云南大学信息学院数学建模-路灯问题

1、 路灯照明问题。在一条20m宽的道路两侧，分别安装了一只2kw和一只3kw的路灯，它们离地面的高度分别为5m和6m。在漆黑的夜晚，当两只路灯开启时，两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮的点在哪里？如果3kw的路灯的高度可以在3m到9m之间变化，如何路面上最暗点的亮度最大？如果两只路灯的高度均可以在3m到9m之间变化，结果又如何？ 解：（1）求最亮点和最暗点一、模型假设：1、 查得光强公式：I=k*(p*sin/r2),其中，k为强度系数，p为功率，为光线与地面的夹角，r为光源与照射点之间的距离。2、 假设两只路灯的k值相同，且均为1。3、 假设光强不受外界因素干扰。如图： 二、模型建立 要求最亮点和最暗点，即求函数最大值和最小值，则求出极值点即可。利用MATLAB求出导数为零的点，输入代码：s=solve(-30*x)/(25+x2)(5/2)+(54*(20-x)/(36+(20-x)2)(5/2); s1=vpa(s,8); s1结果s1 = 19.976696 8.5383043+11.615790*i 8.5383043-11.615790*i9.3382991 0.28489970e-1 因为x=0,所以复数排除X019.979.340.2820I0.0820.0844760.018240.081980.084475综上，当x=19.97时为最亮点，x=9.34时为最暗点。（2）如果3kw的路灯的高度可以在3m到9m之间变化，如何路面上最暗点的亮度最大？3KW的路灯的高度可以在3M到9M之间变化变化时，Q点的照度为关于x和h2的二元函数利用MATLAB求出极值点，输入solve(3/(h2+(20-x)2)(3/2)-3*(3*h2)/(h2+(20-x)2)(5/2)=0)结果为：ans = 20+2(1/2)*h（舍去） 20-2(1/2)*h当x=20-2(1/2)*h时，利用MATLAB求解h2，输入solve(-30*(20-2(1/2)*h)/(25+(20-2(1/2)*h)2)(5/2)+9*h*(20-(20-2(1/2)*h)/(h2+(20-(20-2(1/2)*h)2)(5/2)=0)结果为：ans = 7.4223928896768612557104509932965 14.120774098526835657369742179215因为 h在39之间，所以h2=7.42239m 再利用matlab求解x和亮度I，输入h=7.42239;x=20-2(1/2)*h I=10/(25+x2)(3/2)+(3*h)/(h2+(20-x)2)(3/2) 结果： x = 9.5032 I = 0.0186 可得，x=9.5032 ，h2=7.42239时，最暗点的亮度最大，为0.0186w。（3）如果两只路灯的高度均可以在3m到9m之间变化，结果又如何？I为关于x,h1,h2的三元函数，同解可得：得出利用matlab求解x，h1，h2的值，输入solve(1/(20-x)3)=2/(3*(x3); s1=vpa(s,6); a=(1/sqrt(2)*s1；a1=double(a); b=(1/sqrt(2)*(20-s1); b1=double(b); a1,b1,s1结果为：a1 = 6.5940 5.1883 +12.0274i 5.1883 -12.0274i b1 = 7.5482 8.9538 -12.0274i 8.9538 +12.0274i s1 = 9.32530 7.33738+17.0093*i 7.33738-17.0093*i可得，h1 =6.5940，h2=7.5482 ，x=9.32530时，最暗点的亮度最大。三：模型评价 优点：通过查阅资料，可得出题中未给出的路灯光照强度计算公式，问题二、问题三的逐步深入，使得题目较为应用化和意义化，增强了题目的应用价值，通过该题我们也可以用来设置需要灯光的建筑物的位置。 缺点：该模型的路灯光照强度计算公式考虑不周全，存在一