均值不等式习题简单

1、均值不等式 习题 一、选择题（共14小题；共70分）1. 已知 a0，b0，且 2a+b=4，则 1ab 的最小值为 A. 14B. 4C. 12D. 2 2. 若 x0，则 x+4x 的最小值为 A. 2B. 3C. 22D. 4 3. 函数 y=x+2xx0 取得最小值时的自变量 x 等于 A. 2B. 22C. 1D. 3 4. 已知 a,bR，且 ab0，则下列结论恒成立的是 A. a+b2abB. ab+ba2C. ab+ba2D. a2+b22ab 5. 高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当教室在第 n 层楼时，上下楼造成

2、的不满意度为 n，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随教室所在楼层升高，环境不满意度降低，设教室在第 n 层楼时，环境不满意度为 8n，则同学们认为最适宜的教室应在 A. 2 楼B. 3 楼C. 4 楼D. 8 楼 6. 已知 a,bR，且 ab0，则下列结论恒成立的是 A. a+b2abB. ab+ba2C. ab+ba2D. a2+b22ab 7. 若 x0,b0 过点 1,1，则 a+b 的最小值等于 A. 2B. 3C. 4D. 5 10. 若 a，b 均为大于 1 的正数，且 ab=100，则 lgalgb 的最大值是 A. 0B. 1C. 2D. 52 11. 若实数

3、a，b 满足 1a+1b=ab，则 ab 的最小值为 A. 2B. 2C. 22D. 4 12. 有一长为 16m 的篱笆，要围一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为 A. 32m2B. 14m2C. 16m2D. 18m2 13. 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润 y（单位：10 万元）与营运年数 x（xN*）为二次函数关系（如图所示），则每辆客车营运多少年时，其营运的年平均利润最大 A. 3B. 4C. 5D. 6 14. 某学生用一不准确的天平（两臂不等长）称 10g 药品，他先将 5g 的砝码放在左盘，将药品放在右盘使之平衡；然后又将 5g 的

4、砝码放在右盘，将药品放在左盘使之平衡，则此学生实际所得药品 A. 小于 10gB. 大于 10gC. 大于等于 10gD. 小于等于 10g 二、填空题（共4小题；共20分）15. 几个重要的不等式（1） a2+b2 a,bR，当且仅当 a=b 时取等号（2） aba+b22a,bR，当且仅当 a=b 时取等号（3） a2+b22a+b22a,bR，当且仅当 a=b 时取等号（4） ba+ab2 （ a，b 同号），当且仅当 a=b 时取等号 16. 某学校拟建一块周长为 400m 的操场，如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大

5、，矩形的长应该设计为 米 17. 已知 x，y 均为正实数，且 x+4y=1，则 xy 的最大值为 18. 要挖一个面积为 432m2 的矩形鱼池，周围两侧分别留出宽分别为 3m，4m 的堤堰，要想使占地总面积最小，此时鱼池的长为 、宽为 三、解答题（共2小题；共26分）19. 将条件改为 a+2b=3，求 1a+1b 的最小值 20. 某造纸厂拟建一座底面形状为矩形且面积为 162 平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周的围墙建造单价为 400 元/米，中间两道隔墙建造单价为 248 元/米，池底建造单价为 80 元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计（1）试设计污

6、水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；（2）若由于地形限制，该水池的长和宽都不能超过 16 米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价第一部分1. C2. D3. A4. C【解析】因为 ab 和 ba 同号，所以 ab+ba=ab+ba25. B6. C【解析】因为 ab 和 ba 同号，所以 ab+ba=ab+ba27. D【解析】y=x2+1x2x1x2x21x2+2x1x=4x0,b0 过点 1,1，所以 1a+1b=1，所以 1=1a+1b21a1b=2ab（当且仅当 a=b 时取等号），所以 ab2又 a+b2ab（当且仅当 a=b 时取等号），所以

7、a+b4（当且仅当 a=b=2 时取等号）优解 因为直线 xa+yb=1a0,b0 过点 1,1，所以 1a+1b=1，所以 a+b=a+b1a+1b=2+ab+ba2+2abba=4（当且仅当 a=b=2 时取等号）10. B【解析】因为 a1，b1，所以 lga0，lgb0 lgalgblga+lgb24=lgab24=1当且仅当 a=b=10 时取等号11. B【解析】由题意得 a0，b0，所以 1a+1b=ab21a1b，所以 ab2，当且仅当 a=b 时取等号，所以 ab 的最小值为 212. C13. C【解析】由题图可得营运总利润 y=x62+11，则营运的年平均利润 yx=x2

8、5x+12，因为 xN*，所以 yx2x25x+12=2，当且仅当 x=25x，即 x=5 时取“=”所以 x=5 时营运的年平均利润最大14. B【解析】设左、右臂长分别为 t1，t2，第一次称的药品为 x1g，第二次称的药品为 x2g，则有 5t1=x1t2，x2t1=5t2，所以 x1+x2=5t1t2+t2t152=10g，即大于 10g .第二部分15. 2ab16. 100【解析】设矩形的长为 x 米，宽为 y 米，则由题意得 2x+y=400，则 xy=122xy122x+y22=20000，当且仅当 2x=y=200 时，等号成立，所以当矩形的面积最大时，矩形的长为 100 米

9、17. 116【解析】1=x+4y24xy=4xy，所以 xy142=116，当且仅当 x=4y=12，即 x=12,y=18 时，xymax=11618. 24m，18m【解析】设鱼池的相邻两边长分别为 xm，ym，则 xy=432，所以 x+6y+8=xy+6y+8x+48=480+6y+8x480+248xy=768, 当且仅当 6y=8x，即 x=18，y=24 时，等号成立第三部分19. 因为 a+2b=3，所以 13a+23b=1，所以 1a+1b=1a+1b13a+23b=13+23+a3b+2b3a1+2a3b2b3a=1+223. 当且仅当 a=2b 时，取等号20. （1） 设污水处理池的宽为 x 米，则长为 162x 米总造价 fx=4002x+2162x+2482x+80162=1296x+1296100x+12960=1296x+100x+1296012962x100x+12960=38880, 当且仅当 x=100xx0，即 x=10 时取等号所以当污水处理池的长为 16.2 米，宽为 10 米时总造价最低，最低总造价为 38880 元（2） 由限制条件知 0x16,0162x16,，所以 818x16设 gx=x+100x818x16，则 gx=1100x2，因为 gx=110