2025年高考数学热点题型：切线问题综合（十一类题型）含答案

2025年高考数学热点题型：切线问题综合」

类题型

翎线问题综合

近5年考情（2020—2024）

考题统计考点分析考点要求

2024年甲卷第6题，5分

2024年新高考/卷第13题，5分

（1）求在某处的切线

2023年甲卷第8题，5分

考察导数的几何意义，切线的

（2）设切点求过某点的切线以及公切线

相关计算求值求参

2022年/卷第15题，5分

（3）利用切线的条数求参数范围

2021年甲卷第13题，5分

2021年/卷第7题，5分

O【热点题型解读（目录）IO

【题型1】求在曲线上一点的切线

【题型2】求过某点的切线

【题型3】已知切线斜率求参数

【题型4】通过切线求曲线上的点到直线距离最小值

【题型5】奇偶函数的切线斜率问题

【题型6】切线斜率取值范围问题

【题型7】公切线问题

【题型8】由切线条数求参数范围

【题型9】两条切线平行、垂直、重合问题

【题型10】与切线有关的参数范围或最值问题

【题型11】牛顿迭代法

（核心题型・举一反三）

【题型1】求在曲线上一点的切线

基础知识1

/班=/(0)

函数y=f{x）在点A（x00，/（»o））处的切线方程为y-f（.Xo）=/，（g）（土一g）,抓住关键\k=f'(xo)

1.(2024年高考全国甲卷数学(文))曲线/(为=T+37—1在(0,—1)处的切线与坐标轴围成的面积为

()

QX

。2

2.(2024年高考全国甲卷数学(理))设函数/(为=宜土驾些,则曲线y=/(x)在(0,1)处的切线与两坐标

1+x

轴围成的三角形的面积为()

A-f11B11C49D-f

3.已知曲线/(c)=Mnc在点(1J(1))处的切线为Z,则Z在夕轴上的截距为()

A.-2B.-1C.1D.2

4.(23-24高三・福建宁德•期末)已知函数了(乃在点，=-1处的切线方程为c+0—1=0,则r(―1)+

/(-1)=()

A.-1B.0C.1D.2

【题型2】求过某点的切线

基础知识

【方法技巧】

设切点为P(g,坊)，则斜率k=r(g),过切点的切线方程为：g—%=/(20)3—g),

又因为切线方程过点A(a,b),所以b—块=一费)然后解出g的值.

5.(2024.全国.模拟预测)过坐标原点作曲线/Q)=e*Q2_2c+2)的切线，则切线共有()

A.1条B.2条C.3条D.4条

6.(2022年新高考全国/卷T15)曲线g=In团过坐标原点的两条切线的方程为,.

7.已知直线夕=皈一2是曲线g=ln力的切线,则切点坐标为()

A.(p-1)B.(e,l)C.(pl)D.(0,1)

8.(2024•山西吕梁・二模)若曲线/(①)=In2在点P(g,%)处的切线过原点0(0,0),则x0=.

9.(2019•江苏卷)在平面直角坐标系①Oy中，点［在曲线沙=In立上，且该曲线在点A处的切线经过点(

-e,—1)(e为自然对数的底数)，则点［的坐标是.

10.(23—24高三.广东•期中)过点P(l,l)作曲线夕=/的两条切线"，为.设小??的夹角为6,则tan。=

()I

___________F

C9

A—BCD

13-i-l3-i

【题型3】已知切线斜率求参数

基础知识

已知切线或切点求参数问题，核心是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线

的斜率;②切点在曲线上;③切点在切线上.

___________________一.一.一•一•一•一•一・一,一,一・一•一,一•一,一,一•一

11.（2024•湖北武汉•模拟预测）已知曲线/㈤=Inc+之在点（1J（1））处的切线的倾斜角为多则a的值

CLO

为.

12.（2024•贵州六盘水•三模）已知曲线g="—31n力的一条切线方程为g=—c+zn,则实数?n=（）

A.—2B.—1C.1D.2

13.（2024•全国•高考真题）若曲线g=e，+/在点（0,1）处的切线也是曲线g=ln（/+1）+Q的切线，则Q=

14.（23-24高三.山西晋城•期末）过原点O作曲线f（*）=ex-ax的切线，其斜率为2,则实数a=（）

A.eB.2C.e+2D.e-2

15.（2024・四川•模拟预测）已知nz>0,?i>0,直线y=—x+nz+l与曲线g=In力一n+3相切，则nz+n=

e

16.（23-24高三•安徽合肥•期末）若函数/（%）=与g（x）—1一。一b在力=1处有相同的切线,贝Ua+b=

（）

A.-1B.0C.1D.2

17.（2024.河北沧州.模拟预测）已知直线=是曲线/（力）=e，+i和g（x）—\nx+a的公切线，则实数a=

【题型4】通过切线求曲线上的点到直线距离最小值

基础知识

利用导数的几何意义求最值问题，利用数形结合的思想方法解决，常用方法平移切线法.

18.（23-24高三•安徽•阶段练习）已知P是函数/Q）=1+/图象上的任意一点，则点P到直线x-y-9

=0的距离的最小值是（）

A.3V2B.5C.6D.572

19.（23-24高三•广东惠州•阶段练习）已知点P在函数/Q）=+o+9的图象上，则P到直线l：3x-y-

10=0的距离的最小值为.

20.（23-24高三・河南南阳•阶段练习）点P是曲线/（⑼=H上一个动点，则点P到直线①—4+2=0的距

离的最小值是（）

A.gB—C.乎D.|

8444

21.（23-24高三•河北石家庄•阶段练习）曲线夕=ln（3①—2）上的点到直线3c—夕+7=0的最短距离是

（）

A.V5B.V10C.3V5D.1

22.（23-24高三•河南•阶段练习）最优化原理是要求在目前存在的多种可能的方案中，选出最合理的，达到

事先规定的最优目标的方案，这类问题称之为最优化问题.为了解决实际生活中的最优化问题,我们常

常需要在数学模型中求最大值或者最小值.下面是一个有关曲线与直线上点的距离的最值问题,请你利

用所学知识来解答:若点P是曲线"=31nx-j-x2上任意一点，则P到直线4多一29+5=0的距离的最

小值为.

23.（2024•山西朔州•模拟预测）已知力，8分别为曲线4=2夕+2和直线7=3,一3上的点，则|力引的最小

值为.

【题型5】奇偶函数的切线斜率问题

基础知识

奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.

24.已知/（为为奇函数，且当比<0时，/（T）=%，其中e为自然对数的底数,则曲线/（乃在点（1J（1））处

的切线方程为.

25.（2024.福建福州.模拟预测）已知函数/（6）是偶函数，当①>0时，/（力）=d+2c,则曲线0=/（2；）在£=

—1处的切线方程为（）

A.y=—5x—2B.y=—5x—8C.y=5x+2D.y=5x+8

26.（2024.湖北.一模）已知函数/⑺为偶函数，其图像在点（1,/⑴）处的切线方程为2—24+1=0,记/⑸

的导函数为ro），则r（—1）=（）

A.—B.C.-2D.2

27.已知/（乃是奇函数，当2<0时，/（乃=产［则函数/（为的图象在力=1处的切线方程为（）

x-\-2

A.2x—y+l=QB.x—2y+l=QC.2x—y—l=QD./+2g—1=0

28.（23-24高三・河南洛阳・期末）已知函数gQ）为奇函数，其图象在点（Q,g（a））处的切线方程为22—g+

1=。,记gO）的导函数为g，O）,则g，（一Q）=（）

A.2B.-2C.JD.—

29.（2024.山东济宁.三模）已知函数/（力）为偶函数，当力V0时，于（x）=ln（—x）+砂,则曲线y=/（力）在点（1,

/（1））处的切线方程是（）

A.3x—y—2=0B.3%+g—2=0C.3力+g+2=0D.3x—y+2=0

30.（2024•海南海口•二模）已知函数/（为的定义域为R,f（x+l）是偶函数，当x<J时，f（x）=ln（l-2x）,

则曲线"=/（乃在点（2J（2））处的切线斜率为（）

99

A.4B.-4C.2D.-2

55

31.（23-24高三・广东深圳•期中）已知函数/⑸=与偶函数g（x）在交点（l,g⑴）处的切线相同，则函

数gQ）在力=—1处的切线方程为（）

A.ex—y+e=0B.ex+y—e—QC.ex—y—e=0D.ex+y+e=0

【题型6】切线斜率取值篦国问题

基础知识

利用导数的几何意义，求出导函数的值域，从而求出切线斜率的取值范围问题.

一般地，直线的斜率与倾斜角的关系是:直线都有倾斜角，但不一定都有斜率

32.点P在曲线片^一日靠上移动，设点p处切线的倾斜角为明则角&的范围是（）

O

A［岭］B.居，］C.兀）D.［0,f）U产,兀）

33.（2021•河南洛阳•二模）已知点P在曲线9=上移动，设点p处切线的倾斜角为则角a的取值范

围是.

34.过函数/Q）=5e2，—力图像上一个动点作函数的切线,则切线倾斜角范围为（）

A」。，）B.[OA）U（^）-D・信，苧）

35.（22-23高三・江苏镇江•阶段练习）点P在曲线“=/—手①+X上移动,设点p处切线的倾斜角为

O4

则角a的范围是（）

【题型7】公切线问题

基础知识1

公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，罗列出有关切点横坐标

的方程组，通过解方程组进行求解.

公切线问题主要有以下3类题型

（1）求2个图敦的公切线

解题方法:设2个切点坐标，利用切线斜率相同得到3个相等的式子，联立求解

（2）2个函数存在公切线,求参数篦国

解题方法：设2个切点坐标，列出斜率方程,再转化为方程有解问题

（3）已知两个晶数之间公切线条数，求步数篦国

解题方法：设2个切点坐标，列出斜率方程，再转化为方程解的个数问题

„2

36.（浙江绍兴二模T15）与曲线夕=4和"=—亍都相切的直线方程为.

37.（2024.广东茂名.一模）曲线y=hKC与曲线0=22+2ac有公切线,则实数a的取值范围是（）

A.（一co,—；]B,[-p+co）C.D.",+co）

38.（2024•福建泉州•模拟预测）若曲线"=疗与0=加%£¥0）恰有两条公切线，则力的取值范围为（）

A.（0,宏）B.（3+CO）,

C.（―oo,0）U（弓,+oo）D.（—oo,0）U

___________F

39.(23—24高三.江西吉安・期末)函数/(GuZ+lnrr与函数9(力)=1公切线的斜率为()

A.1B.±eC.1或eD.1或e?

40.已知直线y=are+b(aC_R,b>0)是曲线/(2)=e"与曲线g(rr)=Inrr+2的公切线，则a+b的值为

41.已知直线Z与曲线G：u="和02：9=—工均相切，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为.

X------

42.已知函数/(2)=mx+lnx,g(x)=/—nzc,若曲线g=/(为)与曲线g=g(力)存在公切线，则实数?n的

最大值为.

43.(2024•湖南长沙•三模)斜率为1的直线，与曲线夕=InQ+a)和圆d+，=］都相切，则实数a的值为

()

A.0或2B.-2或2C.—1或0D.0或1

44.(长沙雅礼中学月考(六))已知函数/(1)=21nrr,g(x)=a/—①—,若直线夕=—b与函数,

=/(*)，y=g(x)的图象均相切，则a的值为；若总存在直线与函数夕=/(力)，y=g(x)图象均相

切，则a的取值范围是

【题型8】由切线条数求参数篦国

基础知识

设切点为P(0。°%)，则斜率k=r(g),过切点的切线方程为：y—yo=r(g)(①―0),

又因为切线方程过点A(a,b)，所以6—yo—f'(xo)(a—g)然后解出&)的值，有多少个解对应有多少条切线.

45.(2022年新高考全国/卷数学真题)若曲线夕=Q+a)e，有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是

46.(2024・河南信阳•模拟预测)若过点(1,a)仅可作曲线夕=21的两条切线，则a的取值范围是.

47.(2024届广东省六校高三第一次联考T8)已知函数/(工)=—/+2/—①若过点。(1,力)可作曲线,=

f(x)的三条切线，则t的取值范围是

48.(23-24高三•湖北武汉•阶段练习)已知过点A(a,0)可以作曲线夕=(,—l)e。的两条切线，则实数a的

取值范围是()

A.(1,+co)B.(—00,—e)U(2,+co)

C.(—oo,—2)U(2,+oo)D.(—oo,—3)U(1,+oo)

49.(2024届•广州中山大学附属中学校考)过点(3,0)作曲线/(力)==葭的两条切线，切点分别为

(如f(g)),(%f(g))，则g+工2=()

A.-3B.-V3C.V3D.3

50.（2024.宁夏银川•二模）已知点不在函数/（t）=a?—3mx的图象上，且过点P仅有一条直线与

/Q）的图象相切，则实数小的取值范围为（）

A-（°4）UC）B.（―8,0）U+00）

c-（°'j）U（T+°°）D-u（y>+°°）

51.（2024•内蒙古•三模）若过点（a,2）可以作曲线u=lnt的两条切线，则a的取值范围为（）

A.（-<»,e2）B.（—8,ln2）C.（O,e2）D.（0,ln2）

52.已知点A在直线ic=2上运动，若过点A恰有三条不同的直线与曲线y=/一①相切，则点人的轨迹长

度为（）

A.2B.4C.6D.8

53.若曲线/（c）有三条过点（0,a）的切线，则实数a的取值范围为（

e

A.（0,5）B.（0号）C.（oA）

54.若过点（a,b）可以作曲线沙=ln①的两条切线，则（）

6

A.e>0>aB.Ina>0>feC.心>Q>0D.Ina>b>0

55.（2024高三.辽宁本溪・期中）若过点（1,匕）可以作曲线沙=111（力+1）的两条切线,则（）

A.In2<b<2B.b>ln2C.0<6<ln2D.fe>1

【题型9】两条切线平行、垂直、重合问题

基础知识

利用导数的几何意义进行转化，再利用两直线平行或重合则斜率相等，两直线垂直则斜率之积为一1.

56.（2024•河北邢台・二模）已知函数/（力）=x2+2lnx的图像在4g,/（g））,B（x,7（a:））两个不同点处的切

22♦

线相互平行，则下面等式可能成立的是()

A.电+/2=2B.0+32=¥C./逆2=2D./便2=当

OO

57.已知函数/(c)=(a—3)T3+(a-2)®2+(a—l)x+a若对任意如CA,曲线g=/Q)在点(g,/(g))和

(—&,/(—g))处的切线互相平行或重合，则实数&=()

A.0B.1C.2D.3

58.(2024.辽宁.二模)已知函数％=X卷的图象与函数"2=a"(a>0且aWl)的图象在公共点处有相同的切

线，则a=，切线方程为.

59.(2024•全国•模拟预测)已知函数/⑸=Q+ay+In①的图象上存在不同的两点48,使得曲线y=f(x)

在点A,B处的切线都与直线2：+2u=0垂直,则实数a的取值范围是()

A.(—oo,1-B.(1一V2,0)C.(—℃>,1+A/2^)D.(0,1+A/2^)

60.(23—24高三•辽宁•阶段练习)已知函数/(C)=①(小一4),曲线y=/Q)上存在不同的两点，使得曲线在

这两点处的切线都与直线0=①平行，则实数山的取值范围是()

A.(1—e)1)B.(—1—e2,—1)C.(—e2,0)D.(1—e)+8)

61.(2024.河南.三模)已知函数/3)=](：+专户收>0,点在曲线y=/(c)上(A在第一象限)，过4

B的切线相互平行,且分别交沙轴于P,Q两点,则工的最小值为.

62.(2024.北京朝阳.一模)已知函数/(乃=]sin2c.若曲线0=/(为在点人⑶力侬))处的切线与其在点

/(g))处的切线相互垂直，则©—g的一个取值为.

【题型10】与切线有关的参数范围或最值问题

基础知识

利用导数的几何意义以及利用导数研究函数单调性，从而求出相关式子的取值范围.

63.(2024.全国.模拟预测)若直线y=2x—b与曲线/(①)=e2x—2ax(a>—1)相切,则b的最小值为()

A.-eB.-2C.-1D.0

64.(2024・重庆•模拟预测)已知直线J=Q6+b与曲线g=e，相切于点(如㊀的储若电)^(―8,3),则a+b的

取值范围为()

A.(—oo,e]B.(—e3,e]C.(0,e)D.(0,e3]

65.(2024.广东广州.模拟预测)已知直线夕=+6恒在曲线y=lnQ+2)的上方，则与的取值范围是

()

A.(l,+oo)B.([,+8)C.(0,+oo)D.4,+oo)

66.已知直线夕=for+b与函数/(a?)=-^-x2+Ina?的图象相切,则k—b的最小值为.

67.对给定的实数b,总存在两个实数a,使直线夕=加—b与曲线y=\n(x-b)相切，则b的取值范围为

【题型11】牛顿迭代法

基础知识

数形结合处理

68.(23-24高三.河南郑州•期中)“以直代曲”是微积分中的重要思想方法，牛顿曾用这种思想方法求高次

方程的根.如图，r是函数/(为的零点，牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼近r的实数3,亚,

22'…,劣'其中g是/(2)在2=割处的切线与立轴交点的横坐标，22是/(])在土=g处的切线与X轴

交点的横坐标，…，依次类推.当成-刊足够小时，就可以把4的值作为方程/3)=0的近似解.若

69.(2024.山东潍坊.三模)牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法.如图，方程”为=0的根就是函数

f(x)的零点r,取初始值如/(为的图象在点(gj(g))处的切线与立轴的交点的横坐标为如/(为的图

象在点(处/⑶))处的切线与2轴的交点的横坐标为电,一直继续下去，得到处亚，•••它们越来越接

近7•设函数/(乃=/+所，而=2,用牛顿迭代法得到为=鲁，则实数6=()

_______________________________~

L7L

19Q

A.1B.卷C.D.-^

ZJ4

70.牛顿迭代法是求方程近似解的另一种方法.如图，方程/（0=0的根就是函数/Q）的零点,，取初始值

g，/（/）的图象在横坐标为g的点处的切线与力轴的交点的横坐标为。，于（x）的图象在横坐标为新的

点处的切线与力轴的交点的横坐标为C2,一直继续下去，得到二1，/2,…，叫，它们越来越接近/.若/（力）

=啰2—2Q>0）,g=2,则用牛顿法得到的『的近似值g约为（）

A.1.438B.1.417C.1.416D.1.375

71.（2023・湖北咸宁•模拟预测）英国数学家牛顿在17世纪给出一种求方程近似根的方法一Ne以加-

Raphsonme讥od译为牛顿-拉夫森法.做法如下：设度是/（力）=0的根，选取g作为r的初始近似值,

过点（g，/（g））作曲线g=/（c）的切线I-g—/（g）=（（须））（力一g）,则I与力轴交点的横坐标为g=g

-娄4（/'（g）¥0），称的是r的一次近似值；重复以上过程，得r的近似值序列，其中为+1=%—

/（g）

变4（尸（彩）W0）,称为+1是r的n+1次近似值.运用上述方法，并规定初始近似值不得超过零点大

f（xn）

小，则函数=Imr+①—3的零点一次近似值为（）（精确到小数点后3位,参考数据：ln2=

0.693）

A.2.207B.2.208C.2.205D.2.204

72.（多选）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法--牛顿法.具体做法如下：如

图，设r是/（尤）=0的根，首先选取x0作为r的初始近似值，在①=g处作/（土）图象的切线,切线与t轴

的交点横坐标记作◎，称g是r的一次近似值，然后用X1替代x0重复上面的过程可得g,称芯是「的二

次近似值;一直继续下去，可得到一系列的数如如如-,xn,…在一定精确度下，用四舍五入法取值，当

x^x^nEN*）近似值相等时，该值即作为函数/（，）的一个零点r,若使用牛顿法求方程d=3的近似

口fM/(g)/(g)/(g)

A.若初始近似值为1,则一次近似值为3

f'go)/'(0)/'(电)/'(%)

D.任意TieN*,4+1=]g+产一(吃力0)

C.对任意neN*,21rl<4+1

/zxn

___________F

翎线问题综合

近5年考情(2020—2024)

考题统计考点分析考点要求

2024年甲卷第6题，5分

2024年新高考/卷第13题，5分

（1）求在某处的切线

2023年甲卷第8题，5分

考察导数的几何意义，切线的

（2）设切点求过某点的切线以及公切线

相关计算求值求参

2022年/卷第15题，5分

（3）利用切线的条数求参数范围

2021年甲卷第13题，5分

2021年/卷第7题，5分

C热点题型解读（目录））

【题型1】求在曲线上一点的切线

【题型2】求过某点的切线

【题型3】已知切线斜率求参数

【题型4】通过切线求曲线上的点到直线距离最小值

【题型5】奇偶函数的切线斜率问题

【题型6】切线斜率取值范围问题

【题型7】公切线问题

【题型8】由切线条数求参数范围

【题型9】两条切线平行、垂直、重合问题

【题型10】与切线有关的参数范围或最值问题

【题型11】牛顿迭代法

核心题型・举一反三］O

【题型1】求在曲线上一点的切线

基础知识

/班=/(0)

函数y=f{x）在点A（x00，/（»o））处的切线方程为y-f（.Xo）=/，（g）（土一g）,抓住关键\k=f'(xo)

1.（2024年高考全国甲卷数学（文））曲线/（力）=T+3%—1在（0,—1）处的切线与坐标轴围成的面积为

【答案】4

【解析】/'（劣）=6a;5+3,所以/'（0）=3,故切线方程为y=3（力一0）—1=36一1,

故切线的横截距为《，纵截距为一1,故切线与坐标轴围成的面积为上x1x=

3236

2.（2024年高考全国甲卷数学（理））设函数/（乃=宜土至手,则曲线y=f（x）在（0,1）处的切线与两坐标

轴围成的三角形的面积为（）

A-f11B-11C-19D-f

【答案】A

、（e"+2cosc）（l+a?）—（eH+2sinc）-2。

【斛析】/⑸=-------------E--------------，

（e°+2cos0）（l+0）—（e°+2sin0）x。=g

'“广（i+o）2—'

即该切线方程为g—1=3/，即g=3力+1,

令力=0,则g=1,令g=0,则力=—~\,

故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S=4xlxI—=《.

21316

3.已知曲线/⑸在点（1J⑴）处的切线为/，贝卜在g轴上的截距为（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【解析】由/（力）=/In力得/（力）=ln6+1,所以直线I的斜率卜二/（1）=1,

又f（l）=0,所以直线I的方程为g=c—1,令力=0,得g=—1，即Z在g轴上的截距为一1.

4.（23-24高三・福建宁德・期末）已知函数在点名=—1处的切线方程为c+g—1=0,则/（—1）+

/（T）=（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】。

【分析】由切线的几何意义得r（—i）,将力=—i代入切线方程得了（—1）,从而得解.

【详解】由切线方程力+g—1=0,得广（-1）=k=—1,

将力=—1代入切线方程力+g—1=0,得g=2,所以『（一1）=2,

则7（T）+/（T）=T+2=1.

【题型2】求过某点的切线

基础知识

_____________眇

【方法技巧】

设切点为P（g,jo）,则斜率k=r（g）,过切点的切线方程为：g—%=/（须））3—须））,

又因为切线方程过点A（a,6），所以b—%=一四））然后解出x0的值.

5.（2024.全国.模拟预测）过坐标原点作曲线/（力）=^（/—2/+2）的切线，则切线共有（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

【答案】A

【分析】利用导数求出斜率，结合斜率公式列方程求出切点坐标即可得解.

【详解】设切点为（g,e”。（舄—2g+2））,

由/（劣）=e3"（62—2力+2）可得（力）=x^ex,

则过坐标原点的切线的斜率k=屋（就―23+2）=曷暧，

60

故XQ—XQ+2（g—1）=0,即（g—1）（a?o+2）=0,

解得g=1,故过坐标原点的切线共有1条.

6.（2022年新高考全国/卷T15）曲线g=ln|/|过坐标原点的两条切线的方程为,.

［答案］y——xy=---x

ee

【分析】分力＞0和/V0两种情况，当力＞0时设切点为（g,lng），求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，

从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出即可求出切线方程，当力V0时同理可得；

【详解】［方法一］:化为分段函数,分段求

分力＞0和力V0两种情况，当力＞0时设切点为（g,lng）,求出函数不导函数，即可求出切线的斜率，从而表

示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出g,即可求出切线方程，当力V0时同理可得；

解：因为y=ln|力

当力＞0时g=In6,设切点为（g,lng），由式=工，所以式|『0=所以切线方程为y—inx0=—（X—XQ）,

XXQXQ

又切线过坐标原点，所以一g），解得g=e，所以切线方程为g—1=—（T—e）,即y——x\

x0ee

f

当力VO时。=hi（—i），设切点为，由式=1■，所以y\x=X1='，所以切线方程为y—ln（—0）=

—（T-Xi）,

又切线过坐标原点，所以一ln（—/J=—（—Xi）,解得出=—e，所以切线方程为y—1=」一（力+e）,即g二

X\-e

---x;故答案为：y=­x;y——--x

eee

［方法二］:根据函数的对称性，数形结合

当力＞0时g=In力，设切点为（g,111g），由式=工，所以y'\x=XQ—」-，所以切线方程为y—lng=」■（6一g）,

XUyQ/0

又切线过坐标原点，所以一Ing=」-（—g），解得g=e，所以切线方程为y—l=—（a;—e）,即y=-x;

XQee

因为g=是偶函数，图象为：

所以当a?<0时的切线，只需找到y=-x关于g轴的对称直线y=—―x即可.

ee

7.已知直线g=e/—2是曲线g=ln/的切线，则切点坐标为（）

A.（p-1）B.（e,l）C.（pl）D.（0,1）

【答案】A

【分析】设切点坐标为（&In。，利用导数的几何意义求出切线方程，对比系数即可求出切点坐标.

【详解】设切点坐标为（力In。，因为（111力丫=工,所以在点（力,1]1力）处切线的斜率为《，

xt

所以曲线g=In/在点（力,In力）处的切线方程为y—Int=十（力一力），

Ifl=61

即g—Int=一x—1,所以〈方,解得t=一,

t[-2=lnt-le

所以切点为（',一1）.

8.（2024.山西吕梁.二模）若曲线/（①）=In/在点P（g,g（））处的切线过原点0（0,0）,则须）=,

【答案】e

【分析】求导，根据点斜式求解直线方程，即可代入0（0,0）求解.

【详解】因为力）=111%，所以/'（力）=—,

x

所以/（力）在点P（g,g（））处的切线方程为y—lnx=—（x—xo）.

og

又切线过原点0（0,0）,则一lng=—1,所以x^—e.

9.（2019•江苏卷）在平面直角坐标系力。4中，点力在曲线g=In/上，且该曲线在点A处的切线经过点（

-e,—1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是.

【答案】（e,l）.

【分析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.

【详解】设点A（g，Uo）,则伙）=lng.又y'=）,

当力=g时，y,

力。

点A在曲线g=In力上的切线为y—y0=—（T—G）,

g

即g_1ng=­-1,

g

代入点（一e,—1）,得一1一Ing——--1,

力o

即XQIUXO=e,

考查函数HQ)=x\nx,当力e(0,1)时，H⑸VO,当力e(1,+oo)时，H(x)>0,

且H\x)=Inc+1,当力>1时，dQ)>0,HQ)单调递增，

注意到H(e)=e，故/olng=e存在唯一的实数根g=e，此时队=1,

故点A的坐标为A(e,l).

10.(23—24高三・广东•期中)过点尸(1,1)作曲线沙=/3的两条切线人,1.设小。的夹角为。，则tan9=

()

9

A—B・击D

13,13-i

【答案】。

【分析】求出两条切线的斜率，由两直线的夹角公式求得夹角的正切值.

【详解】两条切线Z1,，2的倾斜角分别为。1,。2,

根据题意，yr=3rc2,

若点P是切点时，切线斜率为自=3,

若点Q(g,jo)是切点(点RQ不重合)，则式=3总

由3鬲=着'解得g=一三(3=1舍去)，

3--5-

tan0i—tan0J49

则tan。=|tan（夕1—。2）|=2

13,

1+tan01tan02l+3x1

【题型3】已知切微舒率求参数

基础知识1

已知切线或切点求参数问题，核心是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线

的斜率;②切点在曲线上;③切点在切线上.

11.(2024・湖北武汉•模拟预测)已知曲线/⑺=Imc+尤在点(1J(1))处的切线的倾斜角为多则a的值

CLo

为.

【答案】6+1

［分析］对原函数进行求导,2=1代入得出切线斜率.曲线f(X)在2=1处的切线倾斜角为手可得出斜率.构

造关于a的方程，解方程即可.

【详解】曲线/⑸=Inc+式的导数r