全等三角形(知识点讲解)经典例题含答案

全等三角形一、目标认知学习目标：1了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2探索三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式。重点：1. 使学生理解证明的基本过程 ，掌握用综合法证明的格式；2 .三角形全等的性质和条件。难点：1.掌握用综合法证明的格式；2 .选用合适的条件证明两个三角形全等经典例题透析类型一：全等三角形性质的应用1、如图，ABDACE，AB=AC，写出图中的对应边和对应角.思路点拨: AB=AC，AB和AC是对应边，A是公共角，A和A是对应角，按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解.解析：AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，A和A是对应角，B和C，AEC 和ADB是对应角.总结升华：已知两对对应顶点，那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角，第三对角是对应角；再由对应角所对的边是对应边，可找到对应边.已知两对对应边，第三对边是对应边，对应边所对的角是对应角.举一反三：【变式1】如图，ABCDBE.问线段AE和CD相等吗？为什么？【答案】证明：由ABCDBE，得AB=DB,BC=BE， 则AB-BE=DB-BC，即AE=CD。【变式2】如右图，。 求证：AECF【答案】AECF2、如图，已知ABCDEF，A=30，B=50，BF=2，求DFE的度数与EC的长。思路点拨: 由全等三角形性质可知：DFE=ACB，EC+CF=BF+FC，所以只需求ACB的度数与BF的长即可。解析：在ABC中， ACB=180-A-B，又A=30，B=50，所以ACB=100.又因为ABCDEF，所以ACB=DFE，BC=EF（全等三角形对应角相等，对应边相等）。所以DFE=100EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。总结升华：全等三角形的对应角相等，对应边相等。举一反三：【变式1】如图所示，ACDECD，CEFBEF，ACB=90. 求证：（1）CDAB；（2）EFAC.【答案】(1）因为ACDECD，所以ADC=EDC（全等三角形的对应角相等）.因为ADC+EDC=180，所以ADC=EDC=90.所以CDAB.(2）因为CEFBEF,所以CFE=BFE（全等三角形的对应角相等）.因为CFE+BFE=180，所以CFE=BFE=90.因为ACB=90,所以ACB=BFE.所以EFAC.类型二：全等三角形的证明3、如图，ACBD，DFCE，ECBFDA，求证：ADFBCE思路点拨: 欲证ADFBCE，由已知可知已具备一边一角，由公理的条件判断还缺少这角的另一边，可通过ACBD而得解析：ACBD(已知)AB-BDAB-AC(等式性质)即 ADBC在ADF与BCE中ADFBCE(SAS)总结升华：利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形，(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等举一反三：【变式1】如图，已知ABDC，ABDC，求证：ADBC【答案】ABCD34在ABD和CDB中ABDCDB(SAS)12(全等三角形对应角相等)ADBC(内错角相等两直线平行)【变式2】如图，已知EBAD于B，FCAD于C，且EBFC，ABCD 求证 AFDE【答案】EBAD(已知) EBD90(垂直定义)同理可证FCA90EBDFCAABCD，BCBCACAB+BCBC+CDBD在ACF和DBE中ACFDBE(SAS)AFDE(全等三角形对应边相等)类型三：综合应用4、如图，AD为ABC的中线。求证：AB+AC2AD.思路点拨: 要证AB+AC2AD，由图想到：AB+BDAD，AC+CDAD，所以AB+AC+BC2AD，所以不能直接证出。由2AD想到构造一条线段等于2AD，即倍长中线。解析：延长AD至E，使DE=AD，连接BE因为AD为ABC的中线，所以BD=CD.在ACD和EBD中，所以ACDEBD(SAS).所以BE=CA.在ABE中，AB+BEAE，所以AB+AC2AD.总结升华：通过构造三角形全等，将待求的线段放在同一个三角形中。举一反三：【变式1】已知：如图，在RtABC中，AB=AC,BAC=90,1=2，CEBD的延长线于E， 求证：BD=2CE.【答案】分别延长CE、BA交于F. 因为BECF,所以BEF=BEC=90.在BEF和BEC中，所以BEFBEC(ASA).所以CE=FE=CF.又因为BAC=90,BECF.所以BAC=CAF=90，1+BDA=90，1+BFC=90.所以BDA=BFC.在ABD和ACF中，所以ABDACF(AAS)所以BD=CF.所以BD=2CE.5、如图，ABCD，BEDF，BD，求证：(1)AECF，(2)AECF，(3)AFECEF思路点拨: (1)直接通过ABECDF而得，(2)先证明AEBCFD，(3)由(1)(2)可证明AEFCFE而得，总之，欲证两边(角)相等，找这两边(角)所在的两个三角形然后证明它们全等解析：(1)在ABE与CDF中ABECDF(SAS)AECF(全等三角形对应边相等)(2)AEBCFD(全等三角形对应角相等)AECF(内错角相等，两直线平行)(3)在AEF与CFE中AEFCFE(SAS)AFECEF(全等三角形对应角相等)总结升华：在复杂问题中，常将已知全等三角形的对应角(边)作为判定另一对三角形全等的条件举一反三：【变式1】如图，在ABC中，延长AC边上的中线BD到F，使DFBD，延长AB边上的中线CE到G，使EGCE，求证 AFAG【答案】在AGE与BCE中AGEBCE(SAS)AGBC(全等三角形对应边相等)在AFD与CBD中AFDCBD(SAS)AFCB(全等三角形对应边相等)AFAG(等量代换)6、如图 ABAC，BDAC于D，CEAB于E，BD、CE相交于F求证：AF平分BAC思路点拨: 若能证得得AD=AE，由于ADB、AEC都是直角，可证得RtADFRtAEF，而要证AD=AE，就应先考虑RtABD与RtAEC，由题意已知AB=AC，BAC是公共角，可证得RtABDRtACE解析：在RtABD与RtACE中RtABDRtACE(AAS)AD=AE(全等三角形对应边相等)在RtADF与RtAEF中RtADFRtAEF(HL)DAF=EAF(全等三角形对应角相等)AF平分BAC(角平分线的定义)总结升华：条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论。举一反三：【变式1】求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等【答案】根据题意，画出图形，写出已知，求证已知：如图，在ABC与ABC中AB=AB，BC=BC，ADBC于D，ADBC于 D且 AD=AD求证：ABCABC证明：在RtABD与RtABD中RtABD RtABD(HL)B=B(全等三角形对应角相等)在ABC与ABC中ABCABC(SAS)【变式2】已知，如图，AC、BD相交于O，AC=BD，CD90 求证：OC=OD【答案】C=D=90ABD、ACB为直角三角形在RtABD和RtABC中RtABDRtABC(HL)AD=BC在AOD和BOC中AODBOC(AAS)OD=OC7、ABC中，AB=AC，D是底边BC上任意一点，DEAB，DFAC，CGAB垂足分别是E、F、G.试判断：猜测线段 DE、DF、CG的数量有何关系？并证明你的猜想。思路点拨:寻求一题多解和多题一解是掌握规律的捷径解析：结论：DE+DF=CG方法一：（截长法）板书此种方法（3分钟） 作DMCG于M DEAB，CGAB，DMCG 四边形EDMG是矩形 DE=GM DM/AB MDC=B AB=AC B=FCD MDC=FCD 而DMCG，DFAC DMC=CFD 在MDC和FCD中 MDCFCD（AAS） MC=DF DE+DF=GM+MC=CG总结升华：方法二（补短法）作CMED交ED的延长线于M（证明过程略） 总结：截长补短的一般思路，并由此可以引申到截长法有两种截长的想法方法三（面积法）使