医科高等数学总复习.ppt

1、高等数学期末复习,考试说明,本课程的考核形式为形成性考核和期末考试相结合的方式。考核成绩由形成性考核作业成绩和期末考试成绩两部分组成，考核成绩满分为100分，60分为及格。其中形成性考核作业成绩占考核成绩的20%，期末考试成绩占考核成绩的80%。期末考试采用闭卷笔试形式，卷面满分为100分。,考核内容和考核要求,考核内容 一、二元函数微分学、一、二元函数积分学、无穷级数和常微分方程四个部分，包括函数、极限与连续、导数与微分、导数的应用、不定积分、定积分及其应用、无穷级数、常微分方程等方面的知识,高等数学期末考试,考试题型：单选题5个（约15%）、 填空题5个（约20%），计算题6个（约42%）

2、，应用题2个（23%）。 考试时间：150分钟 命题原则 不超过期末复习指导的要求，试题主要分布在第二、三、四、七、八章，占80%以上，理解占10%，掌握占90%。 考试形式 闭卷,高等数学期末复习,高等数学（1）重难点分析,第一章 函数,理解函数概念，掌握函数的两要素 ;定义域和对应关系，会判断两熟练掌握六类基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形； (2)了解复合函数概念，会对复合函数进行分解； (3)了解初等函数的概念； (4)了解分段函数概念，掌握求分段函数定义域和函数值的方法； (5)会列简单应用问题的函数关系式。,高等数学期末复习,第二章 极限与连续,了解极限的概念（数列极

3、限、函数极限、左右极限），知道数列极限的“”定义和函数极限的描述性定义，会求左右极限； 熟练掌握无穷小量的概念，了解无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系； 掌握极限的四则运算法则，掌握两个重要极限，掌握求简单极限的常用方法； 了解函数连续性的定义，了解函数在某点连续的概念，知道左连续和右连续的概念，会判断函数在某点的连续性； 了解函数间断点的概念，会求函数的间断点，会判别函数间断点的类型； 了解“初等函数在定义区间内连续”的结论，知道闭区间上的连续函数的几个性质。,高等数学期末复习,第三章 导数与微分,理解导数与微分概念（微分用 定义），了解导数的几何意义，会求曲线的切线和法线方程，知道可导

4、与连续的关系； 熟记导数与微分的基本公式，熟练掌握导数与微分的四则运算法则； 熟练掌握复合函数的求导法则； 掌握隐函数的微分法，取对数求导数的方法； 知道一阶微分形式的不变性； 了解高阶导数概念，掌握求显函数的二阶导数的方法。,高等数学期末复习,第四章 导数的应用,了解拉格朗日中值定理的条件和结论，会用拉格朗日定理证明简单的不等式； 掌握洛比塔法则，能用它求“ ”、“ ”型不定式极限； 掌握用一阶导数求函数单调区间、极值与极值点（包括判别）的方法，了解可导函数极值存在的必要条件，知道极值点与驻点的区别与联系； 了解用二阶导数求曲线凹凸（包括判别）的方法，会求曲线的拐点； 熟练掌握闭合曲线的面积

5、和旋转体积的计算； 掌握求解一些简单的实际问题中最大值和最小值的方法，以几何问题为主。,高等数学期末复习,第五章 不定积分,理解原函数与不定积分概念，了解不定积分的性质以及积分与导数（微分）的关系； 熟练掌握积分基本公式和直接积分法； 熟练掌握第一换元积分法和分部积分法； 掌握第二换元积分法。,高等数学期末复习,第六章 积分及其应用,了解定积分概念（定义、几何意义）和定积分的性质； 了解原函数存在定理，知道变上限的定积分，会求变上限定积分的导数； 熟练掌握牛顿莱布尼兹公式； 掌握定积分的换元积分法和分部积分法； 了解无穷积分收敛性概念，会判断无穷积分的收敛性或计算无穷积分； 会用定积分计算简单

6、的平面曲线围成图形的面积（直角坐标系）和绕坐标轴旋转生成的旋转体体积。,高等数学期末复习,第七章 无穷级数,了解级数收敛与发散概念及其主要性质； 了解级数收敛的必要条件； 掌握正项级数收敛性的比值判别法； 知道几何级数和 级数收敛的条件； 理解幂级数收敛半径概念，熟练掌握求收敛半径的方法； 会求收敛区间。,高等数学期末复习,第八章 常微分方程,了解微分方程，阶，解（特解、通解），线性，初值问题等概念； 掌握变量可分离微分方程的解法； 熟练掌握一阶线性方程的解法； 了解特征方程和特征根概念，熟练掌握求二阶线性常系数齐次微分方程通解的特征根法； 掌握二阶线性常系数非齐次方程（特殊自由项）的特解待定

7、系数法，能求此类方程的通解,高等数学期复习,第一章：函数,理解函数的概念；掌握函数,中符号f ( )的含义；,了解函数的两要素；会求函数的定义域及函数值；会判断两个函数是否相等,两个函数相等的充分必要条件是定义域相等且对应关系相同,了解函数的主要性质，即单调性、奇偶性、有界性和周期性,若对任意x，,有,则称为偶函数，偶函数的图形关于y轴对称,若对任意x，,有,则称为奇函数，奇函数的图形关于原点对称,熟练掌握基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形,基本初等函数指以下几种类型：,常数函数:,幂函数：,指数函数：,对数函数：,三角函数：,反三角函数：,了解复合函数、初等函数的概念，,会把一

8、个复合函数分解成较简单的函数,如函数,可以分解,分解后的函数前三个都是基本初等函数，,而第四个函数是常数函数和幂函数的乘积,会列简单的应用问题的函数关系式,高等数学1,2.基本初等函数,了解复合函数、初等函数的概念，,会分析复合函数的复合过程，,能把一个复合函数分解成几个简单函数。,(这在学习第三章导数与微分内容时要用到),如将函数,分解成,高等数学1,第2章 极限与连续,本章重点：,极限的计算,了解极限的概念，知道左右极限的概念，,知道函数在点,处存在极限的充分必要,条件是,在,处的左右极限存在且相等。,关于极限的计算，要熟练掌握以下几种常用方法：,（1）极限的四则运算法则：,运用时要注意法

9、则的条件是各个部分的极限都存在，,且分母不为0。,当所求极限不满足条件时，,常根据函数的具体情况进行分解因式,（以消去,零因子）、或无理式的有理化、或三角函数变换、,或分子分母同时除以,（分子分母同,趋于无穷大时）,等变形手段，,以使函数满足四则运算法则的条件。,（2）两个重要极限：,熟记,要注意这两个公式自变量的,变化趋势以及相应的函数表达，同时要熟悉它们的变形形式：,高等数学1,（3）利用无穷小的性质计算：,无穷小量是指极限为0 的量，有限个无穷小量之和、,积都是无穷小量，有界变量与无穷小量之和还是无穷小量。,（4）利用函数的连续性计算：连续函数在一点的极限值等于函数在该点的函数值。,（5

10、）利用洛必塔法则计算：参看第四章的有关内容。,例1：求下列极限,解,（1）,分子、分母同除以,则,高等数学1,（2）,解,首先将分母有理化，然后在利用重要极限计算,（3）,解,由于,时，有,因此,还是无穷小量，故,高等数学1,（4）,解,（5）,解,（6）,解,高等数学1,2、函数连续,理解函数在一点连续的概念，,它包括三层含义：,在,的一个邻域内有定义；,在,处存在极限；,极限值等于,在,处的函数值，,这三点缺一不可。,若函数,在,至少有一条不满足上述三条，,则函数在该点是间断的，,会求函数的间断,点。,了解函数在区间上连续的概念，,由函数在一点连续的定义，,会讨论分段函数的连续性。,知道连

11、续函数的和、差、积、商（分母不为0）仍是连续函数，,两个连续函数的复合仍为,连续函数，,初等函数在其定义域内是连续函数。,知道闭区间上连续函数的性质（最大最,小值存在定理、零点定理、介值定理）。,例2,讨论函数,在,处的连续性。,高等数学1,解,的定义域为,由于,在,点处的左右极限不相等，,故极限不存在，,因此函数,在,点间断。,第三章：导数与微分,高等数学1,理解导数的概念；,了解导数的几何意义；,会求曲线的切线和法线；,会用定义计算简单函数的导数；,知道可导与连续的关系。,高等数学1,在点,处可导是指极限,存在，且该点处的导数就是这个极限。导数极限还可写成,在点,处的导数,的几何意义是曲线

12、,上点,处的切线斜率,曲线,在点,处的切线方程为,高等数学1,函数,在,点可导，则在,点连续。反之函数,在,点连续，在,点不一定可导。,了解微分的概念；知道一阶微分形式不变性。,熟记导数与微分的基本公式；熟练掌握导数与微分的四则运算法则。,微分四则运算法则与导数四则运算法则类似,熟练掌握复合函数的求导法则。,高等数学1,掌握隐函数求导法，取对数求导法，参数表示的函数的求导法。,一般当函数表达式中有乘除关系或根式时，求导时采用取对数求导法，如,求,直接求导比较麻烦，采用取对数求导法，将上式两端取对数得,两端求导得,整理后便可得,高等数学1,若函数由参数方程,的形式给出，则有导数公式,了解高阶导数

13、的概念；会求函数的二阶导数。,高等数学1,第4章：导数的应用,了解拉格朗日中值定理的条件和结论；会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式,掌握洛必塔法则，会用它求,“,”、“,”型不定式的极限，以及简单的“,”、“,”型不定式的极限。,掌握用一阶导数判别函数增减性的方法；会求函数的单调区间。,若在区间,上有,，则,在区间,上单调增加；,若在区间,上有,，则,在区间,上单调减少。,高等数学1,了解极值和极值点的概念；熟练掌握求极值的方法；了解可导函数极值存在的必要条件；知道极值点与驻点的区别与联系。,在点,满足,，那么,若,在点,的左右由正变负（或,），则点,是,的极大值点；,若,是,在点,的左右由

14、负变正,（或,），则点,的极小值点。,极值点如果可导则一定是驻点；驻点的两边导数如果变号则一定是极值点。,了解曲线凹凸的概念；掌握用二阶导数判别曲线凹凸的方法；会求曲线的拐点。,若在区间,上有,，则,在区间,上是凹函数；,若在区间,上有,，则,在区间,上是凸函数。,高等数学1,会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线。,若,，则,是曲线,的水平渐进线；,若,，则,是曲线,的垂直渐进线。,熟练掌握求解一些简单的实际应用问题中最大值和最小值的方法，以几何问题为主。,求,在区间,上的最大值的方法是：找出,的所有驻点，,找出,的所有不可导点，,将所有这些点的函数值与两个端点的函数值,一起比较大小，最大者为最大

15、值，相应的点为最大值点。,求最小值的方法类似。,高等数学1,综合练习,一、填空题,函数,的单调增加区间是。,解：,当,时,故函数的单调增加区间是,曲线,的凸区间是。,解：,当,时,故函数的凸区间是,高等数学1,二、单项选择题,函数,在区间,内满足（）。,A.单调上升；,B.先单调下降再单调上升；,C.先单调上升再单调下降；,D.单调下降,解：,令,得,在,点的左右有负变正，,即函数先单调下降再单调上升。故选项B正确,曲线,的垂直渐近线是（）。,A.,B.,C.,D.,解：,当,时,垂直渐进线是,故选项D正确,高等数学1,3下列等式中正确的是（）,A.,B.,C.,D.,解：,按微分法则进行运算

16、得,故选项A正确。,高等数学1,三、计算题,计算下列函数的导数或微分：,设,求,解：,由导数四则运算法则和复合函数求导法则,由此得,设函数,由方程,确定，,求,解：,方法一：,等式两端对,求导得,高等数学1,整理得,方法二：,由一阶微分形式不变性和微分法则，原式两端求微分得,左端,右端,由此得,整理得,高等数学1,设函数,由参数方程,确定，,求,解：,由参数求导法,高等数学1,求下列函数的二阶导数：,解：,解：,高等数学1,第4章：导数的应用,了解拉格朗日中值定理的条件和结论；会用拉格朗日中值定理证明简单 的不等式。,掌握洛必塔法则，,会用它求,型不定式的极限，,以及简单的,、,型不定式的极限

17、。,掌握用一阶导数判别函数增减性的方法；会求函数的单调区间。,若在区间,上有,，则,在区间,上单调增加；,若在区间,上有,，则,在区间,上单调减少。,了解极值和极值点的概念；熟练掌握求极值的方法；了解可导函数极值,存在的必要条件；知道极值点与驻点的区别与联系。,高等数学1,在点,满足,那么,若,在点,的左右由正变负（或,），,则点,是,的极大值点；,若,在点,的左右由负变正（或,），,则点,是,的极小值点。,极值点如果可导则一定是驻点；驻点的两边导数如果变号则一定是极值点。,了解曲线凹凸的概念；掌握用二阶导数判别曲线凹凸的方法；会求曲线的拐点。,若在区间,上有,则,在区间,上是凹函数；,若在区

18、间,上有,则,在区间,上是凸函数。,高等数学1,会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线。,若,则,是曲线,的水平渐进线；,若,则,是曲线,的垂直渐进线,。,熟练掌握求解一些简单的实际应用问题中最大值和最小值的方法，,求,在区间,上的最大值的方法是：,找出,的所有驻点，,找出,的所有不可导点，,将所有这些点的函数值与两个端点的函数值,一起比较大小，,最大者为最大值，,相应的点为最大值点。,求最小值的方法类似,高等数学1,综合练习,一、填空题,函数,的单调增加区间是。,解：,当,时,。,故函数的单调增加区间是,曲线,的凸区间是。,解：,当,时,故函数的凸区间是,二、单项选择题,函数,在区间,内满足（）。

19、,A.单调上升；,B.先单调下降再单调上升；,C.先单调上升再单调下降；,D.单调下降,高等数学1,解：,令,得,。,在,点的左右有负变正，,即函数先单调下降再单调上升。故选项B正确,曲线,的垂直渐近线是（）。,解：,当,时,垂直渐进线是,。故选项D正确,3下列结论中，（）是正确的。,A.函数的极值点一定是驻点；,B. 函数的驻点一定是极值点；,C. 函数在极值点一定连续；,D. 函数的极值点不一定可导,解：,函数的极值点不一定是驻点；,函数的驻点不一定是极值点；,函数在极值点,不一定连续；,在,取极小值但不可导，,故选项D正确,高等数学1,应用题,圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l，,问

20、当底半径与高分别为多少时，,圆柱体的体积最大？,解：,如图所示，,圆柱体高,与底半径,满足,圆柱体的体积公式为,将,代入得,求导得,令,得,并由此解出,即当底半径,高,时，,圆柱体的体积最大。,高等数学1,求曲线,上的点，,使其到点,的距离最短。,解：,曲线,上的点到点,的距离公式为,与,在同一点取到最大值，,为计算方便求,的最大值点，,将,代入得,求导得,令,得,并由此解出,即曲线,上的点,和点,到点,的距离最短,高等数学1,关于积分概念的理解和积分计算问题分析,一、原函数与不定积分,已知函数,在某区间上有定义，,如果存在函数,，,使得在该区间上的任一点处，,都有关系式,成立，,则称函数,是

21、函数,在该区间上的一个原函数。,设函数,是函数,的一个原函数，,则,的全体原函数,(C为任意常数)，,称为,的不定积分。,记为：,性质：,（1）,（2）,高等数学1,二、不定积分的基本公式及运算性质,高等数学1,三、换元积分法,已知,则,_凑微分法,高等数学1,_第二换元积分分法,高等数学1,_分部积分法,高等数学1,四、曲边梯形的面积与定积分,定积分的性质,高等数学1,高等数学1,连续函数原函数存在定理,若,在a,b上连续，,则函数,在a,b上可积，,且,，,即,是,在a,b上的一个原函数。,微积分基本定理,设,在a,b上连续，,是,的任一原函数，,则,高等数学1,高等数学1,换元积分法和分

22、部积分法,1换元积分法,设,在,上连续，,且,在,连续可导，则,应用该方法要注意换积分限的正确性。,分被积函数含：一次根式、二次根式、指数、对数的情况讲解等。,奇偶连续函数在闭区间上积分的特征。,高等数学1,高等数学1,2分部积分法,设,在区间,上连续可导，,则,分被积函数为：,多项式三角函数、,多项式指数、,多项式对数、,含绝对值,符号等讲解。,高等数学1,第7章：级数,了解无穷级数的部分和、,收敛和发散的概念；,知道级数的主要性质，,特别是级数收敛的必要条件。,级数的主要性质：,若,和,收敛，,则,收敛，,且,若,收敛，,为常数，,则,收敛，,且,级数收敛的必要条件：,若,收敛，,则,掌握

23、正项级数收敛的比值判别法和判别交错级数收敛的莱布尼茨判别法。,熟悉几何级数和p级数的收敛性：,高等数学1,几何级数,当,时收敛，,当,时发散。,p级数,当,时收敛，,当,时发散。,了解幂级数的收敛点、发散点、收敛区间和收敛域的概念；,能熟练地求幂级数,的收敛半径；,会求幂级数的收敛区间和收敛域。,知道函数的泰勒级数和马克劳林级数，,记住,和,的马克劳林级数。,另外还应熟悉正项级数的比较判别法，,即设两个正项级数,和,满足,那么有,若,收敛，,则,收敛；,若,发散，,则,发散。,高等数学1,二、单项选择题,下列级数中，（）收敛,A.,B.,C.,D.,解：,由,级数的收敛性可知,A, B选项中的

24、级数发散；,C选项中的级数一般项,不趋于0，,由收敛的必要条件知其发散；,满足莱布尼茨判别法的条件，,所以收,敛，,故选项D,级数,的和是（）,A.,B. 2；,C.,D. 1,高等数学1,解：由级数的性质可得,故选项A正确,3若,则,（）,A.,B.,C.,D.,解：,由此得,即,故选项A正确,三、计算题,高等数学1,判断下列级数的收敛性：,解：,因为,，由,级数的收敛性可知,收敛,题给级数是莱布尼茨型级数，,单调下降且,由莱布尼茨判别法可知,收敛,高等数学1,求幂级数,的收敛半径；,解：,设,原级数写为,由此可知幂级数,的收敛半径为4，,所以题给幂级数的收敛半径为2,高等数学1,2.求幂级数,的收敛域,解：,由,由此可知题给幂级数的收敛半径为3，,收敛区间为,当,时，,级数,收敛，,当,时，,