概率论第一章 随机事件及其概率

1、2020/12/31,1,概率论,Probability Theory,2020/12/31,2,总评成绩的评定,总评成绩是下面两部分成绩的加权平均:,(一) 平时成绩 占 30 由作业、考勤、上课表现等确定； (二) 期末考试 占70,2020/12/31,3,第一章 随机事件及其概率,1.1 随机事件,2020/12/31,4,1.1.1 随机现象与随机试验,确定性现象,在一定条件下必然发生的现象（事前可预言的现象），例如，在标准大气压下，将水加热至100必然沸腾；同性电荷必然排斥等等。,在自然界和实际生活中，我们通常会遇到两类不同的现象，一类是确定性现象，另一类是非确定性现象。,一 随机

2、现象,特征：条件完全决定结果。,非确定性现象：模糊现象随机现象,. 模糊现象,由事物本身含义不确定导致结果不确定的现象，例如：“健康的人”，“稠密的深林”，“高大的山脉”等等。,2020/12/31,5,随机现象,事前不可预言的现象，即在相同条件下重复进行试验，每次结果未必相同，或知道事物过去的状况，但未来的发展却不能完全肯定。例如，掷一枚硬币，可能出现正面向上，也可能出现反面向上；取粒种子做发芽试验，观察发芽的种子粒数，结果可能是粒，粒，粒种子发芽等等。,特征：条件不能完全决定结果。,确定性现象与随机现象的共同特点是事物本身的含义确定。随机现象与模糊现象的共同特点是不确定性，随机现象的不确定

3、性是指试验的结果不确定，而模糊现象的不确定性有两层含义，一是指事物本身的定义不确定，二是结果不确定。,2020/12/31,6,模糊数学将数学的应用范围从清晰确定扩大到模糊现象的领域，而概率论与统计学则将数学的应用从必然现象扩大到随机现象的领域。,对于随机现象，人们经过长期实践并深入研究之后，发现这类现象在大量重复试验或观察下，它的结果会呈现某种规律性，这种规律性我们称之为统计规律性。,概率论就是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科；数理统计是以概率论为基础，研究如何通过观察和试验认识自然规律和社会规律的一门方法论学科。,2020/12/31,7,概率论的起源,概率论起源于15世纪中叶，

4、肇事于所谓的“赌金分配问题”。,赌金分配问题：在一场赌博中,某一方先胜6局便算赢家,那么,当甲方胜了4局,乙方胜了3局的情况下,因出现意外,赌局被中断,无法继续,此时,赌金应该如何分配?,当时，有一答案是：应当按照4:3的比例把赌金分给双方。,意大利科学家帕西奥尼给出的,2020/12/31,8,当时，许多人都认为帕西奥尼的分法不是那么公平合理。因为,已胜了4局的一方只要再胜2局就可以拿走全部的赌金，而另一方则需要胜3局，并且至少有2局必须连胜，这样要困难得多。但是，人们又找不到更好的解决方法。在这以后100多年中，先后有多位数学家研究过这个问题，但均未得到过正确的答案。,2020/12/31

5、,9,直到1654年，一位经验丰富的法国赌徒默勒以自己的亲身经历向帕斯卡请教“赌金分配问题“，求助其对这种现象作出解释，引起了这位法国天才数学家的兴趣，帕斯卡接受了这些问题，但他没有立即去解决它，而是把它交给另一位法国数学家费尔马。之后，他们频频通信，互相交流，围绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。这些问题后来被来到巴黎的荷兰科学家惠更斯获悉，回荷兰后，他也开始就这方面展开研究。,2020/12/31,10,帕斯卡和费尔马一边亲自做赌博实验，一边仔细分析计算赌博中出现的各种问题，最后分别独立的解决了“分赌注问题”，并将此题的解法向更一般的情况推广，从而建立了概率论的一个基本概念数学期望，

6、这是描述随机变量取值的平均水平的一个量。而惠更斯经过多年的潜心研究，也解决了掷骰子中的一些数学问题。1657年，他将自己的研究成果写成了专著论掷骰子游戏中的计算。这本书迄今为止被认为是概率论中最早的论著。因此可以说早期概率论的真正创立者是帕斯卡、费尔马和惠更斯。这一时期被称为组合概率时期，主要是计算各种古典概率。,2020/12/31,11,费尔马的解法,费尔马注意到，如果继续赌下去，最多只要再赌4轮便可决出胜负，如果用“甲”表示甲方胜，用“乙”表示乙方胜，那么最后4轮的结果，不外乎以下16种排列。,甲甲甲甲 甲甲乙乙 甲乙乙乙 甲甲甲乙 甲乙甲乙 乙甲乙乙 甲甲乙甲 甲乙乙甲 乙乙甲乙 甲乙

7、甲甲 乙乙甲甲 乙乙乙甲 乙甲甲甲 乙甲乙甲 乙乙乙乙 乙甲甲乙,2020/12/31,12,在这16种排列中，当甲出现2次或2次以上时，甲方获胜，这种情况共有11种；当乙出现3次或3次以上时，乙方胜出，这种情况共有5种。因此，赌金应当按11:5比例分配。,2020/12/31,13,帕斯卡的解法,帕斯卡解决这个问题则利用了他的“算术三角形”，欧洲人常称之为“帕斯卡三角形”。事实上，早在北宋时期中国数学家贾宪就在黄帝九章算法细草中讨论过，后经南宋数学家杨辉加以完善，并载入其著作详解九章算法一书中。这就是我们常说的杨辉三角形。,1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5

8、10 10 5 1 ,2020/12/31,14,帕斯卡利用这个三角形获得了从n件物品中任 取r件的组合数 ，由上图可知，三角形第五行 上的数恰好是 ，其中 是甲出现4次的组合数， 是甲出现3次 的组合数等等。因此赌金应按照 的比例分配，这与费马得到的结果是完全一致的。,2020/12/31,15,在他们之后，对概率论这一学科做出贡献的是瑞士数学家族伯努利家族的几位成员。关于概率论的后续发展，可参见课本后面的附录1。,2020/12/31,16,二、 随机试验,对随机现象，在相同条件下可重复进行的观察或试验称为随机试验，简称试验，一般用E表示。,可以是各类科学试验，也可以是对某些事物的某些特征

9、的观察。,2020/12/31,17,一些随机试验的例子,例1.1 抛掷一枚硬币，观察正面H，反面T出现的情况。 例1.2 在分别写有数字1，2，10的10张卡片中任意抽取一张卡片，观察其数字。 例1.3 投掷两枚骰子，观察朝上一面的点数。 例1.4 从一批灯泡中，任抽取一只，观察其使用寿命。,2020/12/31,18,随机试验的三个特点,在相同条件下可重复进行； 试验前由试验条件能预知试验的所有可能结果，且所有可能结果不止一个； 每次试验前不能预知会出现哪一个结果。,有时，我们也称满足以上三个特点的试验为随机试验。,注：上面的结果指的是基本结果。,2020/12/31,19,1.1.2 样

10、本空间 随机事件,随机试验E的所有可能的结果组成的集合称为E的样本空间，记为。的每个元素，即的每一个可能的结果，称为E的一个样本点或基本事件。,样本点,指的是基本结果,一、样本空间,2020/12/31,20,上面提到的各试验的样本空间为,1=H,T,2=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,3=(1,1),(1,2),(1,6),(2,1),(2,2), (2,6),(3,1),(3,2),(3,6),(4,1),(4,2), ,(4,6),(5,1),(5,2),(5,6),(6,1),(6,2), ,(6,6),4=t:t0,2020/12/31,21,二、随机事件,从本质上讲，随机

11、事件就是关于随机试验结果的命题；从集合的角度来讲，随机事件是样本空间的子集，是由一部分样本点构成的集合，随机事件简称事件，常用英文字母A，B，C，表示。一个事件发生当且仅当属于它的某一个样本点出现。,不必是基本结果,例如，在例1.2中“出现的数字是3”，“出现的数字是偶数”都是随机事件。,记为“B”, 则B=2,4,6,8,10,在一次具体的试验中，我们说B发生了当且仅当B中的样本点2，4，6，8，10中某一个出现。,2020/12/31,22,随机事件的分类,试验最直接的可能结果,由若干个基本事件(至少2个)共同在一起才能表达的结果,必然事件 不可能事件,每次试验必然发生的结果，记为,每次试

12、验必不发生的结果，记为,由满足某种条件的样本点构成的集合,2020/12/31,23,显然，样本空间是以基本事件为元素的集合，复杂事件是样本空间的至少包含两个元素的真子集，基本事件就是一个单点集，必然事件就是样本空间，不可能事件是样本空间的空子集。,从集合的角度看,2020/12/31,24,1.1.3 事件的关系及运算,设A，B，是随机试验E的事件，是E的样本空间。,1. 事件的包含关系,若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件A包含于事件B或事件B包含事件A，记作 。,例如，在例1.2中，若令 A=抽到能被4整除的号码， B=抽到偶数号码，,事实上，A=4，8，B=2，4，6，8，10。,

13、2020/12/31,25,事件的相等,若 ，则称事件A 与事件B 相等，记作A=B。,B,2020/12/31,26,2.事件的和（并）,我们称“事件A与事件B至少一个发生”的事件为事件A与事件B的和事件，记作A+B（或AB）。,例1.5 连续射击两次，观察各次中靶情况。设事件A=第一次命中，B=第二次命中，则和事件A+B=至少命中一次。,A,2020/12/31,27,两个事件和的概念可以推广到任意有限多个事件，甚至无穷可列个事件上。,2020/12/31,28,3.事件的积,我们称“事件A和事件B同时发生”的事件为事件A和事件B的积事件，记作AB或AB。,如例1.5中，事件AB=两次都命

14、中。,A,B,AB,2020/12/31,29,推广,n个事件的积事件,可列个事件的积事件,2020/12/31,30,4.事件的差,我们称“事件A发生而事件B不发生”的事件为事件A与事件B的差事件，记作A-B。,如在例1.5中，事件A-B=第一次命中而第二次未命中。,A,B,2020/12/31,31,5.事件的互斥性（互不相容性）,若每次试验中，事件A与事件B不能同时发生，即AB= 。则称事件A与事件B互斥或互不相容。,在例1.2中，若令A=抽到的号码能被3整除，B=抽到的号码能被5整除，则A与B互斥。,2020/12/31,32,6.事件的对立,若事件A与事件B互斥，且在每次试验中事件A

15、与事件B必有一个发生，即,则称事件A称为事件B的对立事件，记为 。,实例 抛掷一枚硬币， “出现花面” 与 “出现字面”是两个对立的事件。,2020/12/31,33,互斥事件与对立事件的区别,B,A、B 对立,A、B 互斥,互 斥,对 立,2020/12/31,34,8.互斥事件完备群,设 为试验E的一组事件，如果它们之中任意两个之间互斥，且每次试验中必有其中一个发生，则称这组事件形成互斥事件完备群。即,由定义可看出，互斥事件完备群构成样本空间的一个分割。特别地，随机事件的任一事件A与其对立事件 构成一个最简单的互斥事件完备群。,2020/12/31,35,1.1.4事件的运算律,注 这些运

16、算律都可以推广到有限个事件的情况，对偶律还可以推广到无穷可列多个事件的情况。,2020/12/31,36,例1.6 设A,B,C 表示三个随机事件,试将下列事件用A,B,C 表示出来。,A出现,B,C不出现; A,B出现, C不出现; 三个事件都出现; 三个事件至少有一个出现; 三个事件都不出现; 不多于一个事件出现; 不多于两个事件出现; 三个事件至少有两个出现; A, B 至少有一个出现, C 不出现; A，B，C 中恰好有两个出现。,2020/12/31,37,解,2020/12/31,38,概率论研究的一个基本任务就是给随机事件发生的可能性大小一个合理而科学的测度。,1.2事件发生的概

17、率,这也就意味着我们需要找到一个定义在一个由随机试验的所有随机事件构成的集合上的集函数使得它能科学合理的反映集合当中每个元素发生的可能性大小。,2020/12/31,39,1.2.1 古典概型中的概率定义,我们称具有下列两个特点的随机试验为古典概型：,（1）试验只有有限个可能的的基本结果;,（2）每次试验中，每个样本点出现的可能性相同。,古典概型中的概率定义，只适用于古典概型。,2020/12/31,40,例1.7 将一枚硬币抛掷3次。（1）设事件A1为恰有一次出现正面，求P(A1)。（2）设事件A2为至少有一次出现正面，求P(A2)。,解：,该实验的样本空间=HHH，HHT，HTH，THH，

18、HTT，THT，TTH，TTT。,（1）因为A1=HTT，THT，TTH，,故 P(A1)=3/8。,2020/12/31,41,例1.8,设一批产品有a件次品，b件合格品，随机从中抽取n件产品，求抽到的n件产品中正好有k件是次品的概率。,考虑如下两种情况:,（1）有放回抽取 （2）不放回抽取,记 A=抽到的n件产品正好有k件次品,2020/12/31,42,样本空间中的样本点总数为,（1）有放回抽取,概率论中称为是二项分布的概率公式,2020/12/31,43,（2）无放回抽取,概率论中称为超几何分布的概率公式,恰好取出k个次品的基本事件数,2020/12/31,44,例1.9 30只元件中

19、有27只一等品，3只二等品。随机将30只元件平均分装入三盒，求： （1）每盒有一只二等品的概率； （2）有一盒有3只二等品的概率。,解： （1）把3只二等品平均分到三个盒子有：,1,2,3,3x2x1种分法。,余下的27只应该平 均分到3个盒子中；,2020/12/31,45,第2个问题，首先从3个盒子中任选一个 出来放3只二等品，这个盒子的另7只从 余下的27个一等品中选；,2020/12/31,46,2020/12/31,47,1.2.2几何概型中的概率定义,若随机试验E的样本空间是某一有界可度量的区域（可以是一维，二维，n维空间的），此区域中每个点都是E的一个样本点，其样本点具有所谓的“

20、均匀性质”，即样本点落入中任意一子区域A的概率与A的测度（长度，面积，体积等）成正比，而与A的形状和位置无关，我们称这种随机试验为几何概率模型。,定义 设E为几何概型,A为其任意一个事件，它的样本空间的测度为()， (A)为事件A的测度，则事件A的概率为,2020/12/31,48,例1.10 随机在单位圆内掷一点M，求M点到原点距离小于1/4的概率。,1,1/4,解：,2020/12/31,49,例1.11 某货运码头仅能容一船卸货，而甲、乙两船在码头卸货时间分别为1小时和2小时，设甲、乙两船在24小时内随时可能到达，求它们中任何一船都不需要等待码头空出的概率。,解：,2020/12/31,

21、50,24,Y=x+1,Y=x-2,2020/12/31,51,2020/12/31,52,零概率事件不一定不发生,例如在0,1区间上任意取一个随机数,则这个随机数恰好等于0.5的概率是多少?,P=点(0.5)的长度/0,1区间的长度=0,2020/12/31,53,1.2.3概率的统计定义,大量实践表明：事件发生频率有波动性，但随着试验次数增加，事件发生频率会呈现某种稳定性，即频率会稳定在某个值附近摆动，且n越大摆动幅度越小。,设A是随机试验E的一个随机事件，若在n次重复试验中，事件A发生了k次，则称比值k/n为事件A在n次试验中发生的频率，记为fn(A)。,在历史上，为了验证这一点，许多学

22、者对抛硬币进行了观察，一些记录如下表所示:,2020/12/31,54,正面出现的频率,抛掷次数的增加,1/2,2020/12/31,55,容易验证，频率具有下列性质：,2020/12/31,56,概率的统计定义,设在相同条件下重复进行的n次试验, 事件A出现了k次。若随着试验次数n的增大，事件A发生的频率f（）稳定地在某一常数P附近摆动, 且n越大,摆动幅度越小, 则称P为事件A在一次试验中发生的概率, 记作P（A）。,2.以上概率的统计定义对试验没有特殊限制，适用于所有随机试验，在理论和实践上都有一定的意义。优点是易于理解，在试验次数足够大时能给出概率的近似值，也提供了一种检验理论正确与否

23、的准则；不足是粗糙、模糊和不便使用。,注,2020/12/31,57,设E是随机试验，是它的样本空间。对于每一个事件A赋予一个实数 P（A）,称为事件A 的概率，如果集合函数P（）满足以下三条：,1.2.4 概率的公理化定义,非负性,规范性,可列可加性,1933年，（前）苏联数学家柯尔莫哥落夫提出的,2020/12/31,58,1.3 概率的性质,性质1,证明：因,，由可列可叫性，,所以，,概率的有限可加性,这里的概率是公理化定义中的概率,2020/12/31,59,证明：,且,则由可列可加性，有,2020/12/31,60,性质3 设A，B是随机试验E的两个事件，且,证明：,2020/12/

24、31,61,性质4,证明：,性质5,2020/12/31,62,证明：,由图可得,又由性质3得,因此得,2020/12/31,63,加法公式可以推广到有限个事件的情况，下面给出三个事件的情况,2020/12/31,64,例1.12 A，B为两事件，已知,解：,A,AB,B,2020/12/31,65,2020/12/31,66,1.4 条件概率与事件的独立性,2020/12/31,67,1.4.1 条件概率,定义：设A，B是两个事件，且P(B)0，则称,为已知事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。,2020/12/31,68,例1.13 在有两个小孩的家庭中, 考虑其性别，已知其中一个是女孩

25、,问另一个也是女孩的概率是多少?(假定生男生女是等可能的),解法一: 考虑样本空间: 男，女），（女，女）,(女，男),记A=另一个也是女孩,则 P(A)=1/3.,解法二: 考虑样本空间: 男，男，男，女），（女，女），（女，男）,2020/12/31,69,记B=两个孩子中至少有一个是女孩，C=两个都是女孩。,则已知一个是女孩的条件下，另一个也是女孩的概率等价于已知B发生的条件下，C发生的概率。,记为P(C|B),解法二,2020/12/31,70,例1.14 袋中有7个白球和3个黑球，从中无放回地随机摸3个球，已知其中之一是黑球，试求其余两球都是白球的概率。,解：设A=取出的3个球中至少

26、有一个是黑球，B=一黑二白。 故所求事件的概率为P(BA)。,方法1.利用条件概率定义计算。此时样本空间的样本点总数为 ,事件A包含的样本点数 。,事件AB包含的样本点数 。,2020/12/31,71,方法2. 考虑已知A发生的条件下的样本空间，则,易知,条件概率具有概率的一切性质:,2020/12/31,72,例1.15 某种动物由出生算起活20岁以上的概率0.8, 活到25岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个20岁的这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是多少?,解：设A表示“一动物能活20岁以上”，B表示“一动物能活25岁以上”,则有,2020/12/31,73,5.乘法公式,202

27、0/12/31,74,抓阄是否与次序有关?,例1.16 五个阄, 其中两个阄内写着“有”字， 三个阄内不写字，五人依次抓取,问每个人抓到“有”字阄的概率是否相同?,则有,2020/12/31,75,依此类推,故抓阄与次序无关。,2020/12/31,76,1.4.2事件的独立性,先看一个例子 一个盒子中有只黑球、只白球，从中有放回地摸球。求（1）第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到黑球的概率；（2）第二次摸到黑球的概率。设A表示“第一次摸到黑球”；B表示“第二次摸到黑球”。,从结果可以看出：第一次抽到黑球并没有影响到第二次抽到黑球的概率，即在这个试验中，有P(BA)=P(B)。,容易计算得：,2

28、020/12/31,77,定义2 设A,B是任意两个事件，若P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立。,两个非零概率事件A与B相互独立的实质是： “事件A发生与事件B发生互不影响”,定理 下列四组事件相互独立性等价。,2020/12/31,78,证明：只证明,另一方面,2020/12/31,79,事件独立性的推广,有限个事件的独立性,2020/12/31,80,2020/12/31,81,例1.17 设一均匀堆成的四面体，第一面涂为红色，第二面涂为黄色，第三面涂为篮色，第四面红黄蓝三种颜色各涂一部分。旋转上抛，下落到地面后，观察接触地面面的颜色。记A1表示接触地面面有红色；A2

29、表示接触地面面有黄色；A3表示接触地面面有蓝色。试判断的独立性。,解：由题设条件与古典概率定义有,2020/12/31,82,直觉未必可信 必须深入研究,从而,但是,2020/12/31,83,例1.18 3人独立地破译一组密码，他们各自能破译密码的概率分别为1/5，1/3，1/4。试求此密码能被破译出的概率。,解：设Ai=第i个人破译出密码,i=1,2,3。,解法一：,解法二：,则密码能被破译出这一事件可表示为A1+A2+A3。,2020/12/31,84,1.5全概率公式与贝叶斯公式,例1.19 一在线计算机系统,有3条输入线,其性质如下表:,通讯线,通讯量份额,无误差的讯息份额,1,2,3,0.4,0.35,0.25,0.9998,0.9999,0.9997,(1)求一随机选择的进入讯号无误差地被 接受的概率;,2020/12/31,85,例1.19(续),解: 设事件B:“一讯号无误差地被接受”,Ai：“讯号来自于第i条通讯线”，i=1,2,3,由题意，问题转化为B=BA1+BA2+BA3，所以，,2020/12/31,86,例1.19(续),我们的思路：是把样本 空间分割成了3个不相 交的部分，这样，