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文档简介

一、填空题（每小题2分，共16分）1、 . 2、 .3、设，则函数在处的全微分为 .4、D是由所围成区域，则 .5、当a满足 时，条件收敛.6、幂级数的收敛域为 .7、交换积分次序后 .8、微分方程 的通解为 .二、单项选择题（每小题3分，共15分）1、下列广义积分收敛的是（ ）.（A） （B） （C） （D）2、设是连续函数，积分区域，则可化为（ ）.（A） （B） （C） （D）3、设, 则（ ）.（A）（B）（C）（D）4、极限等于（ ）.（A）1（B）2 （C）4（D）85、微分方程的通解是( ).（A）（B）（C）（D）三、计算题(一)（每小题5分，共20分）1、已知, 求.2、设是由方程确定的隐函数，求.3、判断的敛散性；若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛.4、求微分方程 的通解. 四、计算题(二)（每小题7分，共28分）1、求 .2、计算 .3、求幂级数 的收敛域及和函数.4、求微分方程 的通解.五、应用题（每小题8分，共16分）1、设某厂生产甲、乙两种产品，其销售单价分别为10万元、9万元。若生产x件甲种产品和y件乙种产品的总成本为 万元。又已知两种产品的总产量为100件，问两种产品的产量各为多少时，企业利润最大？2、经过坐标原点作曲线的切线,该切线与曲线及x轴围成平面图形D.求：（1）D的面积；（2）D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积. 六、证明题（5分）设在上可微，且，试证存在，使.杭州商学院08/09第二学期微积分(下)试卷(A)参考答案一、1、2 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、二、1、B 2、A 3、A 4、C 5、A三、1、解：1、设，两边从0到2积分, 即,所以 .（5分）2、解：方程两边关于x求偏导， （3分）方程两边关于y求偏导，（5分）3、解： 因为 ，而发散，故原级数非绝对收敛 （2分）原级数为交错级数，且单调下降趋向于零，故原级数条件收敛.（5分）.4、解法1 分离变量并两边积分,得 （2分）（4分）故原方程的通解为（5分） 解法2 原方程写为,是一阶线性微分方程,其通解为 （5分）四、1、解：令， .（7分）2、解：交换积分次序， （7分）3、解：收敛半径端点处, ,收敛；,发散,收敛域为.（3分）设,逐项求导得 ,因为,所以 .（7分）4、解：特征方程 ,特征根为，（2分）对应齐次方程的通解为,（4分）由于不是特征根，故设原方程的特解为,代入原方程解得，即.所以原方程的通解为 （7分）五、1、解：利润为 约束条件： （2分）设拉格朗日函数 ，令 ，解得，由实际问题，此时利润最大。（8分）或解：，代入得：令2、解：设切点为，则切线方程为 ,因为切线过原点,解得，从而，得切点为. （2分）(1) 所求面积为 . （5分）(2) 所求面积为 .（8分）六、证：设
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