高中数学 第一章 不等关系与基本不等式测评 北师大版选修4-5

1、第一章不等关系与基本不等式测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知0,给出下列不等式:a+b|b|;a2.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:由已知得ba0,所以a+bab,|a|0,从而2,因此正确.答案:B2.若aR,且p=,q=a2-a+1,则有()A.pqB.pqC.pqD.p0,q0,且=(a2-a+1)(a2+a+1)=a4+a2+11,因此qp.答案:C3.对于xR,不等式|x+10|-|x-2|8的解集为()A.0,+)B.(0,2)C.0,2)D.(0,+)答案:A4.下列函数中,最小值为2的是()A

2、.y=x+B.y=x2-2x+4C.y=x2+D.y=解析:在函数y=x2+中,x20,所以y=x2+2=2,当且仅当x=1时函数取最小值2.答案:C5.若不等式|ax+2|4的解集为(-1,3),则实数a等于()A.8B.2C.-4D.-2解析:由-4ax+24,得-6ax0,则f(a1)+f(a3)+f(a5)的值()A.恒为正数B.恒为负数C.恒为0D.可正可负解析:因为f(x)是R上的增函数且为奇函数,a30,所以f(a3)f(0)=0.又a1+a5=2a3,所以a1+a50,则a1-a5,于是f(a1)f(-a5),即f(a1)-f(a5),所以f(a1)+f(a5)0,所以f(a1

3、)+f(a3)+f(a5)0.答案:A7.已知f(x)=2x+3(xR),若|f(x)-1|a的必要条件是|x+1|0),则a,b之间的关系是()A.bB.b解析:由|f(x)-1|a可得x,由|x+1|b可得-b-1xb-1,由题意可得解得b.答案:A8.若x(0,),则y=sincos2的最大值等于()A.B.C.D.解析:y2=sin2cos42sin2cos2cos2,当且仅当2sin2=cos2,x(0,)时等号成立.所以y,故所求最大值为.答案:B9.若|x-1|3,|y+2|1,则|2x+3y|的取值范围是()A.(-,5)B.(-,13)C.(-,9)D.(-,4)解析:|2x

4、+3y|=|2(x-1)+3(y+2)-4|2|x-1|+3|y+2|+|-4|6+3+4=13.答案:B10.若不等式x2|x-1|+a的解集是区间(-3,3)的子集,则实数a的取值范围是()A.(-,7)B.(-,7C.(-,5)D.(-,5解析:不等式x2|x-1|+a等价为x2-|x-1|-a0.设f(x)=x2-|x-1|-a,若不等式x20时,2=1,当x0,y0,且xy-(x+y)=1,则()A.x+y2(+1)B.xy+1C.x+y(+1)2D.xy+1解析:由xy-(x+y)=1可得xy=1+x+y1+2,即()2-2-10,所以+1,则xy(+1)2,排除B和D;又xy=x

5、+y+1,解得x+y2(+1).故选A.答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若x-2,且x0,则的取值范围是.解析:因为x-2,且x0,所以当x0时有0;当-2x0时有-,综上可知,的取值范围是(0,+).答案:(0,+)14.某同学准备用反证法证明如下一个问题:函数f(x)在0,1上有意义,且f(0)=f(1),如果对于不同的x1,x20,1,都有|f(x1)-f(x2)|x1-x2|,求证:|f(x1)-f(x2)|.那么它的假设应该是.解析:“|f(x1)-f(x2)|”的否定是|f(x1)-f(x2)|.答案:|f(x1)-f(x2)|15.若不等式|x+1

6、|+|x-3|a+对任意的实数x恒成立,则实数a的取值范围是.解析:由绝对值不等式的意义可得a+4,所以0,解得a的取值范围为(-,0)2.答案:(-,0)216.“蛟龙号”载人深潜器是我国首台自主设计、自主集成研制的作业型深海载人潜水器.设计最大下潜深度为7 000米级.6月24日,“蛟龙号”载人潜水器7 000米海试在西太平洋马里亚纳海沟进行了第四次下潜试验.“蛟龙号”如果按照预计下潜的深度s(米)与时间t(分钟)之间的关系满足关系式为s=0.2t2-14t+2 000,那么平均速度的最小值是.解析:平均速度为v(t)=0.2t+-142-14=220-14=26,当且仅当0.2t=,即t

7、=100时,取得最小值.答案:26三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)设不等式|x-2|a(aN+)的解集为A,且A,A.(1)求a的值;(2)求函数f(x)=|x+a|+|x-2|的最小值.解(1)因为A,且A,所以a,且a,解得0时不等式成立.当x0时,8x30,又(x+1)(x2+1)(x3+1)=(x+1)2(x2+1)(x2-x+1)=(x+1)2(x2+1)0,故此时不等式依然成立.19.(本小题满分12分)已知正数a,b,c满足a+b+c=6,求证:.证明由已知及平均值不等式可得3=,当且仅当a=b=c=2时等号成立.故原不等式成立.20.导学号356

8、64028(本小题满分12分)已知函数f(x)=|x-1|.(1)解不等式f(x)+f(x+4)8;(2)若|a|1,|b|a|f.(1)解f(x)+f(x+4)=|x-1|+|x+3|=当x1时,由2x+28,解得x3.所以原不等式的解集为x|x-5或x3.(2)证明f(ab)|a|f,即|ab-1|a-b|.因为|a|1,|b|0,所以|ab-1|a-b|.故原不等式成立.21.导学号35664029(本小题满分12分)已知x,y,zR+,x+y+z=3.(1)求的最小值;(2)证明:3x2+y2+z20,0,所以(x+y+z)9,即3,当且仅当x=y=z=1时,取得最小值3.(2)证明x2+y2+z2=3,当且仅当x=y=z时等号成立.又x2+y2+z2-9=x2+y2+z2-(x+y+z)2=-2(xy+yz+zx)0,所以3x2+y2+z2x的解集;(2)若a+b=1,对a,b(0,+),|2x-1|-|x+1|恒成立,求x的取值范围.解(1)f(x)=|2x-1|-|x+1|,当xx,得1-2x+x+1x,解得xx,得1-2x-x-1x,解得-1x时,f(x)x,得2x-1-(x+1)x,解得-20无解;综