§..指数与指数幂的运算

1、2.1.1 指数与指数幂的运算（1）学习目标 1. 了解指数函数模型背景及实用性、必要性；2. 了解根式的概念及表示方法；3. 理解根式的运算性质.学习过程 一、课前准备（预习教材P48 P50，找出疑惑之处）复习1：正方形面积公式为 ；正方体的体积公式为 .复习2：（初中根式的概念）如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的 ，记作 ；如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的 ，记作 . 二、新课导学 学习探究探究任务一：指数函数模型应用背景探究下面实例及问题，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数函数的必要性.实例1. 某市人口平均年增长率为1.25，1990年人口数为a万，则x年后人

2、口数为多少万？实例2. 给一张报纸，先实验最多可折多少次？你能超过8次吗？计算：若报纸长50cm，宽34cm，厚0.01mm，进行对折x次后，求对折后的面积与厚度？问题1：国务院发展研究中心在2000年分析，我国未来20年GDP（国内生产总值）年平均增长率达7.3， 则x年后GDP为2000年的多少倍？问题2：生物死亡后，体内碳14每过5730年衰减一半（半衰期），则死亡t年后体内碳14的含量P与死亡时碳14关系为. 探究该式意义？小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如人口问题、银行存款、生物变化、自然科学.探究任务二：根式的概念及运算考察： ，那么就叫4的 ；，那么3就叫27的 ；，那

3、么就叫做的 .依此类推，若,，那么叫做的 .新知：一般地，若,那么叫做的次方根 ，其中,.简记：. 例如：，则.反思：当n为奇数时, n次方根情况如何？例如：，, 记：.当n为偶数时，正数的n次方根情况？ 例如：的4次方根就是 ，记：.强调：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，即.试试：，则的4次方根为 ； ，则的3次方根为 .新知：像的式子就叫做根式（radical），这里n叫做根指数，a叫做被开方数.试试：计算、.反思：从特殊到一般，、的意义及结果？ 结论：. 当是奇数时，；当是偶数时，. 典型例题例1求下类各式的值： （1） ； （2） ； （3）； （4） （）.变式：计算或化简下

4、列各式.（1）； （2）.推广： （a0）. 动手试试练1. 化简.练2. 化简.三、总结提升 学习小结1. n次方根，根式的概念；2. 根式运算性质. 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 的值是（ ）.A. 3 B. 3 C. 3 D. 812. 625的4次方根是（ ）. A. 5 B. 5 C. 5 D. 253. 化简是（ ）. A. B. C. D. 4. 化简= .5. 计算：= ； .课后作业 1. 计算：（1）； （2） .2. 计算和，它们之间有什么关系？ 你能得到什么结论？3. 对比与，你能把后者归入前者吗？2.1.1 指数与指数幂的运算（2）学习目标 1.

5、理解分数指数幂的概念；2. 掌握根式与分数指数幂的互化；3. 掌握有理数指数幂的运算.学习过程 一、课前准备（预习教材P50 P53，找出疑惑之处）复习1：一般地，若，则叫做的 ，其中,. 简记为： .像的式子就叫做 ，具有如下运算性质：= ；= ；= .复习2：整数指数幂的运算性质.（1） ；（2） ；（3） .二、新课导学 学习探究探究任务：分数指数幂：引例：a0时，则类似可得 ； ，类似可得 .新知：规定分数指数幂如下；.试试：（1）将下列根式写成分数指数幂形式：= ； = ； = .（2）求值：； ； ； .反思： 0的正分数指数幂为 ；0的负分数指数幂为 . 分数指数幂有什么运算性质

6、？小结：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂指数幂的运算性质： （）； ； 典型例题例1 求值：； ；.变式：化为根式.例2 用分数指数幂的形式表示下列各式：（1）； （2）； （3）.例3 计算（式中字母均正）：（1）； （2）.小结：例2，运算性质的运用；例3，单项式运算.例4 计算：（1） ；（2） ；（3）.小结：在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则.反思： 的结果？结论：无理指数幂.（结合教材P53利用逼近的思想理解无

7、理指数幂意义） 无理数指数幂是一个确定的实数实数指数幂的运算性质如何？ 动手试试练1. 把化成分数指数幂.练2. 计算：（1）； （2）.三、总结提升 学习小结分数指数幂的意义；分数指数幂与根式的互化；有理指数幂的运算性质. 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 若，且为整数，则下列各式中正确的是（ ）.A. B. C. D. 2. 化简的结果是（ ）. A. 5 B. 15 C. 25 D. 1253. 计算的结果是（ ）.A B D4. 化简= .5. 若，则= .课后作业 1. 化简下列各式：（1）； （2）.2. 计算：.2.1.1 指数与指数幂的运算（练习）学习目标 1.

8、 掌握n次方根的求解；2. 会用分数指数幂表示根式；3. 掌握根式与分数指数幂的运算.学习过程 一、课前准备（复习教材P48 P53，找出疑惑之处）复习1：什么叫做根式? 运算性质？像的式子就叫做 ，具有性质：= ；= ；= .复习2：分数指数幂如何定义？运算性质？ ； .其中 ； ； .复习3：填空. n为 时，. 求下列各式的值： = ； = ；= ；= ； = ；= ；= .二、新课导学 典型例题例1 已知=3，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）补充：立方和差公式.小结： 平方法； 乘法公式； 根式的基本性质（a0）等.注意， a0十分重要，无此条件则公式不成立. 例如，.变式：已知

9、，求：（1）； （2）.例2从盛满1升纯酒精的容器中倒出升，然后用水填满，再倒出升，又用水填满，这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？变式：n次后？小结： 方法：摘要审题；探究 结论； 解应用问题四步曲：审题建模解答作答. 动手试试：练1. 化简：.练2. 已知x+x-1=3，求下列各式的值.（1）； （2）.练3. 已知，试求的值.三、总结提升 学习小结：1. 根式与分数指数幂的运算；2. 乘法公式的运用. 知识拓展：1. 立方和差公式：；.2. 完全立方公式：；. 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 的值为（ ）. A. B. C. 3 D. 7292. (a0)的

10、值是（ ）.A. 1 B. a C. D. 3. 下列各式中成立的是（ ）.A BC D 4. 化简= .5. 化简= .课后作业 1. 已知, 求的值.2. 探究：时, 实数和整数所应满足的条件.2.1.2 指数函数及其性质（1）学习目标 1. 了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；2. 理解指数函数的概念和意义；3. 能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质（单调性、特殊点）.学习过程 一、课前准备（预习教材P54 P57，找出疑惑之处）复习1：零指数、负指数、分数指数幂怎样定义的？（1） ；（2） ；（3） ； .其中复习2：有理指数幂的运算性质.（1） ；

11、（2） ；（3） .二、新课导学 学习探究探究任务一：指数函数模型思想及指数函数概念实例： A细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？B一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？新知：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.反思：为什么规定0且1呢？否则会出现什么情况呢？试试：举出几个生活中有关指数模型的例子？探究任务

12、二：指数函数的图象和性质引言：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？回顾：研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性作图：在同一坐标系中画出下列函数图象：， 讨论：（1）函数与的图象有什么关系？如何由的图象画出的图象？（2）根据两个函数的图象的特征，归纳出这两个指数函数的性质. 变底数为3或后呢？新知：根据图象归纳指数函数的性质.a10a0,a1)的图象恒过定点（ ）.A. B. C. D. 3. 指数函数，满足不等式 ，则它们的图象是（ ）. 4. 比较大小： .5. 函数的定义域为 .课后作业 1

13、. 求函数y=的定义域.2. 探究：在m，n上，值域？2.1.2 指数函数及其性质（2）学习目标 1. 熟练掌握指数函数概念、图象、性质；2. 掌握指数型函数的定义域、值域，会判断其单调性；3. 培养数学应用意识.学习过程 一、课前准备（预习教材P57 P60，找出疑惑之处）复习1：指数函数的形式是 ，其图象与性质如下a10a0,a1)的图象与函数y=bx (b0,b1)的图象关于y轴对称，则有（ ）.A. ab B. a1)在R上递减C. 若aa，则a1D. 若1，则4. 比较下列各组数的大小： ； .5. 在同一坐标系下，函数y=ax, y=bx, y=cx, y=dx的图象如右图，则a、

14、b、c、d、1之间从小到大的顺序是 .课后作业 1. 已知函数f(x)=a(aR)，求证：对任何， f(x)为增函数.2. 求函数的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.2.2.1 对数与对数运算（1）学习目标 1. 理解对数的概念；2. 能够说明对数与指数的关系；3. 掌握对数式与指数式的相互转化.学习过程 一、课前准备（预习教材P62 P64，找出疑惑之处）复习1：庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭.（1）取4次，还有多长？（2）取多少次，还有0.125尺？ 复习2：假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产 是2002年的2倍？ （只列式）二

15、、新课导学 学习探究探究任务：对数的概念问题：截止到1999年底，我国人口约13亿. 如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么多少年后人口数可达到18亿，20亿，30亿？讨论：（1）问题具有怎样的共性？（2）已知底数和幂的值，求指数 怎样求呢？例如：由，求x.新知：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数.记作 ，其中a叫做对数的底数，N叫做真数 试试：将复习2及问题中的指数式化为对数式.新知：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把常用对数简记为lgN 在科学技术中常使用以无理数e=2.71828为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，并把自然对数简记作lnN 试试：分别说说lg

16、5 、lg3.5、ln10、ln3的意义.反思：（1）指数与对数间的关系？ 时， .（2）负数与零是否有对数？为什么？ （3） ， . 典型例题例1下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.（1） ；（2）；（3）；（4） ；（5）；（6）lg0.001=； （7）ln100=4.606.变式： lg0.001=？小结：注意对数符号的书写，与真数才能构成整体.例2求下列各式中x的值：（1）； （2）； （3）； （4）.小结：应用指对互化求x. 动手试试练1. 求下列各式的值.（1） ； （2） ； （3）10000.练2. 探究 三、总结提升 学习小结对数概念；lgN与lnN；指对互化；如何求

17、对数值 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 若，则（ ）.A. 4 B. 6 C. 8 D. 92. = （ ）.A. 1 B. 1 C. 2 D. 23. 对数式中，实数a的取值范围是（ ）.A B(2,5)C D 4. 计算： .5. 若，则x=_，若，则y=_.课后作业 1. 将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式.（1）； （2）； （3）（4）； （5）；（6）； （7）.2. 计算： （1）； （2）； （3）； （3）； （4）.2.2.1 对数与对数运算（2）学习目标 1. 掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；2. 能较熟练地运用对数运算法则解

18、决问题.学习过程 一、课前准备（预习教材P64 P66，找出疑惑之处）复习1：（1）对数定义：如果，那么数 x叫做 ，记作 .（2）指数式与对数式的互化： .复习2：幂的运算性质.（1） ；（2） ；（3） .复习3：根据对数的定义及对数与指数的关系解答：（1）设，求；（2）设，试利用、表示二、新课导学 学习探究探究任务：对数运算性质及推导问题：由，如何探讨和、之间的关系？问题：设, ，由对数的定义可得：M=，N= MN=，MN=p+q，即得MN=M + N根据上面的证明，能否得出以下式子？如果 a 0，a 1，M 0， N 0 ，则（1）；（2）；（3） .反思：自然语言如何叙述三条性质？

19、性质的证明思路？（运用转化思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式） 典型例题例1用, , 表示下列各式：（1）； （2） .例2计算：（1）； （2）；（3）； （4）lg.探究：根据对数的定义推导换底公式（，且；，且；）试试：2000年人口数13亿，年平均增长率1，多少年后可以达到18亿？ 动手试试练1. 设,，试用、表示.变式：已知lg20.3010，lg30.4771，求lg6、lg12. lg的值.练2. 运用换底公式推导下列结论.（1）；（2）.练3. 计算：（1）；（2）.三、总结提升 学习小结对数运算性质及推导；运

20、用对数运算性质；换底公式. 知识拓展： 对数的换底公式； 对数的倒数公式. 对数恒等式：，. 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 下列等式成立的是（ ）ABCD2. 如果lgx=lga+3lgb5lgc，那么（ ）.Ax=a+3bc B C Dx=a+b3c33. 若，那么（ ）.A BC D4. 计算：（1） ；（2） .5. 计算： .课后作业 1. 计算：（1）；（2）.2. 设、为正数，且，求证：.2.2.1 对数与对数运算（3）学习目标 1. 能较熟练地运用对数运算性质解决实践问题；2. 加强数学应用意识的训练，提高解决应用问题的能力.学习过程 一、课前准备（预习教材P

21、66 P69，找出疑惑之处）复习1：对数的运算性质及换底公式.：如果 a 0，a 1，M 0， N 0 ，则（1） ；（2） ；（3） .换底公式 .复习2：已知 3 = a， 7 = b，用 a，b 表示56.复习3：1995年我国人口总数是12亿，如果人口的年自然增长率控制在1.25，问哪一年我国人口总数将超过14亿？ （用式子表示）二、新课导学 典型例题：例1 20世纪30年代，查尔斯.里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大. 这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：，其中A是被测地震的最大振幅，是“标准

22、地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差）.（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001, 计算这次地震的震级（精确到0.1）；（2）5级地震给人的振感已比较明显，计算7.6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍？（精确到1）小结：读题摘要寻找数量关系利用对数计算.例2当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”根据些规律，人们获得了生物体碳14含量P与生物死亡年数t之间的关系回答下列问题：（1）求生物死亡t年后它机体内的碳14

23、的含量P，并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？（2）已知一生物体内碳14的残留量为P，试求该生物死亡的年数t，并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？（3）长沙马王墓女尸出土时碳14的余含量约占原始量的76.7%，试推算古墓的年代？反思： P和t之间的对应关系是一一对应； P关于t的指数函数，则t关于P的函数为 . 动手试试练1. 计算：（1）； （2）.练2. 我国的GDP年平均增长率保持为7.3%，约多少年后我国的GDP在2007年的基础上翻两番？三、总结提升 学习小结1. 应用建模思想（审题设未知数建立x与y之间的关系求解验证）；

24、2. 用数学结果解释现象. 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. （a0）化简得结果是（）.AaBa2CaDa2. 若 log7log3（log2x）0，则=（）. A. 3 B. C. D. 3. 已知，且，则m 之值为（ ）.A15 B C D2254. 若3a2，则log382log36用a表示为 .5. 已知，则 ； 课后作业 1. 化简：（1）；（2）.2. 若，求的值2.2.2 对数函数及其性质（1）学习目标 1. 通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；2. 能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图

25、象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3. 通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法.学习过程 一、课前准备（预习教材P70 P72，找出疑惑之处）复习1：画出、的图象，并以这两个函数为例，说说指数函数的性质.复习2：生物机体内碳14的“半衰期”为5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时，碳14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代.（列式）二、新课导学 学习探究：探究任务一：对数函数的概念问题：根据上题，用计算器可以完成下表：碳14的含量P0.50.30.10.010.001生物死亡年数t讨论：t与P的关系？（对每一个碳14的含量P的取值，通过对应关系，生物死亡年数t都有唯一的值与之对应，从而t是P的函数）新知：一般地，当a0且a1时，函数叫做对数函数，自变量是x； 函数的定义域是（0，+）.反思：对数函数定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别，如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数；对数函数对底数的限制 ，且探究任务二：对数函数的图象和性质问题：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质