关键词】分类讨论 瞬析】若a异号，则tib=若a, b都是正数，则=2a b若a, b都是负数，则a b 二a b【答案】0、2或-24. 若 x =-0.239，求 x计x -3 山 x_1997 - x |x 2 川 _ x _1996 的值.【考点】条件型绝对值化简【难度】4星【题型