02轴向拉伸与压缩

1,第二章拉伸、压缩与剪切,材料力学,2,2.1轴向拉伸与压缩的概念和实例2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力2.3直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力2.4材料拉伸时的力学性能2.5材料压缩时的力学性能2.7失效、安全因数和强度计算2.8轴向拉伸或压缩时的变形2.9轴向拉伸或压缩时的应变能2.10拉伸、压缩超静定问题2.11温度应力和装备应力2.12应力集中的概念2.13剪切和挤压的实用计算,第二章拉伸、压缩与剪切,拉压,3,拉压,2.1轴向拉伸与压缩的概念和实例,一、概念,轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩，伴随横向缩扩。轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。,4,拉压,杆件的轴向拉伸和压缩是工程中常见的一种变形。如图a)所示的悬臂吊车，在载荷F作用下，AC杆受到A、C两端的拉力作用，如图b)所示，BC杆受到B、C两端的压力作用，如图c)所示。,5,拉压,轴向压缩，对应的力称为压力。,轴向拉伸，对应的力称为拉力。,杆件的轴向拉伸和压缩的力学模型,6,拉压,二、工程实例,7,拉压,8,拉压,一、内力1、内力的定义内力指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合成（附加内力）。,2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力,9,拉压,2、内力的计算内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的基础。截面法是求内力的一般方法。,截面法的基本步骤：截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力对所留部分而言是外力）。,10,拉压,轴力轴向拉压杆的内力，用N表示。,例如：截面法求N。,截开：,代替：,平衡：,11,反映出轴力与横截面位置变化关系，较直观；确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。,拉压,4、轴力图N(x)的图象表示,轴力的正负规定:,N与外法线同向，为正轴力(拉力),N与外法线反向，为负轴力(压力),N,x,P,意义,12,拉压,例1图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P和P的力，方向如图所示，试画出杆的轴力图。,解：求OA段内力N1：设置截面如图，列平衡方程,13,拉压,同理，求得AB、BC、CD段内力分别为：,N2=3PN3=5PN4=P,轴力图如右图,D,PD,N,x,2P,3P,5P,P,14,拉压,轴力(图)的简便求法：自左向右:,轴力图的特点：突变值=集中载荷,遇到向左的P，轴力N增量为正；遇到向右的P，轴力N增量为负。,3kN,5kN,8kN,15,拉压,解：x坐标向右为正，坐标原点在自由端。取左侧x段为对象，内力N(x)为：,q,qL,x,O,例2图示杆长为L，受分布力q=kx作用，方向如图，试画出杆的轴力图。,L,q(x),N,x,O,16,例3一等直杆受四个轴向外力作用，如图所示，试求杆件横截面l-l、2-2、3-3上的轴力，并作轴力图。,拉压,17,拉压,二、应力,问题提出：,内力大小不能衡量构件强度的大小。强度：内力在截面的分布集度应力；材料承受荷载的能力。,1.定义：由外力引起的内力集度。,18,拉压,工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始。,平均应力：,全应力（总应力）：,2.应力的表示：,19,拉压,全应力分解为：,a.垂直于截面的应力称为“正应力”(NormalStress)；,b.位于截面内的应力称为“剪应力”(ShearingStress)。,20,拉压,变形前,变形规律试验及平面假设：,平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。纵向纤维变形相同。,受载后,3、拉（压）杆横截面上的应力,均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。,21,拉压,拉伸应力：,轴力引起的正应力：在横截面上均布。,危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。危险点：应力最大的点。,危险截面及最大工作应力：,直杆、杆的截面无突变、截面到载荷作用点有一定的距离。,公式的应用条件：,22,拉压,例4已知一圆杆受拉力P=25kN，直径d=14mm，许用应力=170MPa，试校核此杆是否满足强度要求。,解：轴力：N=P=25kN,应力：,强度校核：,结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。,23,拉压,例5简易旋臂式吊车如图a)所示。斜杆AB为横截面直径d20mm的钢材，载荷W=15kN。求当W移到A点时，斜杆AB横截面应力(两杆的自重不计)。,解(1)受力分析当W移到A点时，斜杆AB受到的拉力最大，设其值为Fmax。取A点为分离体，在不计杆件自重及连接处的摩擦时，A点受力如图b)、c)所示。,24,根据平衡方程,MC=0，解得由三角形ABC求出故有,拉压,25,(2)求应力斜杆AB横截面正应力为,拉压,26,拉压,例6已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布集度为：q=4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径d=16mm，许用应力=170MPa。试校核钢拉杆的强度。,27,拉压,钢拉杆,8.5m,4.2m,RA,RB,HA,28,拉压,应力：,强度校核与结论：,此杆满足强度要求，是安全的。,局部平衡求轴力：,HC,29,拉压,例7简易起重机构如图，AC为刚性梁，吊车与吊起重物总重为P，为使BD杆最轻，角应为何值？已知BD杆的许用应力为。,分析：,x,L,h,q,P,A,B,C,D,30,拉压,BD杆横截面面积A：,解：BD杆内力N(q)：取AC为研究对象，如图所示,YA,XA,NBD,x,L,P,A,B,C,31,拉压,YA,XA,NBD,x,L,P,A,B,C,求VBD的最小值：,32,拉压,设有一等直杆受拉力P作用。求：斜截面k-k上的应力。,解：采用截面法由平衡方程：Pa=P,则：,Aa：斜截面面积；Pa：斜截面上内力。,由几何关系：,代入上式，得：,斜截面上全应力：,2.3直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力,33,拉压,斜截面上全应力：,分解：,反映：通过构件上一点不同截面上应力变化情况。,当=90时，,当=0,90时，,34,2、单元体：单元体构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。单元体的性质a、平行面上，应力均布；b、平行面上，应力相等。,3、拉压杆内一点M的应力单元体:,1、一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点的各个截面上的应力情况，称为这点的应力状态。,补充：,拉压,35,取分离体如图3，a逆时针为正；ta绕研究对象顺时针转为正；由分离体平衡得：,拉压,4、拉压杆斜截面上的应力,36,例8直径为d=1cm杆受拉力P=10kN的作用，试求最大剪应力，并求与横截面夹角30的斜截面上的正应力和剪应力。,解：拉压杆斜截面上的应力，直接由公式求之：,拉压,37,例9图示拉杆沿mn由两部分胶合而成,受力P，设胶合面的许用拉应力为=100MPa；许用剪应力为=50MPa，并设杆的强度由胶合面控制，杆的横截面积为A=4cm，试问：为使杆承受最大拉力，角值应为多大?(规定:在060度之间)。,联立(1)、(2)得：,拉压,解：,38,(1)、(2)式的曲线如图(2)，显然，B点左侧由正应力控制杆的强度，B点右侧由剪应力控制杆的强度，当a=60时，由(2)式得,解(1)、(2)曲线交点处：,拉压,讨论：若,39,2.4材料拉伸时的力学性能,一、试验条件及试验仪器,1、试验条件：常温(20)；静载（极其缓慢地加载）；标准试件。,拉压,力学性能：材料在外力作用下表现的有关强度、变形方面的特性。,40,2、试验仪器：万能材料试验机；变形仪（常用引伸仪）。,拉压,41,拉压,42,二、低碳钢试件的拉伸图(P-L图),三、低碳钢试件的应力-应变曲线(-图),拉压,43,(一)低碳钢拉伸的弹性阶段(oe段),1、op-比例段:p-比例极限,2、pe-曲线段:e-弹性极限,拉压,44,(二)低碳钢拉伸的屈服(流动）阶段(es段),es-屈服段:s-屈服极限,滑移线：,塑性材料的失效应力:s。,拉压,45,、卸载定律：,、-强度极限,、冷作硬化：,、冷拉时效：,(三)、低碳钢拉伸的强化阶段(段),拉压,46,1、延伸率:,2、面缩率：,3、脆性、塑性及相对性,(四)、低碳钢拉伸的颈缩（断裂）阶段(bf段),拉压,47,四、无明显屈服现象的塑性材料,0.2,s0.2,名义屈服应力:0.2，即此类材料的失效应力。,五、铸铁拉伸时的机械性能,L-铸铁拉伸强度极限（失效应力）,拉压,48,拉压,2.5材料压缩时的力学性能,49,拉压,y-铸铁压缩强度极限；y（46）L,50,拉压,2.7失效安全因数和强度计算,其中：许用应力，max危险点的最大工作应力。,设计截面尺寸：,依强度条件可进行三种强度计算：,为了保证构件不发生强度破坏，并有一定安全余量，于是得到拉（压）杆的强度条件。,校核强度：,许可载荷：,51,拉压,n1,1、许用应力：,3、极限应力：,2、安全系数：,许用应力安全因数极限应力,52,1、杆的纵向总变形：,3、平均线应变：,2、线应变：单位长度的线变形。,一、拉压杆的变形及应变,2.8轴向拉伸或压缩时的变形,拉压,53,4、x点处的纵向线应变：,6、x点处的横向线应变：,5、杆的横向变形：,拉压,L1,54,二、拉压杆的胡克定律,1、等内力拉压杆的弹性定律,2、变内力拉压杆的弹性定律,内力在n段中分别为常量时,EA称为杆的抗拉压刚度。,拉压,55,3、单向应力状态下的胡克定律,4、泊松比（或横向变形系数）,拉压,三、是谁首先提出弹性定律弹性定律是材料力学等固体力学一个非常重要的基础。一般认为它是由英国科学家胡克(1635一1703)首先提出来的，所以通常叫做胡克定律。其实，在胡克之前1500年，我国早就有了关于力和变形成正比关系的记载。,56,拉压,例10如图a)所示的阶梯杆，已知横截面面积AABABC400mm2，ACD200mm2，弹性模量E200GPa，受力情况为FP130kN，FP210kN，各段长度如图a)所示。试求杆的总变形。,57,拉压,解(1)作轴力图杆的轴力图如图b)所示。(2)计算杆的变形应用胡克定律分别求出各段杆的变形杆的总变形等于各段变形之和计算结果为负，说明杆的总变形为缩短。,58,1、怎样画小变形放大图？,变形图严格画法，图中弧线；,求各杆的变形量Li，如图1；,变形图近似画法，图中弧之切线。,例11小变形放大图与位移的求法。,拉压,59,2、写出图2中B点位移与两杆变形间的关系,拉压,解：变形图如图2，B点位移至B点，由图知：,图2,60,例12设横梁ABCD为刚梁，横截面面积为76.36mm的钢索绕过无摩擦的定滑轮。设P=20kN，试求钢索内的应力和C点的垂直位移。设钢索的E=177GPa。,解：方法1：小变形放大图法1）求钢索内力：以ABCD为研究对象,2)钢索的应力和伸长分别为：,拉压,61,拉压,D,3）变形图如左图,C点的垂直位移为：,62,2.9轴向拉伸或压缩时的应变能,一、弹性应变能：杆件发生弹性变形，外力功转变为变形能贮存于杆内，这种能成为应变能（StrainEnergy）用“U”表示。,二、拉压杆的应变能计算：不计能量损耗时，外力功等于应变能。,内力为分段常量时,拉压,63,三、拉压杆的比能u：单位体积内的应变能。,拉压,64,解：方法2：能量法：（外力功等于变形能）（1）求钢索内力：以ABCD为研究对象：,拉压,例12设横梁ABCD为刚梁，横截面面积为76.36mm的钢索绕过无摩擦的定滑轮。设P=20kN，试求钢索内的应力和C点的垂直位移。设钢索的E=177GPa。,65,（2)钢索的应力为：,（3)C点位移为：,拉压,能量法：利用应变能的概念解决与结构物或构件的弹性变形有关的问题，这种方法称为能量法。,66,2.10拉伸、压缩超静定问题,一、超静定问题：单凭静力平衡方程不能确定出全部未知力（外力、内力、应力）的问题。,拉压,二、超静定问题的处理方法：平衡方程、变形协调方程、物理方程相结合，进行求解。,67,例13设1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：L1=L2、L3=L；各杆面积为A1=A2=A、A3；各杆弹性模量为：E1=E2=E、E3。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。,拉压,解：、平衡方程:,68,几何方程变形协调方程：,物理方程弹性定律：,补充方程：由几何方程和物理方程得。,解由平衡方程和补充方程组成的方程组，得:,拉压,69,平衡方程；几何方程变形协调方程；物理方程弹性定律；补充方程：由几何方程和物理方程得；解由平衡方程和补充方程组成的方程组。,拉压,3、超静定问题的处理方法步骤：,70,例14木制短柱的四角用四个40404的等边角钢加固，角钢和木材的许用应力分别为1=160MPa和2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa和E2=10GPa；求许可载荷P。,几何方程,物理方程及补充方程：,解：平衡方程:,拉压,P,P,y,4N1,N2,71,P,P,y,4N1,N2,拉压,解平衡方程和补充方程，得:,求结构的许可载荷：方法1:,角钢截面面积由型钢表查得:A1=3.086cm2,72,所以在1=2的前提下，角钢将先达到极限状态，即角钢决定最大载荷。,求结构的许可载荷：,另外：若将钢的面积增大5倍，怎样？若将木的面积变为25mm2，又怎样？结构的最大载荷永远由钢控制着。,拉压,方法2:,73,1、静定结构无温度应力。,一、温度应力,如图，1、2号杆的尺寸及材料都相同，当结构温度由T1变到T2时,求各杆的温度内力。（各杆的线膨胀系数分别为i;T=T2-T1),拉压,C,A,B,D,1,2,3,2、静不定结构存在温度应力。,2.11温度应力和装配应力,74,拉压,C,A,B,D,1,2,3,、几何方程,解：、平衡方程:,、物理方程：,75,拉压,C,A,B,D,1,2,3,、补充方程,解平衡方程和补充方程，得:,76,拉压,a,a,例15如图，阶梯钢杆的上下两端在T1=5时被固定,杆的上下两段的面积分别=cm2，=cm2，当温度升至T2=25时,求各杆的温度应力。(线膨胀系数=12.5；弹性模量E=200GPa),、几何方程：,解：、平衡方程：,77,、物理方程,解平衡方程和补充方程，得:,、补充方程,、温度应力,拉压,78,、几何方程,解：、平衡方程:,二、装配应力预应力,1、静定结构无装配应力。2、静不定结构存在装配应力。,拉压,如图，3号杆的尺寸误差为，求各杆的装配内力。,A,B,C,1,2,D,A1,3,79,、物理方程及补充方程：,、解平衡方程和补充方程，得:,d,拉压,A,A1,80,二、应力集中（StressConcentration）：,在截面尺寸突变处，应力急剧变大。,一、Saint-Venant原理：,离开载荷作用处一定距离，应力分布与大小不受外载荷作用方式的影响。,拉压,2.12应力集中的概念,81,拉压,Saint-Venant原理与应力集中示意图,(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。),变形示意图：,应力分布示意图：,理论应力集中因数,82,一、连接件的受力特点和变形特点：,1、连接件,在构件连接处起连接作用的部件，称为连接件。例如：螺栓、铆钉、键等。连接件虽小，却起着传递载荷的作用。,特点：可传递一般力，可拆卸。,螺栓,剪切,2.13剪切和挤压的实用计算,83,铆钉,特点：可传递一般力，不可拆卸。如桥梁桁架结点处用它连接。,无间隙,剪切,84,2、受力特点和变形特点：,剪切,以铆钉为例：,受力特点：构件受两组大小相等、方向相反、作用线相距很近（差一个几何平面）的平行力系作用。,变形特点：构件沿两组平行力系的交界面发生相对错动。,85,剪切,剪切面：构件将发生相互的错动面，如nn。,剪切面上的内力：内力剪力Q，其作用线与剪切面平行。,86,剪切,3、连接处破坏的三种形式：剪切破坏沿铆钉的剪切面剪断，如沿nn面剪断。挤压破坏铆钉与钢板在相互接触面上因挤压而使溃压连接松动，发生破坏。拉伸破坏,钢板在受铆钉孔削弱的截面处，应力增大，易在连接处拉断。,87,剪切,二、剪切的实用计算,1、实用计算方法：根据构件的破坏可能性，采用能反映受力基本特征，并简化计算的假设，计算其名义应力，然后根据直接试验的结果，确定其相应的许用应力，以进行强度计算。2、适用：构件体积不大，真实应力相当复杂情况，如连接件等。3、实用计算假设：假设剪应力在整个剪切面上均匀分布，等于剪切面上的平均应力。,88,剪切,1)、剪切面-AQ：错动面。剪力-Q：剪切面上的内力。,2)、名义剪应力-：,3)、剪切强度条件（准则）：,工作应力不得超过材料的许用应力。,89,三、挤压的实用计算,1)、挤压力Pjy：接触面上的合力。,剪切,1、挤压：构件局部面积的承压现象。2、挤压力：在接触面上的压力，记Pjy。,假设：挤压应力在有效挤压面上均匀分布。,90,2)、挤压面积：接触面在垂直Pjy方向上的投影面的面积。,3)、挤压强度条件（准则）：工作挤压应力不得超过材料的许用挤压应力。,剪切,挤压面积,91,四、应用,剪切,92,剪切,例16图(a)为拖拉机挂钩，已知牵引力F15kN，挂钩的厚度为mm，被连接的板件厚度为mm，插销的材料为20钢，材料的许用切应力为，直径d20mm。试校核插销的剪切强度。,93,剪切,解插销受力如图(b)所示。根据受力情况，插销中段相对于上、下两段，沿m-m、n-n两个面向右错动。所以有两个剪切面，成为双剪切。由平衡方程可求得剪力插销横截面上的切应力为故插销的剪切强度足够。,94,例17木榫接头如图所示，a=b=12cm，h=35cm，c=4.5cm,P=40KN，试求接头的剪应力和挤压应力。,解：受力分析如图,剪应力和挤压应力,剪切面和剪力为,挤压面和挤压力为：,剪切,95,解：键的受力分析如图,例18齿轮与轴由平键（bhL=2012100）连接，它传递的扭矩m=2KNm，轴的直径d=70mm，键的许用剪应力为=60MPa，许用挤压应力为jy=100MPa，试校核键的强度。,剪切,96,综上，键满足强度要求。,剪应力和挤压应力的强度校核,剪切,97,解：键的受力分析如图,例19齿轮与轴由平键（b=16m