九年级数学竞赛试题(附答案).doc

九年级数学测验二满分120分时间150分钟一、填空题（共9小题，每小题3分，满分27分）1实数X、Y满足等式，则的取值范围为。29|0XYXYXY2关于X的方程无解，则实数A的可能取值有。13267AX3已知的直角边长分别为、，斜边长为，的直角边长分别为、，斜边长为1RTABC1B1X2RTABC2AB；请以与的直角边长构造出的直角边，使得其斜边2X2TT长为。124在中，P为其内部一点，请你构造出一对全等三角形，使得以下结论分别成立ABC当时，为以BC为底边的等腰三角形；ABC当时，为以AC为底边的等腰三角形，且P为它外接圆的圆心；当时，为等边三角形。5在四边形ABCD中，P、Q、R、S分别为AB、BC、CD、DA四边中点，记四边形ABCD的对角线长度之和为，四边形PQRS的对角线长度之和为，令，则K的取值范围为。1L2L12L6已知函数与直线只有一个交点，那么这个交点的坐标为21YAX0XAY。7给出三个关于X的方程，222,0BCCXAXB若，且这三个方程有相同的根，则这个根为；20ABC若，则前两个方程均有实根的概率为；若，在这三个方程中恰有某个方程存在唯一实根，则它们共有个不相等的实根。08已知某梯形的边长与对角线可构成三组长度相等的线段，那么最短边与最长边之比为。9如图，给出反比例函数，这里；在X轴正半轴上依次排列3KYX12010个点，点的坐标为，1201,ANA,0,201N，；过点作X轴的垂线交反比例函数于点，记的11,209NXD1XDKNANP12N面积为，那么。8S2208S二、选择题（共9小题，每小题3分，满分27分）10若，那么A、B（）221ABA一个为无理数、一个为有理数B均为分数C均为无限不循环小数D不是实数11下列整式中哪个不能在实数范围内因式分解（）ABCD323K321K32K32K12如图，在无限单位正方形网格中，任意找三个正方形顶点构成一个角，以下特殊角中不可能得到的有（）个50645A4B3C2D113将一个多边形中所有的点连结成线段后，边长及对角线长共有N种取值，那么在这些线段构成的角中，最小的角是（）度。A或B或C或D或1802N190N182180362180N21N14如图，一开口向下的抛物线与X轴负半轴交于A、B两点，与Y轴交于点Q（0，3），其顶点为P，若，则抛物线的方程为（）PABQAB2143YX2136YXCD262415如图，在半径为R的中，有内接矩形ABCD，AB中点E与圆上逆时针排列的三点OAF、G、H构成边长为A的菱形，若，则DG的长为（）2GDHFA或B或24R2424RA24RAC或D或2A2R16如图，在直角坐标系中，直线与Y轴、反比例函数和X轴340XAKY依次交于A、B、C、D四点，若，且，则（）2BCAD2CBAABCD15232418259217如图，在中，作内切圆，记其半径为R；在周围再作三个RTABC90OAOA圆，使得它们既与相切，又与相切，记它们的半径分别为、，ORTBC123R则与的大小关系为（）123RRABCD无法确定，与的锐角有关123R123RRRTABC18如图所示环形跑道，大圆半径为55米，小圆半径为50米，A、B、C、D为大圆圆周上的四等分点，小圆上的点、在直线AC上，、在直线BD上；甲、乙两人从A点AC开始顺时针慢跑，甲一直在大圆上运动，其速度为每秒25米；乙作每秒4米的匀速运动，只是先沿着直线段抵达小圆，跑完四分之一个圆周后沿直线段回到大圆上；图中箭头即规定了乙穿梭于大圆和小圆之间时的方向，同时要求他不能连续两次通过某一直线段进入小圆或回到大圆，即乙从B点跑至D点并进入小圆后不能再一次在点回到大圆，而必须经过直线段；此外，乙除了在经过这些直线段时作向南或向东的运动，其他时候都是作顺时针运动。请问当甲第一次出现在乙之前（即甲在乙前方5米以内）时，乙已通过点（）次BA2B3C4D5三、解答题（共七大题，满分66分）19小明在做数学作业时遇到了困惑，请你帮忙解答（1）（4分）整数M使得关于X、Y的二元一次方程组的解，试求M；2731054XYM32XY小明先是这么解的由解得，于是，得到；2731054XY3102YM1313后来小明发现了一种更简便的方法，因为他认为带参数解方程显得过于繁琐由得知，于是，2XY703359XY2M解到这儿时他才发现不对劲，因为两个结果差异太大，可他看了半天也检查不出错误，你能找出来告诉他吗（2）（4分）他在另外一次数学作业中又遇到了不等式问题，已算到这一步负数X、YX满足不等式，220410XY他很快对左边的整式作了因式分解，于是得到；540XY54XY不过小明是个爱动脑筋的孩子，他又记起了以前学过的换元法令，则原不等式可化为，XTY20410XY即，得，20415TT5T但这样得出的结果与前面矛盾，因为Y为负数，因此将Y乘到不等式右边时，；54XY他大惑不解，不过他实在不知自己哪儿出错了，你能找出来告诉他吗20观察以下方法并答题对于正整数N，求。123N由，22，231，22413，221NN将以上N个等式加起来，得，222222343131NN。111N（1）（4分）对于正整数N，请运用以上方法求；22224（2）（3分）对于正整数N，利用（1）的结果求。351N21如图，为等腰三角形ABC的外接圆，在劣弧上找一点OAACBACD使得，在劣弧上找一点E使得，若，CADDE（1）（3分）试判断四边形ABCD的形状；（2）（5分）利用图中边角关系，求。SIN5422某地摊出售A、B、C三种货物，顾客甲买了A货物1件、B货物2件和C货物3件，一共花去26元，顾客乙买了A货物2件、B货物3件和C货物4件，一共花去38元；（1）（2分）求出A、B、C三种货物的单价之和；（2）（3分）若顾客丙买了A货物3件、B货物2件和C货物1件，那么他花了多少钱（3）（4分）若顾客丁打算用32元购买这三种货物，那么他怎么选购才使得钱恰好够用23如图，在边长为A的菱形ABCD中，M为BC边上一点（不与顶点重合），将沿ABMAM折叠，点B刚好落在CD边的N点处；（1）（2分）试求的范围；AD（2）（5分）若点N恰好为CD中点，试求折痕AM的长；（3）（5分）求证。21C24在关于X的一元二次方程中，A、B、C为的三边长；20ABCXCAXABC（1）（3分）若该方程有唯一实根，则必定为锐角，且当时，为等边三角形；A6A（2）（4分）若该方程有唯一实根，且，试证明；2CB222131CBC（3）（5分）若该方程有两个整数根，三边也为整数，且，试求出的最小面积。ABABC25给定抛物线与反比例函数，已知它们的图像有不少于两个的交点；2YAXBBAYX（1）（4分）当抛物线与反比例函数只有两个交点时，请画出它们的函数图像，要求在抛物线上标明对称轴以及与X轴的交点坐标；（2）（3分）当抛物线与反比例函数有三个交点P、Q、R（）时，请求出的面积（用A、BPQRPQR表示）；（3）（5分）当线段PR与抛物线的对称轴交于X轴上，且时，请写出抛物线与反比例函数的方程。九年级数学测验二参考答案一、填空题1；20，1；3或；120XY1212,|ABA1212,|BAB4；或；ABPCABPCABCAB5；6（0，1）或或；71；2或3；K3,3,78；9。2124078K二、选择题10D11C12B13B14A15A16A17C18B三、解答题19思路（1）题设告诉我们，方程组是关于X、Y的二元一次方程组，这时M可被认为是已知的常数；而并不是该二元一次方程组的解，它只是一个可供判断的条件，实际上X可能大于31，也32XY可能大于3且小于31，于是原方程组不能看成是关于M的不等式组，第一种方法是正确的；我们也可以用不定解的思想来梳理一下思路，比如，我们由知道，4,3XY7XY但仅仅知道却不能断定，74,3因此在题中，符合条件的M值一定使得最终的解满足条件，但满足条件的某一组32XY32XY实数X、Y并不一定使得在它影响下的M值满足其他的解，于是整数M的确定受制于原方程组的解，而不是我们自行选择的某一组满足的实数X、Y；32XY（2）第一种做法是错误的，错误原因在于没有先考虑X、Y的符号对于，有，而题设中点明，0Y540Y因此由，得到的是或（舍去）。4X54020思路（1），222136N，422221126NNNN；76（2）由，2221136可得，4246N又，2221412135166NN。3N21思路（1）连结BD、CE，设，2ABC，DA；CD同理，EEA，得；18049236，DACBA，,/DC因此，四边形ABCD为等腰梯形；（2）连结BE，即为圆直径，分别与AD、AC交于点P、R，记圆心为O，连结OD交AC于点Q；在中，在中，RTAP54RT54CDQ于是，SIN54CD，B，2CRAP，2212APCDARCQRACPAC即，得，2240P5。15SIN54CA22思路（1）设这三种货物的单价分别为X元、Y元、Z元，依题意得，23648XYZ两式相减，可得；12XYZ（2）令，23432MNXYZ则有，得，341N5M于是，顾客丙一共花去元；26382N（3）令，即，268916，913M由于M为整数，因此，当时，7N73则，2452XYZXYZXYZ即顾客丁可以用32元购买到A货物5件、B货物2件和C货物1件。23思路（1）设，则，BDNMA，得，1802,3180MNCC690；9A（2）过点N分别作AD、BC的垂线，垂足分别为P、Q，由N为DC中点易证；DPN过点A作于点R，易证，ACN，得；DARCNQ1428ADCNA设，则，MXBX，222Q即，解得，1188AAA3AX；22715046AP（3）证明在中，BMBA易证，22COSMAB得，即，COSDRCN，222ABB。21MNC24思路（1）依题意得，22440BCABCABCA于是，20，0C不妨设，那么，BABAC由，得；18290A若，则有，即，60A22BCABC0ACB因此为等边三角形；BC（2）在中，延长BC至点D，使得，连结AD，C则，AB，DC由可得，即，ABBCA有，2BCA；220BCA由（1）可知此时中有，ABCACB，836且，0180，345B，22223COS4ACBACB整理得；22211（3）设该方程两根为，2,X根据韦达定理有，12BCAX因为，均为整数，且能被整除，BCABACABCAB因此，或者，或者C为中最长边，使得为三个数中最小的整数；ABCC当时，则，即为正三角形，C12,X122,XABC与题设“”矛盾，AB于是C为中最长边；ABC记，2MABNC则，22011C解得；ABCNMN，12NX，123MX当时，3,N657ABC当时，124,XN436ABC当时，5M2因此，符合题意且面积最小的的三边长为；ABC,4BC过点C作于点H，设，X则，即，222HA2234X解得，于是，18X2158CB；31524ABCS综上所述，当时，,ABC关于X的一元二次方程有整数根1，5，20XBCAXB满足题意的此时有最小面积。ABC315425思路（1）由得，2BAYAXBX20BAX，123,但抛物线与反比例函数图像只有两个交点，得，12B