一类双险种风险模型的Gerber-Shiu罚金函数

1、一类双险种风险模型的Gerber-Shiu罚金函数乔克林，侯致武(延安大学 数学与计算机科学学院,陕西 延安 )摘 要：研究了一类常利率下保费及保费收取时间为随机的且可能有两类索赔发生的特殊双险种风险模型.给出了该模型下联系破产前瞬间盈余和破产时赤字的破产时刻罚金折现期望函数所满足的积分方程，并且在特殊情况下得到了一些描述保险公司破产的精算指标的积分方程，从而更加精确地描述了风险投资商实际的经营状况.关键词：风险模型;常利率;折现罚金函数;积分方程中图分类号：O211.62 文献标识码：A保险风险理论是概率论与数理统计应用研究的一个重要分支，主要借助概率论与随机过程理论来构造保险经营中的盈余风

2、险模型，着重分析和研究与保险公司资产盈余等精算指标相关的概率统计规律(如破产概率、调节系数、Lundberg不等式和破产时赤字等)，为保险公司的长期稳定经营提供理论依据.随着保险事业的发展，风险模型更加复杂，许多学者在经典风险模型的基础上做了不同程度的推广，建立了许多新的风险模型，从而更加符合保险公司的实际经营.文献1考虑了利率和保费随机收取但保费为常数的单险种风险模型；文献2研究了常利率下两险种风险模型，但保费及其收取时刻都是固定的，简化了实际中的保费及保费收取过程，在实际应用中有一定的局限性；文献3考虑了常利率下多险种风险模型，但其保费及保费收取都是固定的；文献4得到了风险问题中破产前瞬间

3、余额分布的级数展开式和积分方程，但保费固定而且借助了转移概率；我们在文献5中综合考虑了利率因素、保费率不固定和双险种的特殊风险模型,并且研究了其破产概率、生存概率和破产概率上界等常见精算量；文献6和7研究了作为破产前瞬间盈余与破产时赤字的二元函数的罚金折现期望值，并得到一些重要的结果；文献8和9讨论了常利力下保费及保费收取时间线性的风险模型，并得到了破产时刻罚金折现期望的积分-微分方程.本文在文献5的基础上，将其模型一般化，接着讨论了该模型的另一个精算指标，即联系破产前瞬间盈余和破产时赤字的罚金折现期望函数所满足的积分方程，并且在特殊情况下得到了一些描述保险公司破产的精算量的积分方程.1 模型

4、介绍以下所涉及的随机过程和随机变量都定义在同一个完备的概率空间上，假定：(1)表示第个保单到达的时间(其中)，表示保单到达的时间间隔序列，则到时刻为止保单的总份数为，分布函数记为.表示保费额序列，与均为独立同分布的非负随机变量序列且彼此相互独立，其分布函数分别记为和；(2)表示第次索赔发生的时间(其中)，表示索赔发生的时间间隔序列，分布函数为，且、，则到时刻为止理赔的总次数为；(3)当保险索赔发生时，假设以下三类索赔事件有且仅有一类将发生：只发生第一类险种的索赔； 基金项目：陕西省教育厅自然科学基金（2010JK914）.作者简介：乔克林(1964-),男,陕西佳县人,副教授,硕士,主要从事金

5、融数学与应用概率统计的研究.只发生第二类险种的索赔；两类索赔都发生.以上三类事件发生的概率分别为、，显然.设第一类险种的索赔额，服从分布函数；第二类险种的索赔额，服从分布函数；第三类事件的索赔额应服从分布函数，且、是相互独立的.设为保险的第次理赔额，其中为随机变量，表示第类事件发生，而且对于每次索赔有且仅有一个，它发生的概率为.表示第类险种在第次索赔时的索赔额()，且它们相互独立. 用表示任意的，由全概率公式知的分布函数为:，在不考虑各随机量具体分布的情况下，本问题中也可把索赔额笼统的记为，其分布函数为；(4)、和相互独立，且与、相互独立.初始资本为，连续复利利率，且满足以上条件的风险模型可以

6、表示为： (1)模型(1)在时刻盈余可以表示为： (2)2 Gerber-Shiu期望折现函数罚金折现期望函数是Gerber和Shiu(1998)提出来的，此函数一提出来就有着不同凡响的威力，它是一种数学工具，利用它可以一并得到破产概率、破产时赤字和破产前瞬间盈余等一系列精算量.因此，对这个函数的研究在风险理论中占据了重要的地位.记(若集合为空集，则)为模型(1)的破产时刻；设破产前的瞬间盈余为,破产时的赤字为，则Gerber-Shiu期望折现函数为 (3)其中：，是非负常数，是折现因子；是示性函数(若发生，则，否则)；是一个非负有界函数（），其表示破产发生时的某种罚金.定理 破产时罚金折现期

7、望满足如下积分微分方程： (4)其中：证明 由重期望公式和(3)式得由于第一次理赔后的盈余为，而且当时，破产不发生，为时刻的罚金函数，则时刻的罚金函数为；当时，破产发生，且，.所以，由连续场合的累进均值法则可知： 故(4)式成立.证毕.在上述定理中我们获得了模型(1)的Gerber-Shiu期望折现函数，现在我们把此结果应用到一些具体的风险量.推论1 设，则为保险公司的破产概率，根据以上定理，破产概率满足如下关系： 推论2 令，则为破产时刻的Laplance变换，由上述定理得：推论3 令，则为破产时赤字的分布函数，利用上述定理得： 推论4 令，则为破产前瞬间盈余的分布函数，利用上述定理得：推论

8、5 若取和，则为破产前瞬间盈余和破产时赤字的联合分布函数，根据上述定理，这个函数满足如下关系：上述部分推论我们在以前的几篇文章中利用递归方法已详细证明.本文运用Gerber-Shiu罚金折现期望函数也得出了相同的结论，并且还能够得到一些我们所关心的描述破产的其它精算指标，例如：分别令、可以得到破产时赤字和破产前瞬间盈余的阶矩等.相比之下，原来的方法比较烦琐，而利用Gerber-Shiu罚金函数解决各种风险模型的精算量的分布问题，简洁明了.因此，Gerber-Shiu罚金折现期望函数在研究风险模型的破产问题中占有着重要地位.参考文献1 徐娜,赵明清.考虑利率和保费随机收取的风险模型J.统计与决策

9、,2008,(12):3334.2 杨善兵,司健东.常利率下两险种的风险模型的破产概率J.安徽大学学报:自然科学版,2006,30(1):710.3 陈畅,刘再明.几类特殊双险种更新风险模型的研究D.湖南:中南大学数学系,2007. 4 吴荣,杜勇宏.常利率下的更新风险模型J.工程数学学报,2002,19(1):4654.5 李粉香,乔克林,任芳玲.带利息力的特殊双险种风险模型的进一步研究J.延安大学学报(自然科学版),2009,28(4):1013.6 Gerber,H.U.,Shiu,E.S.W.On the time value of ruinJNorth American Actuar

10、ial Journal,1998,2(1):4878.7 Gerber,H.U.,Shiu,E.S.W.The joint distribution of the time of ruin,the surplus immediately before ruin,and the deficit at ruinJ.Insurance:Mathematics and Economics,1997,21:129137.8 Nie Gaoqin,Liu Cihua,Xu Lixia.The Excepted Discounted Penalty Function of Cox Risk Process

11、with a Constant Interest RateJ. MATHEMATICA APPLICATA,2005,18(4):567572.9 王后春,杜雪樵.初论一类风险模型下的破产时刻罚金折现期望J.大学数学,2010,26(1):110114.10 刘明亮,邓庆彪.利息理论及其应用M.中国金融出版社,2007.The Gerber-Shiu Penalty Function in a Kind of Risk Model with Double-type InsuranceQIAO Ke-lin, HOU Zhi-wu (College of Mathematics and Comp

12、uter Science, Yanan University, Yanan, Shaanxi , P.R.China)Abstract: In this paper,a kind of special double-type insurance risk model was studied,on the condition of constant interest rate,random premium, random arrival time of premium and two kinds of claims may occur.Under the model,the integral e

13、quation by the expected discounted penalty function was given to contact the surplus immediately before ruin and the deficit at ruin.And in special cases, some described insurance companies bankruptcy actuarial indicators of the integral equation are obtained.Which is more accurately describe the actual business venture operating conditions.Keywords: risk model; interest rate; the expected discount