第十四章机械振动

1、Jwvww/wwvwxaaa* vibration第十四章振动简谐振动的描述氓多詈一简谐振动的动力学壬. JL r阻尼振动受迫振动同方向同频率简谐振动的合成同方向不同频率简谐振动的合成谐振分析机械振动:物体在一定位置附近作周期性往复运动。广义振动:任_物理量（如位移.电流等）在某一物体发生机械振动的条件：物体受到始终指向平衡位置的回复力; 二物体具有惯性。._ 二* & 二=. ? S3 亠掌握机械振动的基本规律是研究其它形式振动的基础O 简谐振动（simple harmonic vibration）III是最简单.最基本的振动理想模型。它是研究各种复杂振动的重要基础。 物体距平衡位置的位移（

2、或角位移）随时间按余弦（或正弦）函数变化厘-反X向 航監水平光滑面，弹簧劲度沧质量可忽略，物体质量加F =-kX加&mg 14.1简谐振动的特征及描述以物体受力为零的平衡位置为坐标原点0 物体在任一位 置受的弹性力V以铅垂方向o o 为摆角参考轴，单摆在任一角位置e所受的重力矩为M = -mglo 彗覆才则 M = -mgl0对于给定的弹簧振子沧、m为常量，其比值亦为常量。令a）2 = k/m 则a = -a）2x 即 a+a）2X =0得幣 +务兀=简谐振动微分方程该微分方程的解通常表成余弦函数X = A三（皿+卩）简谐振动方程A、（p为微分方程求解时的积分常量，由系统的初始条件决定。简谐振

3、动的速度V=dx/dt = 一 04三（血1+。）简谐振动的加速度 a=dv/dt = -（o2A：G）t+（p） = -a）2X应用转动定律，同理也可求得单摆的角振动方程 & = &0三（血力+。）简谐振动的振动方程X = A简谐振动的速度V = dx/dt简谐振动的加速度 a=dv/dt=(o2A 三+(p)v=o|Q|最大V最大a=0v=o|a|最大=g)2K3 垢注苗诸握助旳轸珈-V0振幅A : X的最大绝对值 “V 0厂 周期T:完成一次振动需时 、频率 “ ：V = 1/T弹簧振子 a)=k7m1AAT单摆血=防厂相位：=t+小 是界定振子在时刻十的运动状态的物理量 运动状态要由位

4、置x和速度v同时描述，而x和的正负取决于X =V = -oAMt+(p)初相0 :是t = 0时，振子的相位。所谓t-0 ,不是指开始振动，而是指开始观测和计时。付晋 Xn =4 = 0Vo = -aL(P由乂和遞给定振子的振幅 A消去0得 A =Xo=Vo = oAXo =Vo = g)A消去A得三申=一VoG)X0由兀和歸给定振钠电 0/_h-A （第三象限）Vo0IS则K0V知Vo二一（第四象限）若兀00 O且比0则笔X95但由于在02兀范围内，同一正切值对应有两个 便，因此，还必须再 根据旋疋负进宜判斷。联系振子运动直观图不难作出判断tvoiS 则 “v务小“0 （第一象限） So4

5、聞韦皆埠孝旳雄铠矣:St简谐振动方程x = A cos (cot + 0)旋转矢量A以匀角速Q逆时针转动0；M(0)t时刻的振动相位 =(曲 + 0)矢量端点 在X轴上 的投影对 应振子的 位置坐标%么么纟纟乡么么乡M纟么么厶 “乡纟%三（et+e）任一时刻的和a值, 其正负号仅表示方向。 a e同号时为加速异号时为减速II1BQ=7T_0QV么么纟么 纟纟么 么纟力么 纟力纟 么纟么么么纟么么 么么纟么 纟纟么 N纟么么 力纟么么 么么纟么 么纟么*z 力3纟 冬 ；已矢口简谐振动的Xt曲线 完成下述简谐振动方程 X =三（一t+）A = 0.04 (m)T=2 (s)co-Iti! T-t

6、i (rad/s ) 兀=004三(兀+乎)(si)A从作反时针旋转时，矢端的投影从*0向x轴的负方运动,即vo ,与已知x（曲线一致。试证明，若选取受力平衡点作为位置坐标原点，垂直弹簧振子与水平弹簧振子的动力学方程和振动方程相同oToA/平衡点小球加在受力平衡点 6受弹性力大小f=mg = kM身选取受力平衡点作为位置坐标原点小球在位置坐标X处所受弹性力f (X+A/)-合外力 F =-怡(X+Z) + mg =一 kx 一 kz +沧/=一 kx 动力学方程m = -kx 微分方程7 + -X=0的解： 振动方程尤=A三(0乃+0) 均与水平弹簧振子结果相同mg藪已矢口弹簧振子r m =

7、5 X10 3 kg* = 2X10-4 Nmif = 0 时 Xo= 0 珂=0.4 m-s 1完成下述简谐振动方程 兀=_三（一/+）-1)力=离+器（m）兀=2三（0+卽）（si）已知 xo=O, Z7o0 相应的旋转矢量图为某物体沿X轴简谐运动,振幅A = 0.12 m,&冋期T = 2s,心0时物体背离原点移动到位置兀 = 0.06m处初相（p, / = o5 s时的位置兀速度V.加速度d-嚳当 O由简谐振动方程X = A cos （ot +（P）!1!f = 0 时 0.06 = 0.12 cos （p 得 卩=土 id 3 再由题意知=（）物体正向运动，即“0 = -血4三卩0%

8、00且Vo0 ，则0在第四象限，故取（P-TI/3O 将 A = 0.12 m, T = 2 s 9 a)-2n/T-Tt rad s ，- 7t/3rad及f = 05s代入谐振动的X, V,a定义式得 X=A cos (cot + 0) = 0.104 (m)V=dx/dt = -a)AG)t+(p = -0.19 (m s-1)a =dp/d = g)2A (.G)t+) = -a)2X = 1.03 (m s 2 )/ 2冗 .向平衡点运动在一A 处 向平衡点运动用旋转矢量法冬o两质点振动相位差O两质点第一次通过平衡点的时刻两质点振动相位差皿二卩_01=3龙/4 从旋转矢量图可以看出：

9、Ai转过兀/4时，质点1第一次通过平衡点G)ti = /4 9 fi=-y=手=1.06 缶 转过兀72时，质点2第一次通过平衡点G)ti = 71/2 , ti= 2(0= 213(S)质点Xqi/ X Voi两质点1、2同在X轴上作简谐振动振幅A相同 期均为T = &5s心0时处=Acos(pr A.COS %=朋72W %=牛或请龙因 XoiO且oiO0在第一象限应取 =兀/4X02 = Acos2= -ACOS 02 = 02 =兀d20复摆（物理摆）-mgh sinO = JJ3 = J 9 弓応 gdt丿为加绕0点转动的转动惯量o $乒Ju 甘岂Md23 m2h 当sin。时等+嘗

10、& = 0 m砂腐盟s dtJ可见，复摆的运动也满足谐振动方程。 且其圆频率与周期为简谐振动的判断式平动转动F _kxM =-BOd2xF合=ma = mM=J/3 = Jddtd? x2cc + CD X = 0 dt2丫 +2夕=0dt22 k co =mQ2=y兀二 Acos 伽+ 0o)0 二 cos(Qf+ 00)丿7皆衣辰右ir白勺倉旨振动系统：如水平弹簧振子振子质量加弹簧劲度沧振动角频率G）简谐陋动方程X = A三（W+0）振子运动速度12 = - 04三（0乃+卩）系统的动能 Ek=rnv2=ma）2A2 2（a）t+（p）系统的势能Ep =寺沧兀2=寺沧A2三2 t +（p）

11、（以X=0处为零势点）571系统的机械能 E=Ea；+Ep = ma）2A2=kA2oEiEp均随时间而变且能量相互转换 jEjt变到最大时变为零 IB变到最大时Et变为零C系统的机械能E守恒。Eoc血2及a 2一水平弹簧振子以平衡点为原点沿天轴振动弹簧劲度k振子质量加振幅A当振动系统的动能值与势能值相等时振子的位置坐标X动能Er=寺加“2=寺加血2三2（曲+卩） 势能 Ep =-kX2=k A2 2 （Ot+（p）Bk - mo2Ep其中2=4得2t +（P）三2（m + 卩） Ep当 Ejt=Ep 时 三祝+0）=i,三（m+e）=l 振动相位=（祝+卩）=士乎或+叙 代入x=Aw（q/+

12、0）中，解得X = 昙能量 E=Ep+Ea：例2有一水平弹簧振子。K=24N/m ,重物质量m=6kg,静止在 平衡位置。设以一水平恒力F=10N作用于物体（不计摩擦），使之从平衡位置向左运动了0.05m,此时撤去力F。当重物运动 到左方最远位置时开始计时，求：振子的运动方程。1 9解：外力的功：W = FS=0.5丿二？ =AAA = 0.204cd - = 2 rad / s V m又X。= -A/.(P =x = 0.204 cos(2t + %)(S/)匀质细直悬棒 质量m、长 在铅直面内摆动摆幅很小I = mL2。该摆动系统的机械能守恒数学表达式* 该摆的运动学微分方程及摆动周期动能

13、刚体（直棒）转动动能 Eb寺巾2=寺Z （需）2二寺讥2（韵2 势能 系统的重力势能以垂态直棒中心点C为重力零势点= 寺厶（1 一三&）= zng 真（1一彳1 一三 20） w zng 眞（i_） w/ng 毎显2= 机械能 E=Eji+Ep =-j-/wZ2（y-）2+-/ngz2 机械能守恒，即E为恒量,dE/df=O 晋=寺讥2誥张+寺屈0需=o 即鶉+醫0= ；令2=lz-得简谐角振动微分方程 黑+20 = 0DTT2L3 g该摆的振动周期丁 = -一 = 2”人 re:皆推动竝令成、两个A简谐振动驚成兀1二41三（加+ 01）同在X轴 兀2=力2三（1 + 02）且仗和同合成振动X

14、 =Xl + %2 G）用旋转矢量法可求得合成振动方程X=A 三 t +（P）七4纟+2z41z42 壬（02101）0二arc三总二arc耳 話烧-二孤三4三 + 4三02O ”0y2yXi-XAi(pA2(p2合成初相0与计时起始时刻有关 分振动初相差02-01与计时起 始时刻无关，但它对合成振幅/ 属相长or相消合成起决定作用若（P2-（Pi = 2k7T（/ =0,1,2,-） 则 三（02-01）=1若 - = （2怡+1）兀（沧=0,1,2,-） 则 三（02-01）=1A =Ai+ + 2Au42 =AiA2为合振幅可能达到的最大值若 412 ,则-4 2-41A =Al+-2A

15、iA2 =|z4iT2|为合振幅可能达到的最小值若 4=4 ,则 4 = 0分振动三（Qf+0.）；兀2=力2三（血1 + 02）合振动其中，合振幅X =A 三t+（p）N=*+2N4 2 三（02-01）若020L为其它值，则N处于Ai+A2与|4虫2之间例1试用最简单的方法求出下列两组简谐振动合成后所得合振动的振幅:第一组：V= 0.05cos(3t+ Ji /3)m=0.05cos(3t+7 it /3)m第二组：JC1 = 0.05cos(3t+n /3)mL %2 = 0.05cos(3t+411/3)m解：第一组：g =普一A= Ar+A2= 0.05 + 0.05 =0.10(m

16、)第二组人山簣3 = 31A =0例2三个同方向、同频率的谐振动为X = 0.lcos(10t+ n /6)m%2 = 0.1cos(10t+ ji /2)m3T试利用旋转矢量法求出合振动的表达式。解：Ai =A2 =A3 =0.1A =人1 +力3A=A+A+A =力2+AXX3 = 0. lcos(10t+5 Ji /6)mAOXA= 2 A】 =0.2处2x = 0.2cos(10t+ n /2)m例3 质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动：X= 004cos(2t+ 兀 /6)m兀2= 0.03cos(2t-5 n /6)m试求：其合振动的振幅和初相位(式中X以m计，t以S计)。解：A =A： +A； + 2AjA? cos (02)=J (0.04)2+(0.04)2+2x0.04x0.03cos(-n) =o.oim0= arc t战Acosi +A2C0爭2 丿=arc tg0.04 X 寺+ 0.04 X（-寺）0.04X 镭 + 004X（-谬）= arC上时）已矢口简谐振动X1 = OO5 三（101+孰）（SI） X2 =0.06 三（101+羯（SI） %3=0.07 言（10 f +