n维线性空间的线性变换的核与值域的性质及应用

1、命题一：若线性变换是n维线性空间V的线性变换，且，可交换，则的核和值域都是-子。证明：，则有（） =（）=（0）=0（）（），（）=（）也是A-子空间。 例一：设F为数域，V=，证明：1） T()=()是线性空间V的一个线性变换，且=02） 求T的核与值域TV的维数。证明：设=（）（）。 T()=(0,) =()+()=T+T , 则T（）=（）=（）=，T为线性空间V的线性变换。又由于（）=T（）=（）（）=（）2)由T（）=（）=0则可得：=0即：为由一切向量（）所作成的子空间它是一维的又r()+r(TV)=nr(TV)=n-1例二：设是n维线性空间V的线性变换，分别是的值域与核，是是一组

2、基，设 是的原像，令W=L（），证明：1）的秩+的零度=n2）V=W （兰州大学2006）证明：设是零度为t，且是它的一组基，则可扩充为 V的一组基，且=0，。从而（V）=L（，） =L（）下证是（V）的一组基。令=0（）=0即：= 即-=0又线性无关，可得=0是（V）的一 组基。的秩+的零度=n-t+t=n.2)依题意得：，。由线性无关，则也线性无关。dimW=dim(L()= r =秩（）=的秩又dim=的零度，dimW+dim,则有，且（）=0（）=0=0 即： V=W例三设是数域P上的n维线性空间V的一个线性变换，证明： 1）= 2）V= 幂等变换下线性变换的核与值域问题 3）如果是V

3、的线性变换，都是的不变子空间，。证明：1） ，则 设，则，=2），+V=+设，则，=0 即：V= 3 ）设和都在下不变， 由2），则，使 ，使又，使，因此：例四：设是n 维欧氏空间V的线性变换，对任意的，都有，证明：的核等于的值域的正交补。 n维欧氏空间中线性变换的核与值域问题证明：证法一：设（实矩阵），为线性方程组的解空间，即；为的列空间，因此。 因为 对，总有，可知与是正交的，注意到，这说明， 是的正交补， （1） 2 设是n 维欧氏空间V的标准正交基，且，； （2），； （3） ， ； （4）这样由（2），（3），（4）， 。 （5）根据标准正交基的性质，应用（4）和（5），从已知 ，这

4、说明， 。 （6）从（6）可知 。 （7）从（2）和(3)可得 ， （8）这样由（1）和（8）， 是的正交补，再应用（7）可的结论：的核等于的值域的正交补。证法二：下证：的核和的值域的正交补是互为包含的。 对，由已知得，即。对，由已知，这样当取时，有，这说明，因此，即。例五：在中，,，。求以L()为值域的上的线性变换。 已知象求相应的线性变换解：是的一个极大线性无关组，则有 L（）=L()记，T=（，），由于，从而可将扩充为 的一个基，。取，则可确定线性变换，（，）=（，）B为以L()为值域的线性变换。结论1: 的秩的零度. 证明见课本结论2: 为维线性空间V上的线性变换，则秩秩 线性空间与的

5、关系证明：设是V的一组基，而这里为的一组基.于是， 已知秩秩则则为的基。 则 且从而 即故 即为直和.又因为所以 ；设 ，任取 ，而 于是，故显然， 所以，得，秩秩.特别的，如果，那么结论3: 数域P上的维线性空间V的任一子空间W必为某一线性变换的核。证明：设V的任一子空间W的一组基为 则它可扩充为V的一组基 . 作线性变换下面验证 ， 则否则 故 又 故 与矛盾 结论4: 设是维线性空间V的两个子空间,且其维数之和为,则存在 V线性变换,使结论5: 设A是维线性空间V的一个线性变换，证明：若的维数为，则必有一个维的子空间W，使证明： 因的维数为，故可设为的一组基，于是存在 显然，是线性无关，

6、令 则W是V的一个维子空间.下证 ，设， 即 因无关，故因，得因此.注：本题也可设的一组基，将其扩充为V的一组基,.那么满足题目要求.例1:设维线性空间V有两个子空间,便得,其中则存在,使得且.证明: (1)时是显然的(2)设为的基,将其扩充为的基.分别为和由维数公式知线性无关.故可扩充为V的基从而,作 则就是所求.结论1：设线性空间的线性映射，W是的子空间，且则是V的子空间，且。 一般线性变换的值域与核的维数结论2：W是有限维线空间V的子空间，是V上的线性变换，则（1）（2）其中。证明: (1)可证明设的基为将其扩充为W的基 设则 故为的基容易知 故可得 (2)设由的定义知，设为的基，将其扩

7、充为的一组基： 由的定义知. 故 则必线性无关. 因为设则从而由线性无关 得 ； 另外 断定.首先,(由义)又 故另则 故 .从而,从而得到,又因为 故,又因为这样得；综上得 也即证明了注:结论1中有条件限制,所以由(*)可得到用同样的方法可证明结论1.这样就给出了结论2中的等式成立的一个充分条件.结论2可证明关于两个阶方阵的不等式:证明: 设阶方阵为维线性空间上的两个线性变换在一组基下的矩阵. 令,于是 由结论2知 结论1：若则 （1）（2）（3） 幂等变换的值域与核例题2:设，是V上的线性变换且适合条件： ，求证：，并求及，又若是的基，是的基，求在基下的的矩阵。证明： ，由而故而故而.结论

8、2:设V是域P上的维线性空间，与是V的两个子空间，证明：存在唯一的V上的幂等线性变换，使得：，即证明： 例2中的线性变换就的要求的线性变换。，已证，且，下面只要证明唯一性若还存在幂等变换，使得，可以证明 故 有.(1)又因 于是 故 (2)由(1)(2)知 因此上述的幂等变换是唯一的.结论3:设是数域P上的线性变换,且, 则(1) (2) (3) (4) 若 则 且 (5) 则 证明： （5） 1) 反之 有, 因为 故 于是 = 得所以 .下证 则且 故 因 故 所以 因此 .例题3：设 是线性空间V的线性变换.满足(1) , (2) 则 结论1：设是数域P上线性空间V的线性变换，则1）2）

9、3） 线性变换的值域与核的包含关系证明：1）2) 则 于是 故 3） 故 结论2：是线性空间V的线性变换，则存在正整数，使得对任意的非负整数，都有证明：由结论一知 又必定有正整数，使得但 故于是 递推得知对一切的自然数都有由 以及的整数结论3：（费定（引理）沿用结论2的符号，令，其中为满足结论3的正整数，则： 证明： 设，则 又 于是 故， 和的和是直和，又 因此 .当 时,.就满足结论2即,令则必有.在证明结论3时,注意到 ,则,也即为幂等变换,必有.那么，对于的值域是否也有类似的性质？结论4： 则存在正整数，使得对任何非负整数，都有 ， 进一步, 存在正整数 ,满足上述结论.例题4：如果

10、满足，但是，（这时的最小多项式是），那么存在V 的一个基，使得在该基下的矩阵是.证明: 由结论2,对 都有,故,设,满足 .但是不属于,容易用数学归纳法证明. 线性无关,因此它是V的一组基,在此基下的矩为.结论5:设是有限维线性空间上的一个线性变换,令, 证明: 都是的不变子空间,并且.证明：由结论2,3知,是的不变子空间,也 因而是的不变子空间.因 令 ,设,则,故又设,则从而即,故, 从而.例题 设是数域P线性空间V上的线性变换， 则（1） 线性变换的多项式的值域与核（2）当，则（3）若 且 是两两互素的，则.结论1：设是数域P线性空间V上的线性变换，为的一组基，则可逆线性无关。 可逆变换的一些等价条件结论2：对有限维线性空间的线