对数的换底公式及其推论(含答案)

1、对数的换底公式及其推论一、复习引入： 对数的运算法则如果 a 0， a1， M 0 ， N 0有：loga (MN)log a Mlog aN(1)logaMlog a Mlog a N(2)Nloga M nnlog a M(nR)(3)二、新授内容：1.对数换底公式 ：log aNlog mN( a 0 ,a1 ， m 0 ,m1,N0)log m a证明 ：设log aN = x ,则 a x= N两边取以 m 为底的对数： log m a xlog m Nx log m a log m N从而得： xlog m N log aNlog m Nlog m alog m a2.两个常用的推

2、论 :log a blog b a 1 ，log a b log b c log c a1log a m b nn log a b （ a, b 0 且均不为 1）m证： log a b log b alg blg a1lg alg b log am bnlg b nnlg bnlog a blg a mm lg am三、讲解范例：例 1已知log 23 = a， log 3 7 = b,用 a, b 表示 log 4256解：因为 log 2 3 = a，则1,又 log 3 7 = b,log 3 2a log 42 56log 3 56log 3 73 log 3 2ab3log 3 4

3、2log 3 7log 3 2 1abb1例 2 计算： 51log 0 .2 3log 4 3 log 9 2log 14 322解：原式=555155log 0.2 3log 5 11533原式 =1125153log23 log 3log 2 2442224例 3 设 x, y, z(0,) 且 3x4 y6 z1求证111；2比较 3x,4 y,6z 的大小x2 yz证明 1 ：设 3x4 y6 zk x, y, z (0,) k 1取对数得：lg kylg kzlg kx，lg 6lg 3lg 4 11lg 3lg 42 lg 3lg 42 lg 32 lg 2lg 61x 2 yl

4、g k 2 lg k2 lg k2lg klg kz34lg 64lg 81lg k lg 6423x4 y810() lg klg 3lg 4lg klg 3lg 4lg 3lg 4 3x4 y46lg 36lg 64lg k lg9又：4 y6z() lg k160lg 4 lg 6lg 2 lg 6lg klg 2 lg 64 y6z 3x4 y6z例 4 已知 log a x= log a c+b，求 x分析：由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将log a c 移到等式左端，或者将 b 变为对数形式解法一：

5、由对数定义可知：xalog a c balog a cabca b解法二：由已知移项可得log a xlog a cb，即 log axbc由对数定义知：xa bx c a bc解法三：b log a a blog axlog a clog a ablog a cabxc a b四、课堂练习：已知log 189 = a ,18b= 5 , 用 a, b 表示 log 36 45解：log 189 = a log 18181log18 2alog 18 2 = 1 a2 18b= 5 log 18 5 = blog 36 45log 18 45log 18 9log 18 5ablog 18 3

6、61log 18 22a若 log 8 3 = p ,log 3 5 = q, 求 lg 5log 8 3 = p log 233log 2 33 plog 31解： p23 p又 log 3 5q lg 5log 3 5log 3 53 pqlog 3 10log 3 2log 3 513 pq三、小结本节课学习了以下内容：换底公式及其推论四、课后作业 ：1证明：log a x1log a blog ab x证法 1：设 log a xp， log ab xq ， log a br则： xa px(ab) qa qb qba r a p( ab) qa q(1r )从而pq(1r ) q0 p1r 即：log a x1 log a b （获证）qlog ab x证法 2： 由换底公式左边 log axlog x ablog a ab 1 log a b 右边log ab xlog x a2已知 log a1 b1log a2 b2log an bn求证： log a1a2an (b1b2bn )证明：由换底公式lg b1lg b2lg bn由等比定理得：lg a1lg a2lg