第四章-第五章习题解答

1、1,对于导体就是给定导体表面电荷的分布。这是因为导体表面的面电荷密度,静电场的边值问题是指在给定的边界条件下，求泊松方程或拉普拉斯方程的解，可分为三类： 第一类边值问题：给定整个场域边界面上的电位 .,242 静电场的边值问题,2第二类边值问题：给定边界面上电位的法线导数,，,3第三类边值问题(混合边值问题)：一部分边界上给定边界面上的电位 ，另一部分边界上给定边界面上电位的法线导数,（对于导体就是给定导体表面电荷的分布）。,2,表4. 2 静电场、恒定电场、恒定磁场边界上的衔接条件,2.不同介质分界面上的边界条件 静电场、恒定电场、恒定磁场的边界条件也很相似，包括衔接边界条件和极限边界条件。

2、 衔接边界条件：静电场、恒定电场、恒定磁场的边界面上满足的衔接条件如表4. 2所示。,极限边界条件：需要根据具体问题分析得到。例如 电荷（或电流）分布在有限区域内， r时，0； 在均匀外电场中r时， 一般正比于1r，r0时，应当是有限值等。,3,42 直角坐标系中的分离变量法, 直角坐标系中的分离变量法 在直角坐标系中，电位的拉普拉斯方程为,，将其代入（4.1）式，得,由（4.6）式可以看出，,中必然有正有负，,即,中有实数，也有虚数。,对于二维场，其中一个为0 （设,kx0）,，则ky、kz一个为实数，一个为虚数。（4.3） （4.5）,式形式上相同，解的形式也相同,下面讨论（4.3）式的解

3、。,4,2、若kx为虚数（,1、若kx为实数（ ），（4.3）式的解为:,，设,）,（4.3）式的解为,有限区域更合适,无限区域更合适,有限区域更合适,（4.3）式的解是双曲函数，还是指数函数，要由边界条件确定,如果x0时，0,（4.3）式的解就是双曲函数；如果x时，0，（4.3）式的解就是指数函数。,5,双曲函数曲线和指数函数曲线如图4.1、4.2所示。,图4. 1双曲函数曲线,图4.2指数函数曲线,可以看出，若kx为实数，（4.3）式的解是周期函数；若kx为虚数，（4.3）式的解是单调函数。 g（y）、h（z）的解形式上与f（x）相同，即形式上与(4.7）（4.9）式相同。根据具体问题的边

4、界条件，确定f（x）、g（y）、h（z）的解的形式（单调函数即为（4.8 式或（4.9）式，周期函数即为（4.7）式），电位函数的通解则为：,6,1、图题41表示一长方形截面的导体槽，可以视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，盖板的电位为 ，求槽内的电位函数。 解：边界条件为 由边界条件（1）、（2）式(周期函数)得 由边界条件（3）式得,图题41,二维：,7,通解为 由边界条件（4）式,比较系数,所以,8,3、如图题43所示的导体槽，底面保持电位U，其余两面电位为零，求槽内电位的解。 解：这是一个二维边值问题，边界条件为 由边界条件（1）、（2）式可得 由边界条件（3）式可得

5、,图题43,通解为,（5）,9,由边界条件（4）式可得 所以 计算可得 代入（5）式可得,10,431 圆柱坐标系中二维场的分离变量法 圆形区域中的二维场，场的分布与z无关，例如无限长圆柱 形区域内的场，如图4.5所示。拉普拉斯方程可以写为,43 圆柱坐标中的分离变量法,通解为,11,4、在均匀电场 中垂直于电场方向放置一导体圆柱，半径为a。求圆柱外的电位函数和导体表面的感应电荷密度。 解：通解 边界条件为 由对称性， 是偶函数，所以An0。由边界条件（1） 比较系数， 所以 由边界条件（2）式,12,圆柱外的电位函数为 场强的分布为 导体表面的感应电荷密度,13,化简通解： 场分布对称于x轴

6、， 是偶函数，可得 ，所以 ra （7）,5、介电常数为的无限大介质中外加均匀电场 ，在介质中沿z轴方向开一个半径为a的圆柱形空腔，求空腔内、外的电位。 解：通解为 （1） （2） 边界条件：电位参考点选在坐标原点，,（3） （4） （5） （6）,14,ra （8） 由边界条件（4）可化简（7）式 （9） 由边界条件（3）得 （10） 由边界条件（5）得 （11） （9）式和（11）式为最简形式，由边界条件（5），（6）可以确定函数,15,代入（9）式和（11）式可得,16,44 球坐标系中的分离变量法,在球坐标系中只讨论轴对称场（场的分布与无关），如图4.14所示，拉普拉斯方程为,通解,下

7、面是前面几阶勒让德多项式,17,比较系数可得： A00，B0=0,A1rE0 r，所以A1E0；m1时，Am0，Bm0，则：,9、无限大介质中外加均匀电场 ，在介质中有一半径为a的球形空腔，求空腔中的E和空腔表面的极化电荷密度（介质的介电常数为 ）。 解：通解为 边界条件： 由边界条件（1）式,m1时，将上式展开，并将 代入得,18,由边界条件（2）式 （6） 由边界条件（3）式 比较系数可得 （7） 所以,19,由边界条件（4）式 （8） 由（7）式、（8）式可以解出 所以空腔内 空腔外 空腔表面的极化电荷密度为,20,可以解出A1E0；m1时，Am0，Bm0，所以,先计算 ，通解为 边界条

8、件：ra处，10 （1） r， （2）,11、在均匀电场 中放入半径为a的导体球，设： 导体球充电至 ； 导体球带电Q；试分别计算这两种情形下球外的电位分布。 解：把充电至 理解为放入前导体球对无限远点的电位为 。用叠加原理计算。把电位 分解为：不带电球在 中的电位 ，即 与感应电荷的场的合成场；另一个为孤立带电球的电位 。,图题411,m1时，将上式展开，并将 代入得,由边界条件（2），,21,由边界条件（1），可得 ，故 为 （3） 孤立带电球的电位，以无限远为参考点时，为 （给定电量） （4） （给定电位） （5） 这两个场叠加，仍保持导体球为等位面。不管参考点怎么选择，电场强度 ， 总

9、是可以叠加的。只要参考点相同，电位也可以叠加。为此，把 的参考点改取为 （与 相同），则,（6）,22,于是得给定电量时 （7） 给定电位时 （8） 计算完成后之后，（7）、（8）式的常数项可以丢掉，这无非是重新选定参考点。,23,45 镜像法,451 点电荷对无限大导体平面的镜像,对于无限大导体平面，镜像电荷的大小为 qq,镜像电荷的位置 hh,导体板下方的电场是假想的，导体板上方的电力线是q与感应电荷之间的电力线。,可以求出导体板上感应电荷的分布：,导体板上总的感应电荷为,24,由两个半无限大接地导体平面形成角形边界,当其夹角 为整数时，该角域中的点电荷将有(2n1)个镜像电荷，该角域中的

10、场可以用镜像法求解.,点电荷对半无限大接地导体角域的镜像:,当n=2时：,该角域外有3个镜像电荷q1、 q2和q3 ，位置如图所示。其中,当n=3时：,角域外有5个镜像电荷，,角域夹角为/n，n为整数时，有(2n1)个镜像电荷. n不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像法就不再适用了；当角域夹角为钝角时，镜像法亦不适用。,25,452 点电荷对介质平面的镜象,设上半空间Z0和下半空间Z0的电位分别是1、2，,满足在z0界面上的边界条件为,26,空气中一根通有电流I 的直导线平行于铁板平面，与铁板表面距离为h，如图4. 24所示。设铁的磁导率可视为无穷大，求空气中的磁场。,磁场的切向分量为0，磁场

11、H1垂直于铁板的表面，这就是铁板表面的边界条件。 用镜像法求解这个问题，设想用镜像电流代替磁化电流的作用，并在界面上保持原有边界条件不变，设镜像电流 II，方向也相同，位于原来电流的镜像位置处，如图4.24所示，很容易验证I与I在铁板表面任一点处产生的合磁场与铁板表面垂直，满足边界条件。所以可以用I代替铁板表面所有磁化电流的影响,计算上半空间的磁场。,453 电流对铁板平面的镜像,BH,首先讨论铁板表面的边界条件，由于铁的磁导率可视为无穷大，铁板内的磁场H20（否则B2），利用磁场的边界条件可得H1tH2t0，即铁板表面处（空气一侧）,27,453 点电荷对导体球的镜像,镜象电荷的位置,接地导

12、体球镜象电荷,在球心位置放置第二个镜像电荷,如果导体球不接地，原来也不带电，,28,镜象电荷q1的位置,镜象电荷q1的大小：,图4.27 点电荷在接地的导体球形空腔内,可以看出，把点电荷q1放在导体球外d1处，镜像电荷在导体球内d2处；把点电荷q2放在导体球面内d2处，镜像电荷在导体球外d1处，总是满足条件d1d2a2，q1与q2的位置互为反演点（对球心）。,如果把一点电荷q2放在接地的导体球形空腔内，距球心d2处，求空腔内电场，如图4.27所示。,29,454 电轴法,电轴法适用于求解各种两平行长直导体圆柱间的电场，即各种类型的传输线周围的电场，如图4.32所示。,1线电荷对圆柱面的镜像,镜

13、像电荷的大小和位置,圆柱外任一点的电位为,等位面方程,这是xy平面上的圆方程，圆心坐标,和圆的半径,都随着k的取值变化,给定一个k，有一对等位面（圆柱面），由此可以绘出等位面的分布，如图4.35所示。,30,2电轴法 计算两导体圆柱周围的电场时，两导体圆柱的表面可以看作是l1和l2（l1）产生的两个等位圆柱面（图4.35中有无数多个等位圆柱面，改变b，又可以得到无数多个等位圆柱面，所以总能找到两个等位圆柱面与两导体圆柱的表面重合）；两导体圆柱上的电荷用两线电荷l1、l2（l1）代替，由l1计算任一点处的、E。 所在的位置互为镜象，称为等效电轴，所以这种方法称为电轴法。,31,15、一点电荷q放

14、在成60的导体角内的 点，如图所示。 求出所有镜象电荷的位置和大小， 求点 的电位。 解：这是一个多重镜像的问题。所有相交成 ( )的两个导体平面间的场都可以用镜像法来求解。其像电荷有 ( )个，皆位于以点电荷的矢径为半径的圆上，其位置可用复平面上复数表示法（ ），即用 表示，像电荷的正负，由成像规律确定。,图题415, 像电荷的位置和大小：,32, 点的电位为,33,17、在 的下半空间是介电常数为 的电介质，上半空间是空气 ，在距离介质平面 处有一点电荷 ，求介质表面上的极化电荷密度，并证明表面上极化电荷总量等于镜象电荷q。 解：由4.5.2节的讨论，下半空间介质中的场由点电荷 和镜像 电

15、荷 计算，介质中场强的法向分量为,源点到观察点的距离,介质交界面处,其中,34,介质表面的极化电荷密度为 介质表面总的极化电荷,35,19、两点电荷（Q）和（Q）位于一个半径a的导电球直径的延长线上，分别距球心D和（D）。 证明：镜像电荷构成一偶极子，位于球心，偶极矩 ； 令D和Q分别趋于无穷，同时保持Q/D2不变，计算球外的电场。 解： 镜像电荷 ， ； ，偶极矩, 球外电场可以看作是由Q产生的电场与电偶极矩p产生的电场的叠加。当D时，Q在导体球附近产生的电场近似均匀场，可以用球心处的场表示,（,不变）,源点到观察点的距离,36,电位的表达式为 电偶极矩在球外产生的电位 所以球外的电位为,与

16、“在均匀电场中放入导体球”后球外的电位分布一致。,图419,37,球面上的电场只有 分量，所以,20、真空中一点电荷 ，放在半径为a5cm的不接地导体球壳外，距球心为d15cm。求： 球面上的电场强度何处最大，其数值是多少？ 若将球壳接地，情况如何？ 解： 球壳不接地，镜像电荷为 ； 球外的电位为,38,由,可知，球面上电场强度的极大值在 或 处。由于,所以球面上的电场强度最大值在 处，其值为,39, 导体球面接地时，镜像电荷为 ， ，球面上的电场强度最大值仍在 处，其值为,40,解：大地电位为0，边界条件为：y0时, 。设导线的线电荷密度为 ，电轴的位置：yb，取镜像电荷的位置：yb，大小为

17、 ：。则边界面(地面)上任一点的电位 : 即满足边界条件。导线表面的电位（A点）： ， 导线对地电容,两条电荷线密度为 的长直线电荷产生的电位为,，,21、一与地面平行架设的圆截面导线，半径为a，悬挂高度为h(a)。证明：导线与地间单位长度的电容为,一条电荷线密度为 的长直线电荷产生的电位为,其中r0与参考点的选取有关。,41,22、上题中设导线与地间的电压为U，证明：地对导线单位长度的作用力为 （提示：利用虚位移法） 解：利用虚位移原理,42,一与地面平行架设的圆截面导线，半径为，悬挂高度为。证明：导线与地间单位长度上的电容,证：参见题4.40图。对于本题参考点是地面，所以圆导线与地面之间的电压 等于圆导线电位1，即：,故,题4.40图,43,第五章,2、一圆柱形电容器，内导体半径和外导体