基于同步的混沌系统的变初值控

1、基于同步的混沌系统变初值连续控制郑剑锋1,强浩1,单梁2（1.江苏工业学院 信息科学与工程学院，江苏 常州 ；2.南京理工大学 自动化学院，江苏 南京 ）摘 要：针对混沌系统需要重置的初值构造一个合适的稳态方程，设计非线性同步控制器，利用一个开关变量控制该同步控制器引导混沌系统与之发生同步，进行系统初值的重置，实现了混沌系统的变初值连续控制。数值仿真主要针对一个具体的混沌系统分别进行了其所有状态初值的一次和二次重置，以及对其中两个状态先后进行初值的重置，结果表明了理论推导的真确性和这一控制方法的有效性。关键词：变初值；同步；非线性反馈；重置Varied Initial Value Contin

2、uous Control of Chaotic System Based on SynchronizationZheng Jian-feng1, Qiang Hao1, ShanLiang2 (1.School of Information Science & Engineering,Jiangsu Polytechnic University,Changzhou Jiangsu ; 2.School of Automation, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing Jiangsu )Abstract: For the r

3、esetting initial value of a chaotic system, we construct a right stable system, use a switch variable to control a designed nonlinear feedback controller to make them synchronization, reset initial value of the chaotic system, and realize varied initial value continuous control of chaotic cystem. In

4、 numerical simulation, for a given chaotic system, we reset the initial values of its all variable once and twice, then reset the two variables of the system at the different time. The results all show the effectiveness of the theoretical analysis and the designed control means.Key Words: varied ini

5、tial value; synchronization; non-linear feedback; reset中图分类号:TP2731 引言(Foreword)混沌1是非线性动力学系统所特有的一种运动形式，是一种由确定性系统产生内在随机性的现象，它广泛存在于自然界的各个领域中。混沌理论是一种非线性的理论，它具有对初值敏感性、不可预测性和伪随机性等特性。近年来，对混沌的研究得到了越来越多的重视，其中利用混沌进行保密通迅尤其是对图像进行加密已经成为国内外的热点课题之一。利用混沌系统进行保密通迅，主要就是基于混沌系统的初值敏感性和伪随机性来构造非常好的信息加密系统，其中混沌系统的初值是一个很重要的参

6、数，在获得初值的情况下就相对容易破译加密信息。因此可以使混沌系统在某组初值条件下演化一段时间后重新设定初值继续演化，利用这样的混沌系统产生的信号对信息进行保密通迅无疑能提高其安全性。本文主要研究了混沌系统的变初值连续控制，根据混沌系统需要改变的初值构造相应的稳态方程2，设计非线性同步控制器3-6，在一个开关变量的控制下利用该同步控制器实现系统初值的重置，整个过程是连续的，这样就有利于在保密通讯中的应用。基金项目：中国博士后科学基金资助项目（）; 江苏省博士后科学基金资助项目（B）2 问题的描述(Description of the problem)考虑非线性混沌系统，该系统对于初值极其敏感，设

7、为其初值，在经过一段时间的演化后，希望将混沌系统的初值修改为后继续演化，而整个过程应该是连续的。利用同步的思想，以需要改变的初值构造相应的稳态方程，通过设计合适的非线性反馈控制器实现两系统的同步，从而使混沌系统的输出状态控制为需要改变的初值，然后再使混沌系统继续演化就可实现其变初值的连续控制。3 稳态引导方程的构建(Construction of steady-formula)设K=K1,K2,K3T是混沌系统期望改变的初值，构造如下稳定系统： （1）其中Z=Z1,Z2,Z3T。设计，则该系统的特征根均小于0，由微分方程的稳定性理论可知，该系统是稳定的，其中K即为该系统的稳态输出。4 非线性反

8、馈控制器的设计(Design non-linear feedback controller)以系统（1）作为引导方程，用其状态变量设计合适的非线性反馈同步控制器U=U1,U2,U3T，则得到受控的混沌系统如（2）所示： （2）定义误差信号：。设计合适的U，使得，即系统（2）和系统（1）达到全局渐进同步，从而使混沌系统的输出稳定控制为状态K，即混沌系统的输出状态为期望改变的初值。为了实现混沌系统的继续演化，可以设计一个开关变量s来控制所设计的同步控制器，则修正后的受控混沌系统如（3）所示： （3）当需要改变系统的初值时，将s设置为1，控制器U作用，使系统（3）和系统（1）发生同步，混沌系统的输出

9、状态控制为需要改变的初值，然后将s设置为0，控制器U不作用，系统以混沌的方式继续演化，实现变初值的连续控制。5 数值仿真(Numerical simulation)这里采用一个较复杂的四维自治混沌系统7，其数学模型如式（4）所示： （4）当参数a=35,b=10,c=1,d=10时，Lyaponov指数是1=3.3152,2=0.0042,3=-4.1591,4=-35.1674。此时系统是混沌的。假定期望系统(4)的在演化过程中需要改变的初值为K=K1,K2,K3T，则构建的稳定的引导方程为系统(5)所示： （5）其中。构造合适的非线性反馈控制器U=U1,U2,U3,U4T，则受控的混沌系统

10、如式(6)所示： （6）其中是设计的开关变量，可以同时为0或1，也可以是其中1个量为1，其余3个量为0，或是其他的组合，具体取值由具体的控制所决定。定义误差信号如下：。根据系统(5)和系统(6)可以得到如下误差系统（7）为： （7）设计合适的ui(i=1,2,3,4)，使混沌系统(5)和(6)达到同步，即。根据主动同步控制的思想，设计控制器如（8）所示： （8）其中vi是关于误差变量ei的控制输入信号，不妨取如下的控制输入信号：，。这样误差系统(7)的特征根为-a,-1,-c,-d,都为负数，误差系统是收敛的，系统(5)和(6)达到全局渐进同步，从而将混沌系统的输出控制在K=K1,K2,K3,

11、K4T。下面使用四阶龙格库塔法进行数值仿真，选取系统参数a=35,b=10,c=1,d=10，仿真步长为0.05，系统(5)的初始值为(4,2.5,2,3)，系统(6)的初始值为(1,-1.5,4,-3.5)，=-35,-10,-1,-10，若混沌系统演化一段时间后需要改变的初值为K=2,1,4,1.5，仿真结果如图1所示。图1 初值改变为2,1,4,1.5的状态输出曲线图2 初值再改变为4,-2,0,5的状态输出曲线若经过一段时间后需要再次重置系统的初值为K1=4,-2,0,5，则仿真结果如图2所示。当然系统在演化过程中还可以根据需要进行多次重置。以上仿真都是系统状态的初值同时发生变化，还可

12、以通过开关量控制其中一个或是两个系统状态的初值发生重置，两个状态初值的重置在时间上也可以有先有后，图3中x1的初值先重置为3，一段时间后x4的初值重置为2。图3 x1和x4初值先后重置的状态输出曲线6 结论(Conclusion)混沌系统对初值极其敏感，不同的初值得到的系统状态千差万别，在系统的演化过程中主动的进行初值的重置无疑可以构造更好的信息加密系统。本文根据混沌系统需要重置的初值构造相应的稳态方程，设计非线性同步控制器，在一个开关变量的控制下利用该同步控制器实现系统初值的重置，实现了混沌系统的变初值连续控制，仿真结果很好的说明了这一控制方法的有效性。参 考 文 献 (References

13、)1 Ott E,Grebogi C,Yorke J A. Controlling chaosJ. Phys Rev Lett,1990,64(1):1196-11992 强浩,王洪元.混沌系统和稳定系统的同步控制研究. 计算机仿真，2009,26(6):359-3623 陈保颖.线性反馈实现Liu系统的混沌同步.动力学与控制学报，2006，4(1)：1-44 Jiang G P,Tang W,Chen G R. A simple global synchronization criterion for couple chaotic systems. Chaos, Solitons and Fracals,2003,15(5):925-9355 李克,杨绿溪,何振