2010年山东省高考文科数学真题及答案

2010年山东省高考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）已知全集U=R，集合M=x|x240，则UM=（）Ax|2x2Bx|2x2Cx|x2或x2Dx|x2或x22（5分）已知=b+i（a，bR），其中i为虚数单位，则a+b=（）A1B1C2D33（5分）函数f（x）=log2（3x+1）的值域为（）A（0，+）B0，+）C（1，+）D1，+）4（5分）在空间，下列命题正确的是（）A平行直线的平行投影重合B平行于同一直线的两个平面平行C垂直于同一平面的两个平面平行D垂直于同一平面的两条直线平行5（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（1）=（）A3B1C1D36（5分）在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数的平均值和方差分别为（）A92，2B92，2.8C93，2D93，2.87（5分）设an是首项大于零的等比数列，则“a1a2”是“数列an是递增数列”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件8（5分）已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为y=x3+81x234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（）A13万件B11万件C9万件D7万件9（5分）已知抛物线y2=2px（p0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（）Ax=1Bx=1Cx=2Dx=210（5分）观察（x2）=2x，（x4）=4x3，y=f（x），由归纳推理可得：若定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（x）=（）Af（x）Bf（x）Cg（x）Dg（x）11（5分）函数y=2xx2的图象大致是（）ABCD12（5分）定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的，令，下面说法错误的是（）A若与共线，则=0B=C对任意的R，有=）D（）2+（）2=|2|2二、填空题（共4小题，每小题4，满分16分）13（4分）执行如图所示的程序框图，若输入x=10，则输出y的值为14（4分）已知x，yR+，且满足，则xy的最大值为15（4分）ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=2，sinB+cosB=，则角A的大小为16（4分）已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x1被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为三、解答题（共6小题，满分74分）17（12分）已知函数f（x）=sin（x）cosx+cos2x（0）的最小正周期为（）求的值；（）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间上的最小值18（12分）已知等差数列an满足a3=7，a5+a7=26an的前n项和为Sn（1）求an及Sn；（2）令bn=（nN*），求数列bn的前n项和Tn19（12分）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4（）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求nm+2的概率20（12分）如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA平面ABCD，PDMA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD=PD=2MA（）求证：平面EFG平面PDC；（）求三棱锥PMAB与四棱锥PABCD的体积之比21（12分）已知函数（）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程；（）当时，讨论f（x）的单调性22（14分）如图，已知椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为F1、F2点p为直线l：x+y=2上且不在x轴上的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线PF1、PF2的斜线分别为k1、k2证明：；问直线l上是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD满足kOA+kOB+kOC+kOD=0？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由2010年山东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）（2010山东）已知全集U=R，集合M=x|x240，则UM=（）Ax|2x2Bx|2x2Cx|x2或x2Dx|x2或x2【分析】由题意全集U=R，集合M=x|x240，然后根据交集的定义和运算法则进行计算【解答】解：因为M=x|x240=x|2x2，全集U=R，所以CUM=x|x2或x2，故选C2（5分）（2010山东）已知=b+i（a，bR），其中i为虚数单位，则a+b=（）A1B1C2D3【分析】先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果【解答】解：由得a+2i=bi1，所以由复数相等的意义知a=1，b=2，所以a+b=1另解：由得ai+2=b+i（a，bR），则a=1，b=2，a+b=1故选B3（5分）（2010山东）函数f（x）=log2（3x+1）的值域为（）A（0，+）B0，+）C（1，+）D1，+）【分析】函数的定义域为R，结合指数函数性质可知3x0恒成立，则真数3x+11恒成立，再结合对数函数性质即可求得本题值域【解答】解：根据对数函数的定义可知，真数3x+10恒成立，解得xR因此，该函数的定义域为R，原函数f（x）=log2（3x+1）是由对数函数y=log2t和t=3x+1复合的复合函数由复合函数的单调性定义（同増异减）知道，原函数在定义域R上是单调递增的根据指数函数的性质可知，3x0，所以，3x+11，所以f（x）=log2（3x+1）log21=0，故选A4（5分）（2010山东）在空间，下列命题正确的是（）A平行直线的平行投影重合B平行于同一直线的两个平面平行C垂直于同一平面的两个平面平行D垂直于同一平面的两条直线平行【分析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理，可以很容易得出答案【解答】解：平行直线的平行投影重合，还可能平行，A错误平行于同一直线的两个平面平行，两个平面可能相交，B错误垂直于同一平面的两个平面平行，可能相交，C错误故选D5（5分）（2010山东）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（1）=（）A3B1C1D3【分析】首先由奇函数性质f（0）=0求出f（x）的解析式，然后利用定义f（x）=f（x）求f（1）的值【解答】解：因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（0）=20+20+b=0，解得b=1，所以当x0时，f（x）=2x+2x1，又因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（1）=f（1）=（21+211）=3，故选A6（5分）（2010山东）在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数的平均值和方差分别为（）A92，2B92，2.8C93，2D93，2.8【分析】平均数就将剩余5个数的和除以5即可得到；方差就是将数据代入方差公式s2=（x1）2+（x2）2+（x3）2+（xn）2即可求得【解答】解：由题意知，所剩数据为90，90，93，94，93，所以其平均值为90+（3+4+3）=92；方差为（222+122+22）=2.8，故选B7（5分）（2010山东）设an是首项大于零的等比数列，则“a1a2”是“数列an是递增数列”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】首项大于零是前提条件，则由“q1，a10”来判断是等比数列an是递增数列【解答】解：若已知a1a2，则设数列an的公比为q，因为a1a2，所以有a1a1q，解得q1，又a10，所以数列an是递增数列；反之，若数列an是递增数列，则公比q1且a10，所以a1a1q，即a1a2，所以a1a2是数列an是递增数列的充分必要条件故选C8（5分）（2010山东）已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为y=x3+81x234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（）A13万件B11万件C9万件D7万件【分析】由题意先对函数y进行求导，解出极值点，然后再根据函数的定义域，把极值点和区间端点值代入已知函数，比较函数值的大小，求出最大值即最大年利润的年产量【解答】解：令导数y=x2+810，解得0x9；令导数y=x2+810，解得x9，所以函数y=x3+81x234在区间（0，9）上是增函数，在区间（9，+）上是减函数，所以在x=9处取极大值，也是最大值故选：C9（5分）（2010山东）已知抛物线y2=2px（p0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（）Ax=1Bx=1Cx=2Dx=2【分析】先假设A，B的坐标，根据A，B满足抛物线方程将其代入得到两个关系式，再将两个关系式相减根据直线的斜率和线段AB的中点的纵坐标的值可求出p的值，进而得到准线方程【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），则有y12=2px1，y22=2px2，两式相减得：（y1y2）（y1+y2）=2p（x1x2），又因为直线的斜率为1，所以=1，所以有y1+y2=2p，又线段AB的中点的纵坐标为2，即y1+y2=4，所以p=2，所以抛物线的准线方程为x=1故选B10（5分）（2010山东）观察（x2）=2x，（x4）=4x3，y=f（x），由归纳推理可得：若定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（x）=（）Af（x）Bf（x）Cg（x）Dg（x）【分析】首先由给出的例子归纳推理得出偶函数的导函数是奇函数，然后由g（x）的奇偶性即可得出答案【解答】解：由给出的例子可以归纳推理得出：若函数f（x）是偶函数，则它的导函数是奇函数，因为定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x），即函数f（x）是偶函数，所以它的导函数是奇函数，即有g（x）=g（x），故选D11（5分）（2010山东）函数y=2xx2的图象大致是（）ABCD【分析】充分利用函数图象中特殊点加以解决如函数的零点2，4；函数的特殊函数值f（2）符号加以解决即可【解答】解：因为当x=2或4时，2xx2=0，所以排除B、C；当x=2时，2xx2=，故排除D，所以选A12（5分）（2010山东）定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的，令，下面说法错误的是（）A若与共线，则=0B=C对任意的R，有=）D（）2+（）2=|2|2【分析】根据题意对选项逐一分析若与共线，则有，故A正确；因为，而，所以有，故选项B错误，对于C，=qmpn，而）=（qmpn）=qmpn，故C正确，对于D，（）2+（）2=（qmpn）2+（mp+nq）2=（m2+n2）（p2+q2）=|2|2，D正确；得到答案【解答】解：对于A，若与共线，则有，故A正确；对于B，因为，而，所以有，故选项B错误，对于C，=qmpn，而）=（qmpn）=qmpn，故C正确，对于D，（）2+（）2=（qmpn）2+（mp+nq）2=（m2+n2）（p2+q2）=|2|2，D正确；故选B二、填空题（共4小题，每小题4，满分16分）13（4分）（2010山东）执行如图所示的程序框图，若输入x=10，则输出y的值为【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量y的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：x y 是否继续循环循环前 10第一圈 10 4 是第二圈 4 1 是第三圈 1是第四圈否故输出y的值为故答案为：14（4分）（2010山东）已知x，yR+，且满足，则xy的最大值为3【分析】本题为利用基本不等式求最值，可直接由条件出发，求解【解答】解：因为x0，y0，所以（当且仅当，即x=，y=2时取等号），于是，xy3故答案为：315（4分）（2010山东）ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=2，sinB+cosB=，则角A的大小为【分析】由条件由sinB+cosB=得1+2sinBcosB=2，即sin2B=1，根据三角形的内角和定理得到0B得到B的度数利用正弦定理求出A即可【解答】解：由sinB+cosB=得1+2sinBcosB=2，即sin2B=1，因为0B，所以B=45，b=2，所以在ABC中，由正弦定理得：，解得sinA=，又ab，所以AB=45，所以A=30故答案为16（4分）（2010山东）已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x1被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为（x3）2+y2=4【分析】利用圆心，半径（圆心和点（1，0）的距离）、半弦长、弦心距的关系，求出圆心坐标，然后求出圆C的标准方程【解答】解：由题意，设圆心坐标为（a，0），则由直线l：y=x1被该圆所截得的弦长为得，解得a=3或1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以a=3，故圆心坐标为（3，0），又已知圆C过点（1，0），所以所求圆的半径为2，故圆C的标准方程为（x3）2+y2=4故答案为：（x3）2+y2=4三、解答题（共6小题，满分74分）17（12分）（2010山东）已知函数f（x）=sin（x）cosx+cos2x（0）的最小正周期为（）求的值；（）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间上的最小值【分析】（1）本小题主要考查综合运用三角函数公式、三角函数的性质，进行运算、变形、转换和求解的能力（2）要求三角函数的有关性质的问题，题目都要变形到y=Asin（x+）的形式，变形时利用诱导公式和二倍角公式逆用【解答】解：（）f（x）=sin（x）cosx+cos2x，f（x）=sinxcosx+=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+由于0，依题意得，所以=1；（）由（）知f（x）=sin（2x+）+，g（x）=f（2x）=sin（4x+）+0x时，4x+，sin（4x+）1，1g（x），g（x）在此区间内的最小值为118（12分）（2010山东）已知等差数列an满足a3=7，a5+a7=26an的前n项和为Sn（1）求an及Sn；（2）令bn=（nN*），求数列bn的前n项和Tn【分析】（1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出（2）an=2n+1，可得bn=，再利用“裂项求和”即可得出【解答】解：（1）设等差数列an的首项为a1，公差为d，由于a3=7，a5+a7=26，a1+2d=7，2a1+10d=26，解得a1=3，d=2an=a1+（n1）d=2n+1，Sn=n2+2n（2）an=2n+1，bn=，因此Tn=b1+b2+bn=+=19（12分）（2010山东）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4（）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求nm+2的概率【分析】（1）从袋中随机抽取两个球，可能的结果有6种，而取出的球的编号之和不大于4的事件有两个，1和2，1和3，两种情况，求比值得到结果（2）有放回的取球，根据分步计数原理可知有16种结果，满足条件的比较多不好列举，可以从他的对立事件来做【解答】解：（1）从袋中随机抽取两个球，可能的结果有6种，而取出的球的编号之和不大于4的事件有两个，1和2，1和3，取出的球的编号之和不大于4的概率P=（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，所有（m，n）有44=16种，而nm+2有1和3，1和4，2和4三种结果，P=1=20（12分）（2010山东）如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA平面ABCD，PDMA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD=PD=2MA（）求证：平面EFG平面PDC；（）求三棱锥PMAB与四棱锥PABCD的体积之比【分析】（I）欲证平面EFG平面PDC，根据面面垂直的判定定理可知在平面EFG内一直线与平面PDC垂直，而根据线面垂直的判定定理可知GF平面PDC，GF平面EFG，满足定理条件；（II）不妨设MA=1，求出PD=AD，得到VpABCD=S正方形ABCD，求出PD，根据DA面MAB，所以DA即为点P到平面MAB的距离，根据三棱锥的体积公式求出体积得到V PMAB：V PABCD的比值【解答】解：（I）证明：由已知MA平面ABCD，PDMA，所以PD平面ABCD又BC平面ABCD，因为四边形ABCD为正方形，所以PDBC又PDDC=D，因此BC平面PDC在PBC中，因为G、F分别是PB、PC中点，所以GFBC因此GF平面PDC又GF平面EFG，所以平面EFG平面PDC；（）因为PD平面ABCD，四边形ABCD为正方形，不妨设MA=1，则PD=AD=2，所以VpABCD=S正方形ABCD，PD=由于DA面MAB的距离所以DA即为点P到平面MAB的距离，三棱锥VpMAB=122=，所以VPMAB：VPABCD=1：421（12分）（2010山东）已知函数（）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程；（）当时，讨论f（x）的单调性【分析】（）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决（）利用导数来讨论函数的单调性即可，具体的步骤是：（1）确定 f（x）的定义域；（2）求导数f（x）；（3）在函数的定义域内解不等式f（x）0和f（x）0；（4）确定函数的单调区间若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论【解答】解：（）当a=1时，f（x）=lnx+x+1，x（0，+），所以f（x）=+1，因此，f（2）=1，即曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线斜率为1，又f（2）=ln2+2，y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程为y（ln2+2）=x2，所以曲线，即xy+ln2=0；（）因为，所以=，x（0，+），令g（x）=ax2x+1a，x（0，+），（1）当a=0时，g（x）=x+1，x（0，+），所以，当x（0，1）时，g（x）0，此时f（x）0，函数f（x）单调递减；（2）当a0时，由g（x）=0，即ax2x+1a=0，解得x1=1，x2=1当a=时，x1=x2，g（x）0恒成立，此时f（x）0，函数f（x）在（0，+）上单调递减；当0a时，x（0，1）时，g（x）0，此时f（x）0，函数f（x）单调递减，x（1，1）时，g（x）0，此时f（x）0，函数f（x）单调递增，x（1，+）时，g（x）0，此时f（x）0，函数f（x）单调递减；当a0时，由于10，x（0，1）时，g（x）0，此时f（x）0函数f（x）单调递减；x（1，+）时，g（x）0此时函数f（x）0函数f（x）单调递增综上所述：当a0时，函数f（x）在（0，1）上单调递减；函数f（x）在（1，+）上单调递增当a=时，函数f（x）在（0，