河北邢台第一中学高一数学下学期第一次月考

邢台一中20182019学年下学期第一次月考高一年级数学试题一、选择题：（每小题5分，共60分）1.数列，的一个通项公式为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先注意到数列的奇数项为负，偶数项为正，其次数列各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，从而易求出其通项公式【详解】数列an各项值为，各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，|an|2n1又数列的奇数项为负，偶数项为正，an（1）n（2n1）故选：C【点睛】本题给出数列的前几项，猜想数列的通项，挖掘其规律是关键解题时应注意数列的奇数项为负，偶数项为正，否则会错2.若等差数列中，2a1+a3+a5+3a8+a10=36，则a6为（ ）A. 8B. 6C. 4D. 3【答案】D【解析】解：由等差数列的性质可知：2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=23a3+32a9=6(a3+a9)=62a6=12a6=36,a6=3 .本题选择D选项.3.在等差数列an中，已知a2=2，前7项和S7=56，则公差d=（ ）A. 2B. 3C. -2D. -3【答案】B【解析】因为等差数列an中，已知a2=2，前7项和S7=56，所以可得a1+d=2S7=7a1+3d=56a1=1d=3，故选B.4.设等比数列an中，前n项和为Sn，已知S3=8,S6=7，则a7+a8+a9=（ ）A. 18B. 18C. 578D. 558【答案】A【解析】试题分析：因为an是等比数列，所以S3,S6S3,S9S6成等比数列，则S3(S9S6)=(S6S3)2，即8(S9S6)=(1)2，解得S9S6=18，即a7+a8+a9=18，故选A考点：等比数列的性质及其应用5.ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，已知2ccosB=2a+b，则C=（ ）A. 30B. 60C. 120D. 150【答案】C【解析】【分析】由余弦定理可得2ca2+c2-b22ac=2a+b，变形得a2+b2-c2=-ab，根据余弦定理可求得答案【详解】根据题意，若2ccosB=2a+b，则有：2ca2+c2-b22ac=2a+b，整理得：a2+b2-c2=-ab，可得：cosC=a2+b2-c22ab=-ab2ab=-12，又在ABC中，0C180，C=120故选：C【点睛】本题考查三角形中的几何计算，考查了余弦定理的应用，属于基础题6.在等比数列an中，若a4=8a1，且a1,a2+1,a3成等差数列，则其前5项和为（ ）A. 64B. 62C. 32D. 30【答案】B【解析】【分析】设等比数列的公比为q，根据题设条件求得a1=2，q=2，再利用等比数列的求和公式，即可求解.【详解】由题意，设等比数列公比为q，因为a4=8a1，所以a1q3=8a1,a10，解得q=2，又由a1,a2+1,a3成等差数列，所以2(a2+1)=a1+a3，即2(2a1+1)=a1+4a1，解得a1=2，所以S5=2(125)12=62，故选B.【点睛】本题主要考查了等比数列通项公式和前n项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和求和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7.已知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边，已知C=45，c=2，a=x，若满足条件的三角形有两个，则x的取值范围是（ ）A. 2x2B. 22x1C. 1x2D. 1x2【答案】A【解析】【分析】在ABC中，求得asinC=22x，由要使得三角形有两个，得到22xcx，即可求解。【详解】在ABC中，由C=45，c=2，a=x，则asinC=xsin450=22x，要使得三角形有两个，则满足22xcx，即22x2x， 解得2x2，即实数a的取值范围是2,2，故选A.【点睛】本题主要考查了三角形个数的判定及应用，其中解答中熟记正弦定理的应用，以及三角形个数的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8.在ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，已知A=120,a=7，c=5，则sinBsinC=（）A. 85B. 58C. 53D. 35【答案】D【解析】【分析】由已知及余弦定理可得b2+5b-24=0, 求出b的值，再由正弦定理即可求出结果.【详解】因为A=120，a=7，c=5，由余弦定理可得：72=b2+52-2b5cos120，整理可得b2+5b-24=0，解得b=3或b=-8（舍），所以由正弦定理可得sinBsinC=bc=35.【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理，属于基础题型.9.在ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，若cacosB=2abcosA，则ABC的形状为（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形【答案】D【解析】余弦定理得cosA=c2+b2a22bc,cosB=c2+a2b22ac代入原式得c2a2+b22c=2ac2+b2a22bcc2+b2a22c,c2a2+b22ac=c2+b2a22bc解得a=b或c2a2+b2=0则形状为等腰或直角三角形,选D.点睛：判断三角形形状方法化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A+B+C=这个结论10.锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，已知2asinC=3c，a=1，则ABC周长的最大值为（ ）A. 3+1B. 2+1C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理化简2asinC=3c，求得A=3，再利用正弦定理求得b,c边的表达式，然后利用三角恒等变换化简周长的表达式，并由此求得周长的最大值.【详解】依题意，由正弦定理得2sinAsinC=3sinC，即sinA=32，由于三角形为锐角三角形，故A=3，由正弦定理asinA=bsinB=csinC得b=23sinB,c=23sinC，故三角形的周长为1+23sinB+23sinC =1+23sinB+23sin23B =1+2sinB+6，故当B=3，即三角式为等边三角形时，取得最大值为1+2=3，故选C.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理进行边角互化，考查利用正弦定理求三角形周长的最大值，考查三角恒等变换，属于中档题.11.已知数列an满足a1a2a3an=2n2nN*，且对任意的nN*都有1a1+1a2+1an1a1+1a2+.+1an= 12+123+.+122n1 =12114n114=231322n1，又231322n123,t23,t的取值范围是23,+，故选D.【方法点睛】本题主要考查由递推关系求通项公式、等比数列的余弦公式与求和公式以及不等式恒成立问题，属于难题. 对于求不等式恒成立时的参数范围问题，在可能的情况下尽量把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的式子, 这样就把问题转化为一端是含变量式子, 另一端是参数的不等式，便于利用最值法解决问题. 但要注意分离参数法不是万能的, 如果分离参数后,得出的多项式较为复杂, 性质很难研究, 就不要使用分离参数法.12.在ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且BC边上的高为36a,则cb+bc 的最大值是（ ）A. 8B. 6C. 32D. 4【答案】D【解析】bc+cb=b2+c2bc，这个形式很容易联想到余弦定理：cosA=b2+c2a22bc，而条件中的“高”容易联想到面积， 12a36a=12bcsinA，即a223bcsinA，将代入得：b2c22bc(cosA3sinA)，bc+cb2(cosA3sinA)4sin(A6)，当A3时取得最大值4，故选D点睛：三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.二、填空题：（每小题5分，共20分）13.在ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，a=4，b=43，B=60，则A=_.【答案】30【解析】【分析】根据正弦定理求得sinA=asinBb=12，再根据ab，则AB，即可求解，得到答案.【详解】由题意，在ABC中，根据正弦定理得asinA=bsinB，则sinA=asinBb=4sin60043=12，又由ab，则AB，即A(00,600)，所以A=300.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟练应用正弦定理求得sinA的值，再根据三角形的边角关系求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.14.等差数列an与bn的前n项和分别为Sn和Tn,若SnTn=3n22n+1，则a9b9=_.【答案】75【解析】【分析】根据等差数列的前n项公式和等差数列的性质，得出a9b9=a1+a17b1+b17=S17T17，即可求解.【详解】由题意知，等差数列an与bn的前n项和分别为Sn和Tn,满足SnTn=3n22n+1，由等差数列的前n项和公式，可得a9b9=2a92b9=a1+a17b1+b17=172(a1+a17)172(b1+b17)=S17T17=3172217+1=75.【点睛】本题主要考查了等差数列的前n项和公式，及等差数列的性质的应用，其中熟记等差数列的性质和前n项和公式，合理构造是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.15.如图，某学生社团在校园内测量远处某栋楼CD的高度，D为楼顶，线段AB的长度为600m，在A处测得DAB=30，在B处测得DBA=105，且此时看楼顶D的仰角DBC=30，已知楼底C和A、B在同一水平面上，则此楼高度CD=_m（精确到1m）【答案】212【解析】【分析】先在ABD中利用正弦定理求得BD，再在RtBCD中，求得CD即可.【详解】在ABD中，由正弦定理，得：BDsin30=ABsin(180-105-30)，由AB600，得：BD600sin30sin453002，在RtBCD中，因为DBC=30，所以，CD12BD1502212，故答案为212.【点睛】本题考查了正弦定理在实际生活中应用，考查了仰角的概念，属于基础题.16.在数列an中，a1=1,a1+2a2+3a3+nan=n+12an+1(nN*). 则数列an的通项公式an=_【答案】an=1,n=12n3n2,n2【解析】【分析】利用数列的递推关系式，求出相邻两项的关系式，得出数列nan从第二项起是以2为首项，3为公比等比数列，即可求解.【详解】由题意知，数列an满足a1=1,a1+2a2+3a3+nan=n+12an+1,nN，所以a1+2a2+3a3+(n1)an1=n2an,n2两式相减可得nan=n+12an+1n2an，即(n+1)an+1nan=3,n2，令n=1时，a2=a1=1，所以2a2=2，所以数列nan从第二项起构成以2为首项，3为公比的等比数列，所以nan=23n2,n2，所以an=2n3n2,n2所以数列an的通项公式为an=1n=12n3n2,n2.【点睛】本题主要考查了根据数列的递推公式求解数列的通项公式，以及等比数列通项公式的应用，其中解答中合理利用数列的递推公式，得到数列nan从第二项起是以2为首项，3为公比等比数列是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，ABC的面积为S，若4S=a2+b2c2.(1)求角C;(2)若a=1，C=2，求B.【答案】（1）4；（2）712.【解析】【分析】(1)利用三角形的面积公式，余弦定理化简已知等式可求tanC=1，结合范围C(0,)，可求C的值(2)由已知利用正弦定理可求sinA=12，利用大边对大角可求AC，进而可求A的值，根据三角形内角和定理可求B的值【详解】解：(1)S=12absinC，a2+b2c2=2abcosC，4S=a2+b2c2，2absinC=2abcosC，sinC=cosC，可得tanC=1，C(0,)，C=4(2)a=1，c=2，C=4，由asinA=csinC，可得：sinA=asinCc=1222=12，ac，可得AC，A=6，B=AC=64=712【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理，大边对大角，三角形内角和定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18.在ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，C=60，2c=3b.(1)求角A,B的大小；(2)若D为边AC上一点，且a=4，BCD的面积为3，求BD的长.【答案】(1)A=75,B=45；(2)BD=13【解析】【分析】（1）由正弦定理得：32sinB=cb=32，解得sinB，结合bc，可得B为锐角，利用三角形内角和定理可求B，A的值（2）利用三角形面积公式及已知可求CD，由余弦定理即可解得BD的值【详解】（1）C60，可得：sinC=32，由2c=3b，可得：cb=32，又由正弦定理cb=sinCsinB，可得：32sinB=32，解得：sinB=22，由已知可得bc，可得B为锐角，可得：B45，A180BC75（2）BCD的面积为3，即：12aCDsinC=124CD32=3，解得：CD1，由余弦定理可得：BD=BC2+CD2-2BCCDcosC=42+12-24112=13【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角形内角和定理，考查了数形结合思想的应用和计算能力，属于中档题19.已知正项等比数列an满足a4=a2a3，前三项和S3=13(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足bn=log3an+n，1bnbn+1的前n项和为Tn，证明：Tn0q=3an=a1qn-1=3n-1（2）bn=log33n-1+n=2n-11bnbn+1=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)Tn=12(1-12n+1)=n2n+1点睛：本题主要考查递推公式求通项的应用，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：（1）1nn+k=1k1n1n+k；（2） 1n+k+n=1kn+kn； （3）12n12n+1=1212n112n+1；（4）1nn+1n+2=121nn+11n+1n+2；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.20.在ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，且csin2-A是acosB与bcosA的等差中项. （1）求角A； （2）若2a=b+c，且ABC的外接圆半径为1，求ABC的面积.【答案】（1）3；（2）334.【解析】【分析】（1）由题意，得2ccosA=acosB+bcosA，由正弦定理，化简2sinCcosA=sinC，进而得到cosA，即可求解；（2）设ABC的外接圆半径为R，求得a=2RsinA=3，利用余弦定理求得bc=3，进而利用面积公式，即可求解【详解】（1）因为csin2-A是acosB与bcosA的等差中项.所以2ccosA=acosB+bcosA.由正弦定理得2sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA，从而可得2sinCcosA=sinC，又C为三角形的内角，所以sinC0，于是cosA=12，又A为三角形内角，因此A=3.（2）设ABC的外接圆半径为R，则R=1，a=2RsinA=3，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos3=(b+c)2-3bc，即3=12-3bc，所以bc=3.所以ABC的面积为S=12bcsinA=334.【点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到21.已知数列an满足an+1=2an+2n(nN*,R),且a1=1.(1)证明数列an2n是等差数列;(2)求数列an前n项和Sn.【答案】(1)见解析；（2）Sn=1+(n-1)2n.【解析】试题分析：（1）对题设中的递推关系变形为an+12n+1=an2n+12，从而得到一个新的等差数列an2n，其通项为an2n=n2，由此得an=n2n1.（2）利用错位相减法求Sn.解析：(1)由an+1=2an+2nnN ,等式两端同时除以2n+1到an+12n+1=an2n+12,即 an+12n+1an2n=12 ,(2)a121=12,数列an2n 是首项为12,公差为12的等差数列,an2n=12+n112=n2, an=n2n1，数列an的前n项