一元二次方程配方法,公式法,因式分解法

1、元二次方程的根一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解. 例1下面哪些数是方程 2x210x10的根？4、一 3、一 2、一 1、0、1、2、3、4分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可.复习(a+b 2=a2 2ab b2(a J)2 二 a2 -2ab b2例2:解方程：x3 6x *9=2解：由已知，得：(x=2解:3x2 -5x =2方程两边同时除以3,得 x2 _5x = 233直接开平方，得：x3 = _、2配方，得x2壬即 x 3 =二2 , x 3 -

2、- 一 2所以，方程的两根 冶- -3 、2 , x2 - -3 - 2所以,5 f 495x, x _ 6 36649二丄,6 6 6方程的两根x - = 26 6像这种求出一元二次方程的根的方法叫做配方法。(1) x2 8x = 91 2(3) x -x -4 = 042 x 12x -15 = 0 3x2 +8x -3 =02x2 -9x 8 = 02 x 2 8x根据公式完成下面的练习:(1) x2 -8x +Tx-2(2)9x2 +12x +:3x2xpxTx2(4)x2 6x-x x2 -5xTX 2(6)x2 -9xx 练一练一、选择题1 .方程x x -1 =2的两根为（)A

3、. x = 0, X2 =1 B . X二 0, X2 二-1X = 1, X2 二 2.Xi = -1, X? = 22 .方程ax xb 亠bx =0的根是（).A . x1 = b,x2 = a b.X1 二 b,X2 Ja1X1 = a,X2 :a3.已知x - -1是方程ax2+b b).4 .右X2_4x + p=(x+qf,那么p、q的值分别是（).5 .方程p=4, q=2 B . p=4, q 2C.P4,q=2.p4,q23x29 =0的根为（).A . 3 B . 3 C.无实数根2 26.用配方法解方程 x2 x 0正确的解法是388x1 2、2，原方程无解92- -

4、5=1, X1 = 5 ,X23二、填空题如果 X2 -81 =0，那么x22 -81 =0的两个根分别是X1,X2 =已知方程5x2 mx -6 =0的一个根是x = 3，则m的值为方程x 1.2x x 0，那么方程的根x1 =若8x2 -16 =0，则x的值是如果方程2（x-3f =72，那么，这个一元二次方程的两根是如果a、b为实数，满足3a 4 b2 -12b 36 = 0，那么ab的值是三、综合提高题如果关于x的一元二次方程 ax2 bx 0-0中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证:-1必是该方程的一个根.元二次方程公式法一元二次方程ax bxc=Oa=O的根由方程的系数

5、a、b、c而定，因此： (1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2 bx c = 0 a汇0，当b24ac _ 0时，？将b 十；b2 4aca、b、c代入式子x就得到方程的根。(公式所出现的运算， 恰好包括了所学过的六种运算，2a除、乘方、开方(2) 这个式子叫做一元(3) 利用求根公式解一(4) 由求根公式可知，这体现了公式的统一性与和谐性。)二次方程的求根公式。元二次方程的方法叫公式法。一元二次方程最多有两个实数根。例1 用公式法解下列方程.2x2 -x -1 =0分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可。解：a = 2、b = -1、c = -

6、1b2 -4ac = -1 2 -4 2 一1 =1 8 =9- -1 _ .91_3x =2X24Xi练一练：用公式法解下列方程.(1) x -2 3x -5 =0(2) x21.5 - -3x(3) x2 _ . 2x -=02(4) 4x -3x 2 = 0、选择题1 用公式法解方程 4x2 -12x =3，得到()。A.-376x =2-32丿3xD23_2 3x =2Xr = 6, x2 _、2 C . x! = 2、2, x2 _2 D . x x - 62 .方程2x2 4 一 3x 6 . 2 = 0 的根是()。3. m2 - n2 m2-n2B = 0，贝y m2 n2 的

7、值是()。A. 4 B .-2 C . 4 或-2 D . - 4 或 2、填空题1.一兀二次方程0si1ax + bx + c = 0(a式0 )的求根公式是，条件A. Xr -2, x2 = 3 B3.若关于x的一元二次方程(m 1 X2 + x + m2+2m 3 = 0有一根为0,则m的值是.三、拓展题2某数学兴趣小组对关于 x的方程 m1xm 2 m_2x_1=0提出了下列问题。若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出 m并解此方程.( 1)当b2 -4ac - 0时，根据平方根的意义，.b2-4ac等于一个具体数，所以一元二次方程2ax bx c = 0 a = 0 的Xi

8、b 一 vb2 -4ac2ai b i b - 4ac-x2，即有两个不相等的实根，即2aXi-bb2 -4ac2a ，x2-b -寸b2 -4ac 。2a ( 2 )当2b -4ac =0时，根据平方根的意义. b2 - 4ac = 0，所以一元二次方程2ax bx c = 0 a 0 的三，即有两个相等的实根，即_ b% = x22a( 3)当b2 -4ac 0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以一元二次方程2ax bx c = 0 a = 0 没有实数解。例1.不解方程，判定方程根的情况(1) 16x2 8x - -3(2) 9x2 6x 1 = 0(3) 2x2 -9x 8 =

9、02(4) x 7x18 = 0根据求根公式判别一元二次方程根的情况方程b2 4ac的值b -4ac的符号XX2的关系(填相等、不等或不存在)2x2 -3x =03x2 -2a/3x+1 = 04x2 +x +1 = 0求根公式：-b Hb2 -4acX 2a巩固练习一、不解方程判定下列方程根的情况：3（1） x210x26 = 0（2） x2 -x 042(3) 3x 6x - 5 = 0(4) 4x216(5) 3x_4=02(6) 4x -6x 二 0(7) x 2x4 = 58x(8) x-2 3x-5=0二、选择题1 以下是方程3x2 -2x - -1的解的情况，其中正确的有（）.2

10、2A b -4ac - -8 方程有解B . b - 4ac - -8方程无解22C .T b -4ac=8，.方程有解 D . v b -4ac = 8，.方程无解 2一元二次方程x2 -ax 10的两实数根相等，则 a的值为（）.A. a = 0B. a 二 2或 a = -2C . a=2D. a二 2 或 a 二 03.已知k = 1，一元二次方程 k -1 x2 kx 0有根，则k的取值范围是（）.A . k=2B. k 2 C . k 2且k = 1D. k为一切实数三、填空题1. 已知方程x2 +px+q=0有两个相等的实数，则 p与q的关系是.2. 不解方程，判定2x2 -3

11、= 4x的根的情况是 （?填“二个不等实根”或“二个相等实根或没有实根”）.3. 已知b = 0，不解方程，试判定关于x的一元二次方程 x2 72a b x a ab2b2二0的根的情况是四、综合提高题1.不解方程，判别关于 x的方程x2 -2kx 2k -1 =0的根的情况.2、若关于x的一元二次方程 a-2 x2 -2ax a T = 0没有实数解，求ax 3 0的解集（用含a的式子表示）元二次方程因式分解法解下列方程。2x2 x =0方程中没有 常数项；左边都可以因式分解：可以写成：x 2x 1 =0两个因式乘积要等于 0,至少其中一个因式要等于 0,也就是x = 0或2x 0，所以论=

12、0,x2二-2因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次 式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次，这种解法叫做 因式分解法 用因式分解法解方程2(1) 10x-4.9x =0(2) xx-2 x-2=0(3)x 一1 2 二 3 2x 2思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？(方程一边为0,另一边可分解为两个一次因式乘积。)1 下面一元二次方程解法中，正确的是()A ix - 3 ix - 5 =10 2 , x-3=10,x-5=2 , Xi=13, X2=7223B (2 5x )+(5x - 2 ) =0(5x -2 5x -3)= 0 ,二 =_, x2 =_55C (x +2 f +4x =0 ,.治=2,x2 = -2D x2 = x两边同除以x，得x = 1一、填空题21 x -5x因式分解结果为 ； 2x(x-3)-5(x3 )因式分解的结果是 2方程(2x1 了 =2x -1的根是3二次三项式x2 +20x+96分解因式的结果为;如果令x2 +20x+96 = 0,那么它的两个根是二、综合提高题1 .用因式分解法解下列方程.2 2 2(