参数估计习题课

第21讲 参数估计习题课教学目的：1. 通过练习使学生进一步掌握矩估计和最大似然估计的计算方法； 2. 通过练习使学生理解无偏性和有效性对于评价估计量标准的重要性； 3. 通过练习使学生进一步掌握正态总体参数的区间估计和单侧置信限。教学重点：矩估计和最大似然估计，无偏性与有效性，正态总体参数的区间估计。教学难点：矩估计，最大似然估计，正态总体参数的区间估计。教学时数：2学时。教学过程：一、知识要点回顾1. 矩估计 用各阶样本原点矩 作为各阶总体原点矩的估计,。若有参数，则参数的矩估计为。2. 最大似然估计似然函数，取对数，从=0中解得的最大似然估计。3. 无偏性,有效性当时，称为的无偏估计。 当时，称估计量比有效。二 、典型例题解析1设，求的矩估计。解 设则=故，所以。2. 设总体在上服从均匀分布，求a和b的矩估计。解 由均匀分布的数学期望和方差知 （1） （2）由（1）解得，代入（2）得， 整理得，解得故得的矩估计为其中。3设总体的密度函数为，求的最大似然估计。解 设，则4 设总体的密度函数已知），求参数的最大似然估计。解 解得 。5. 设和为参数的两个独立的无偏估计量，且假定，求常数和，使为的无偏估计，并使方差最小。解 由于,且知，故得c+d=1。又由于并使其最小，即使，满足条件c+d=1的最小值。令d=1-c，代入得，解得。7. 设某电子元件的寿命服从正态分布，抽样检查10个元件，得样本均值，样本标准差。求 (1) 总体均值置信水平为的置信区间； (2) 用作为的估计值，求绝对误差值不大于10（h）的概率。解 (1)由于未知，s=14（h）,根据求置信区间的公式得 查表得，故总体均值置信水平为的置信区间为 (2) 1-0.05=0.958. 设为正态总体的一个样本，确定常数的值，使为的无偏估计。解 由于，所以有 由（无偏性），故有，所以。二、计算题窗体顶端1.某工厂生产滚珠.从某日生产的产品中随机抽取9个,测得直径(单位:mm)如下: 14.6 14.7 15.1 14.9 15.0 14.8 15.1 15.2 14.8用矩估计法估计该日生产的滚珠的平均直径和均方差.解. 设滚珠的直径为X, 平均直径为,均方差为. 由矩估计法可知 , 而 , . , 而 =0.03654, . 窗体底端窗体顶端2.设总体X的密度函数为 , 其中 (0), 求的极大似然估计量.解. 设(X1, X2, Xn)是来自X的一样本.由极大似然估计原理,参数的似然函数为: , 上式两边取对数 , 似然方程为 , 解似然方程得的极大似然估计量是 .窗体底端窗体顶端3.设总体X的密度函数为 , 求的极大似然估计量和矩估计量.解. 设(X1, X2, Xn)是来自X的样本. (1)由矩估计法, . 即参数的矩估计量是 . (2) 由极大似然估计原理, 参数的似然函数为 ,上式两边取对数 ,似然方程为 ,解似然方程得到参数的极大似然估计量是 .1设，求的矩估计。解 设则=故，所以。3. 一地质学家研究密歇根湖湖地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品有10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数。假设这100次观察相互独立，并由过去经验知，它们都服从参数为n=10，P的二项分布。P是该地区一块石子是石灰石的概率。求p的极大似然估计值，该地质学家所得的数据如下样品中属石灰石的石子数012345678910观察到石灰石的样品个数016723262112310解：的极大似然估计值为=0.499 4. 设X1，X1，Xn为总体的样本，求各未知参数的极大似然估计值和估计量（1）其中c0为已知，1，为未知参数。（2）其中0，为未知参数。解（1）似然函数（解唯一故为极大似然估计量）（2）。(解唯一)故为极大似然估计量。6. 设样本来自总体，如果要以99.7%的概率保证，试问样本容量n应取多大？解：。现要求n,使 即，查表得，所以n=219，即样本容量为219。8. 设总体X具有分布律X123Pk22(1)(1) 2其中(01)为未知参数。已知取得了样本值x1=1，x2=2，