外接球专项训练带详细答案

1、 外接球专项训练参考答案一选择题1、已知球的半径为2，圆和圆是球的互相垂直的两个截面，圆和圆的面积分别为和，则（ ）A1 B C2 D【答案】D【解析】因由球心距与截面圆的半径之间的关系得，故，应选D。考点：球的几何性质及运算。2、在三棱锥中，中点为，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）A B C D【答案】C【解析】如图,易知，由余弦定理可得，因，故;同理，故，所以是棱长为的正方体的四个顶点，其外接球就是正方体的外接球，半径为，所以外接球的面积为，应选C。考点：球与几何体的外接和表面积的计算公式。3、球的球面上有四点，其中四点共面，是边长为2的正三角形，面面，则棱锥的体积的最大值为（ ）A B

2、 C D4【答案】A【解析】设球心和的外心为，延长交于点，则由球的对称性可知，继而由面面可得所在的平面，所以是三棱锥的高；再由四点共面可知是的中心，故，当三棱锥的体积最大时，其高为，故三棱锥的体积的最大值为，应选A。考点：几何体的外接球等有关知识的运用。【易错点晴】球与几何体的外接和内切问题一直是高中数学中题的重要题型，也高考和各级各类考试的难点内容。本题将三棱锥与球外接整合在一起考查三棱锥的体积的最大值无疑是加大了试题的难度。解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息，先确定球心的位置是三角形的外心，再求外接球的半径并确定当为三棱锥的高时，该三棱锥的体积最大并算出其最大值为。4、已知在三棱锥中

3、，面，若三棱锥的外接球的半径是3，则的最大值是（ ）A36 B28 C26 D18【答案】D【解析】因为面，所以，又因为,所以平面，所以，所以有，则由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，所以的最大值是,故选D.考点：1.线面垂直的判定与性质；2.长方体外接球的性质；3.基本不等式.【名师点睛】本题考查线面垂直的判定与性质、长方体外接球的性质、基本不等式,中档题；立体几何的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值或利用基本不等式来求解5、如图所示

4、是一个几何体的三视图, 则这个几何体外接球的表面积为（ ）A B C D【答案】C【解析】几何体为一个四棱锥，外接球球心为底面正方形（边长为4）中心，所以半径为，表面积为，选C.考点：三视图，外接球【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.6、如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（ ）A B

5、C D【答案】D【解析】由三视图可知，这个几何体是三棱锥.如图所示，为球心，为等边三角形的外心，由图可知，故外接球面积为.考点：三视图.【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为则其体对角线长为;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心.7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球半径为（ ）A B C D【答案】C【解析】从三视图可以看出这是一个正

6、方体上的一个四面体,如图,其中正的边长为,其外接圆的半径,同样正的外接圆的半径是,由球的对称性可知球心必在正方体的对角线上,且,该球经过六个点,设球心到平面的距离为;球心到平面的距离为,而两个平面和之间的距离为,则由球心距、垂面圆半径之间的关系可得,所以,即,又,将其代入可得,由此可得,所以,所以外接球的半径,应选C.考点：三视图的识读和理解及几何体体积的计算.【易错点晴】本题以网格纸上的几何图形为背景,提供了一个三棱锥的几何体的三视图,要求求其外接球的半径,是一道较为困难的难题.难就难在无法搞清其几何形状,只知道是一个三棱锥（四面体）是没有任何用的.通过仔细观察不难看出这是一个正方体上的一个

7、四面体,如图,正的边长为,其外接圆的半径,同样正的外接圆的半径是,由球的对称性可知球心必在对角线上,且经过六个点,设球心到平面的距离为；球心到平面的距离为,而两个平面和之间的距离为,则由球心距垂面圆半径之间的关系可得,所以,即,又,将其代入可得,由此可得,所以,所以外接球的半径,其中计算时可用等积法进行.8、一直三棱柱的每条棱长都是，且每个顶点都在球的表面上，则球的半径为（ ）A B C D【答案】A【解析】球的半径满足考点：外接球【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素

8、间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.9、若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正视图和侧视图如图所示，则此几何体的表面积是A24 B248C244 D32答案：C10、已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形,则三棱锥的外接球的球心到平面的距离是（ ）（A） （B）1 （C） （D）【答案】A【解析】因为三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，在面内的射影为中点，平面，上任意一点到的距离相等，在面内作的垂直平分线，则为的外接球球心，即为到平面的距离，故选A考点：球内接多面体

9、；点到面的距离的计算【名师点睛】(1)一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系(2)若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题(3)一般三棱锥的外接球的球心可通过其中一个面的外心作此平面的垂线，则球心必在此垂线上11、已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形,则三棱锥的外接球的球心到平面的距离是（ ）（A） （B）1 （C） （D）【答案】A12、某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的表面积是（ ）A B C D【答案】B【解析】几何体为一个四棱锥，其

10、顶点为长方体四个顶点，长方体的长宽高为4,3,3，因此四棱锥外接球直径为长方体对角线，即，表面积是选B.考点：三视图【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.13、已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（ ）A B C D【答案】A【解析】连接，则由已知得，可知三棱锥是棱

11、长为的正四面体，其高为，则三棱锥的高为，所以三棱锥的体积为考点：三棱锥外接球14、半径为1的三个球平放在平面上，且两两相切，其上放置一半径为2的球，由四个球心构成一个新四面体，则该四面体外接球的表面积为（ ）A B C D【答案】A【解析】由已知条件可知，该四面体是底面边长为的等边三角形，且侧棱长为.该四面体外接球半径计算公式为，其中为底面外接圆半径，为高.本题中，故.考点：球的内接几何体.15、在正三棱锥中，是的中点，且，底面边长，则正三棱锥的外接球的表面积为（ ）A B C D【答案】【解析】根据三棱锥为正三棱锥，可证明出ACSB，结合SBAM，得到SB平面SAC，因此可得SA、SB、SC

12、三条侧棱两两互相垂直最后利用公式求出外接圆的直径，结合球的表面积公式，可得正三棱锥S-ABC的外接球的表面积取AC中点，连接BN、SN，N为AC中点，SA=SC，ACSN，同理ACBN，SNBN=N，AC平面SBN，SB平面SBN，ACSB，SBAM且ACAM=A，SB平面SAC？SBSA且SBAC，三棱锥S-ABC是正三棱锥，SA、SB、SC三条侧棱两两互相垂直底面边长侧棱SA=2，正三棱锥S-ABC的外接球的直径为：，正三棱锥S-ABC的外接球的表面积是，故选：B考点：空间线面垂直的判定与性质；球内接多面体16、已知三棱锥,在底面中, 面,则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）A B C D【

13、答案】D【解析】底面三角形内，根据正弦定理，可得,满足勾股定理，,底面,所以,那么平面,所以,那么直角三角形有公共斜边,所以三棱锥的外接球的球心就是的中点,是其外接球的直径，,所以外接球的表面积,故选D.考点：球与几何体17、已知直三棱柱的个顶点都在球的球面上，若，则球的表面积为为（ ）A B C D【答案】C【解析】由题意，三棱柱为直三棱柱，底面为直角三角形，把直三棱柱补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，所以外接球半径为则三棱柱1外接球的表面积是故选C考点：几何体的外接球18、如图，是边长为1的正方体，是高为1的正四棱锥，若点，在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A B C D

14、【答案】D【解析】按如图所示作辅助线，为球心，设，则，同时由正方体的性质知，则在中，即，解得，所以球的半径，所以球的表面积为，故选D考点：1、球内接多面体的性质；2、球的表面积公式.19、在平行四边形中，将此平行四边形沿折成直二面角，则三棱锥外接球的表面积为（ ）A B C D【答案】A【解析】因为平行四边形中，沿折成直二面角，所以三棱锥的外接球的直径为，且，所以三棱锥的外接球的半径为，所以三棱锥的外接球的表面积为；故选A考点：1.平面图形的折叠问题；2.多面体与球的组合20、如图, 在菱形中, 为对角线的中点, 将沿折起到的位置，若 ，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A B C D【答案】A

15、【解析】设分别是等边三角形的外心，则画出图象如下图所示，由图象可知，,故，,外接球面积为.考点：球的内接几何体.21、已知从点出发的三条射线，两两成角，且分别与球相切于，三点若球的体积为，则，两点间的距离为( )（A） （B） （C）3 （D）【答案】B【解析】连接交平面于，由题意可得：和为正三角形，所以因为，所以，所以又因为球的体积为，所以半径，所以考点：点、线、面间的距离计算【思路点睛】连接交平面于，由题意可得：由可得 ，根据球的体积可得半径，进而求出答案22、在半径为1的球面上有不共面的四个点A，B，C，D且，则等于（ ）A16 B8 C4 D2【答案】B【解析】如图，构造长方体，设长方

16、体的长、宽、高分别为，则，根据题意，得，则；故选B考点：多面体与球的组合23、“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）其直观图如图所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（ ）【答案】B【解析】因为相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖），且正视图和侧视图是一个圆，所以从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，即俯视图是有两条对角线且为实线的正方形；故选B考

17、点：三视图24、某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的外接球的表面积是（ ）A B C D【答案】C【解析】从三视图可以看出该几何体是底面对角线长为正方形高为正四棱柱,故其对角线长为,故该几何体的外接球的面积为,选C.考点：三视图与几何体的外接球25、如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点AED，EBF，FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A,若四面体AEFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为（ ）A. B C D【答案】D【解析】因为折起后三点重合，所以两两垂直，三棱锥的外接球，就是棱长为的长方体的外接球，球半径满足，故选D.考点：

18、几何体外接球的性质.26、已知三棱锥SABC，满足SASB，SBSC，SCSA，且SA=SB=SC，若该三棱锥外接球的半径为，Q是外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为（ ）A3 B2 C D【答案】D【解析】因为三棱锥中，且，所以三棱锥的外接球即为以为长宽高的正方体的外接球，因为该三棱柱外接球的半径为，所以正方体的对角线长为，所以球心到平面的距离为，所以点到平面的距离的最大值为，故选D考点：球的性质及组合体的应用27、一个直棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是一个顶角为的等腰三角形，则该直三棱柱外接球的表面积为（ ）A20 B C D【答案】A【解析】由三视图可知，该三棱柱为底面为

19、顶角为，两腰为的等腰三角形，高为，底面三角形的外接圆直径为，半径为，设该三棱柱的外接球的半径为，则，所以该三棱柱的外接球的表面积为，故选A考点：1.三视图；2.球的切接问题；3.球的表面积【名师点睛】本题主要考查三视图、球的切接问题、表面积公式及空间想象能力、运算能力，中档题；识图是数学的基本功，空间想象能力是数学与实际生活必备的能力，本题将这些能力结合在一起，体现了数学的实用价值，同时也考查了学生对球的性质与表面积公式的掌握与应用、计算能力28、某四面体的三视图如图，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为（ ）A B C D【答案】B【解析】由题意此四面体是棱

20、长为的正四面体，其外接球半径为，所以故选B考点：三视图，外接球，球体积【名师点睛】正四面体的内切球与外接球：（1） 正四面体的内切球，如图. 位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体的中心与球心重合； 数据关系：设正四面体的棱长为，高为；球的半径为，这时有；（可以利用体积桥证明）（2） 正四面体的外接球，如图5. 位置关系：正四面体的四个顶点都在一个球面上，正四面体的中心与球心重合； 数据关系：设正四面体的棱长为，高为；球的半径为，这时有；（可用正四面体高减去内切球的半径得到）29、如图所示，在直三棱柱中，点是线段的中点，则三棱锥的外接球的体积是（ ）A B C D【答案】A【解析】由题意可知,取的中点，连接,在直角中，,所以点在平面内的射影是的外心，即为的中点，设三棱锥的外接球的球心为，由球的截面性质可得，即，解得，所以其外接球的体积为,故选A.考点：棱锥与球的组合体及球的体积.【方法点睛】本题主要考查了棱锥与球的组合体，球的截面性质及球的体积，考查