江苏启东数学大一轮讲义四数列、推理与证明第1讲等差数列和等比数列pdf

67 专题四 数列、推理与证明 专题四 数列、推理与证明 第第 1 讲 等差数列和等比数列讲 等差数列和等比数列 总序总序 9 考情解读 (1)等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现(2)数列求和及数 列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力 热点一 等差数列 例 1 (1)等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a2a4a612，则 S7的值是_ (2)设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若1a31,0a63，则 S9的取值范围是_ 思维启迪 (1)利用 a1a72a4建立 S7和已知条件的联系； (2)将 a3， a6的范围整体代入或者利用线性规划 答案 (1)28 (2)(3,21) 解析 (1)由题意可知，a2a62a4，则 3a412，a44， 所以 S77a 1a7 2 7a428. (2)S99a136d3(a12d)6(a15d)，又1a31,0a63， 所以33(a12d)3,06(a15d)18，故3S9|a5|，Sn是数列的前 n 项的和，则下列说法正确的是_ S1，S2，S3均小于 0，S4，S5，S6均大于 0；S1，S2，S5均小于 0，S6，S7，均大于 0； S1，S2，S9均小于 0，S10，S11均大于 0；S1，S2，S11均小于 0，S12，S13均大于 0. 答案 (1)15 (2) 解析 (1)因为 a8是 a7，a9的等差中项，所以 2a8a7a916a88， 再由等差数列前 n 项和的计算公式可得 S1111a 1a11 2 11 2a 6 2 11a6， 又因为 S1199 2 ，所以 a69 2，则 d a8a6 2 7 4，所以 a12a84d15. (2)由题意可知 a6a50，故 S10a 1a1010 2 a 5a610 2 0，而 S9a 1a99 2 2a 59 2 9a50. 热点二 等比数列 例 2 (1)数列an是等差数列，若 a11，a33，a55 构成公比为 q 的等比数列，则 q_. (2)已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 a1a35 2，a2a4 5 4，则 Sn an_. 答案 (1)1 (2)2n1 解析 (1)设等差数列的公差为 d，则 a3a12d， a5a14d， (a12d3)2(a11)(a14d5)，解得 d1，qa 33 a11 a123 a11 1. 68 (2) a1a35 2， a2a45 4， a1a1q25 2， a1qa1q35 4， 由可得1q 2 qq32，q 1 2，代入得 a12， an2(1 2) n14 2n，Sn 211 2 n 11 2 4(1 1 2n)， Sn an 41 1 2n 4 2n 2n1. 思维升华 (1)an为等比数列，其性质如下： 若 m、n、r、sN*，且 mnrs，则 am anar as； anamqn m； Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列(q1) (2) 等比数列前 n 项和公式 Sn na1q1， a11qn 1q a 1anq 1q q1. 能“知三求二”；注意讨论公比 q 是否为 1；a10. (1)已知各项不为 0 的等差数列an满足 a42a273a80，数列bn是等比数列，且 b7a7， 则 b2b8b11_. (2)在等比数列an中，a1an34，a2 an164，且前 n 项和 Sn62，则项数 n_. 答案 (1)8 (2)5 解析 (1)a42a273a80，2a27a43a8，即 2a274a7， a72，b72，又b2b8b11b1qb1q7b1q10b31q18(b7)38. (2)设等比数列an的公比为 q，由 a2an1a1an64，又 a1an34，解得 a12，an32 或 a132， an2.当 a12，an32 时，Sna 11qn 1q a 1anq 1q 232q 1q 62，解得 q2.又 ana1qn 1， 所以 2 2n 12n32，解得 n5.同理，当 a 132，an2 时，由 Sn62，解得 q1 2. 由 ana1qn 132 (1 2) n12，得(1 2) n11 16( 1 2) 4，即 n14，n5.综上，项数 n 等于 5. 热点三 等差数列、等比数列的综合应用 例 3 已知等差数列an的公差为1，且 a2a7a126. (1)求数列an的通项公式 an与前 n 项和 Sn； (2)将数列an的前 4 项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列bn的前 3 项，记bn的前 n 项和为 Tn，若存在 mN*，使对任意 nN*，总有 SnTm 恒成立，求实数 的取值范围 思维启迪 (1)利用方程思想求出 a1，代入公式求出 an和 Sn；(2)将恒成立问题通过分离法转化为最值 解 (1)由 a2a7a126 得 a72，a14，an5n，从而 Snn9n 2 . (2)由题意知 b14，b22，b31，设等比数列bn的公比为 q，则 qb 2 b1 1 2， 69 Tm 411 2 m 11 2 81(1 2) m，(1 2) m随 m 增加而递减，Tm为递增数列，得 4Tm8. 又 Snn9n 2 1 2(n 29n)1 2(n 9 2) 281 4 ，故(Sn)maxS4S510， 若存在 mN*，使对任意 nN*总有 SnTm，则 106.即实数 的取值范围为(6，) 已知数列an前 n 项和为 Sn，首项为 a1，且1 2，an，Sn成等差数列 (1)求数列an的通项公式； (2)若数列bn满足 bn(log2a2n1) (log2a2n3)，求证： 1 b1 1 b2 1 b3 1 bn 1 2. (1)解 1 2，an，Sn成等差数列，2anSn 1 2， 当 n1 时，2a1S11 2，a1 1 2，当 n2 时，Sn2an 1 2，Sn12an1 1 2， 两式相减得 anSnSn12an2an1， an an12， 数列an是首项为1 2，公比为 2 的等比数列，an 1 2 2 n12n2. (2)证明 bn(log2a2n1) (log2a2n3)log222n 12 log 222n 32(2n1)(2n1)， 1 bn 1 2n1 1 2n1 1 2( 1 2n1 1 2n1)， 1 b1 1 b2 1 b3 1 bn 1 2(1 1 3)( 1 3 1 5)( 1 2n1 1 2n1) 1 2(1 1 2n1)0.a7a10a8a90， a90；若 a40，则 a2 0140. 答案 解析 因为 a3a1q2，a2 013a1q2 012，而 q2与 q2 012均为正数，若 a30，则 a10，所以 a2 0130. 70 2已知数列an是首项为 a，公差为 1 的等差数列，bn1a n an .若对任意的 nN*，都有 bnb8成立，则实 数 a 的取值范围为_ 答案 (8，7) 解析 ana(n1) 1na1，所以 bn1a n an na na1， 因为对任意的 nN*，都有 bnb8成立，即 na