第七章-微分方程 1

第七章微分方程,积分问题,微分方程问题,推广,第七章,第一节微分方程的基本概念与一阶微分方程解法,一阶微分方程的基本概念与解法,引例,几何问题,物理问题,第七章,引例1.,一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的,解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:,(C为任意常数),由得C=1,因此所求曲线方程为,由得,切线斜率为2x,求该曲线的方程.,引例2.列车在平直路上以,的速度行驶,制动时,获得加速度,求制动后列车的运动规律.,解:设列车在制动后t秒行驶了s米,已知,由前一式两次积分,可得,利用后两式可得,因此所求运动规律为,说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才,能停住,以及制动后行驶了多少路程.,即求s=s(t).,常微分方程,偏微分方程,含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程,(本章内容),(n阶显式微分方程),一、微分方程的基本概念,一般地,n阶常微分方程的形式是,的阶.,分类,或,使方程成为恒等式的函数.,通解,解中所含独立的任意常数的个数与方程,确定通解中任意常数的条件.,n阶方程的初始条件(或初值条件):,的阶数相同.,特解,通解:,特解:,微分方程的解,不含任意常数的解,定解条件,其图形称为积分曲线.,其图形称为积分曲线族.,例1.验证函数,是微分方程,的解,的特解.,解:,这说明,是方程的解.,是两个独立的任意常数,利用初始条件易得:,故所求特解为,故它是方程的通解.,并求满足初始条件,求所满足的微分方程.,例2.已知曲线上点P(x,y)处的法线与x轴交点为Q,解:如图所示,令Y=0,得Q点的横坐标,即,点P(x,y)处的法线方程为,且线段PQ被y轴平分,1、可分离变量微分方程,或,可分离变量方程。,形如,的微分方程称为,解法：可分离变量方程的解法:,两边积分,得,则有,称为方程的隐式通解.,二、一阶微分方程的解法,例1.求微分方程,的通解.,解:分离变量得,两边积分,得,即,(C为任意常数),或,说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,(此式含分离变量时丢失的解y=0),例2.解初值问题,解:分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得C=1,(C为任意常数),故所求特解为,例3.求下述微分方程的通解:,解:令,则,故有,即,解得,(C为任意常数),所求通解:,练习:,解法1分离变量,即,(C0),解法2,故有,积分,(C为任意常数),所求通解:,例4.,子的含量M成正比,求在,衰变过程中铀含量M(t)随时间t的变化规律.,解:根据题意,有,(初始条件),对方程分离变量,即,利用初始条件,得,故所求铀的变化规律为,然后积分:,已知t=0时铀的含量为,已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原,例5.,成正比,求,解:根据牛顿第二定律列方程,初始条件为,对方程分离变量,然后积分:,得,利用初始条件,得,代入上式后化简,得特解,并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度,降落伞下落速度与时间的函数关系.,t足够大时,2、齐次方程,形如,的方程叫做齐次方程.,令,代入原方程得,两边积分,得,积分后再用,代替u,便得原方程的通解.,解法:,分离变量:,例1.解微分方程,解:,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,(当C=0时,y=0也是方程的解),(C为任意常数),例2.解微分方程,解:,则有,分离变量,积分得,代回原变量得通解,即,说明:显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在,(C为任意常数),求解过程中丢失了.,3、一阶线性微分方程,一阶线性微分方程标准形式:,若Q(x)0,称为非齐次方程.,1.解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,称为齐次方程;,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2.解非齐次方程,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,例1.解方程,解:先解,即,积分得,即,用常数变易法求特解.令,则,代入非齐次方程得,解得,故原方程通解为,4、伯努利(Bernoulli)方程,伯努利方程的标准形式:,令,求出此方程通解后,除方程两边,得,换回原变量即得伯努利方程的通解.,解法:,(线性方程),例4.求方程,的通解.,解:令,则方程变形为,其通解为,将,代入,得原方程通解:,一、可降阶高阶微分方程,第七章,二、线性微分方程解的结构,第二节,一、可降阶的高阶微分方程,1、型的微分方程2、型的微分方程3、型的微分方程,1、,令,因此,即,同理可得,依次通过n次积分,可得含n个任意常数的通解.,型的微分方程,一、可降阶高阶微分方程,例1.,解:,型的微分方程,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分,得原方程的通解,2、,例2.求解,解:,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,两端再积分得,利用,因此所求特解为,3、,型的微分方程,令,故方程化为,设其通解为,即得,分离变量后积分,得原方程的通解,例3.求解,代入方程得,两端积分得,(一阶线性齐次方程),故所求通解为,解:,例4.解初值问题,解:令,代入方程得,积分得,利用初始条件,根据,积分得,故所求特解为,得,为曲边的曲边梯形面积,上述两直线与x轴围成的三角形面,例4.,二阶可导,且,上任一点P(x,y)作该曲线的,切线及x轴的垂线,区间0,x上以,解:,于是,在点P(x,y)处的切线倾角为,满足的方程.,积记为,(99考研),再利用y(0)=1得,利用,得,两边对x求导,得,定解条件为,方程化为,利用定解条件得,得,故所求曲线方程为,二、高阶线性微分方程解的结构,2、线性齐次方程解的结构,3、线性非齐次方程解的结构,1、二阶线性微分方程,第七章,的方程，叫二阶线性微分方程。,二阶线性齐次微分方程,二阶线性非齐次微分方程,的方程，叫n阶线性微分方程。,1、二阶线性微分方程的概念,形如,一般地，形如,二、高阶线性微分方程解的结构,证毕,2、线性齐次方程解的结构,是二阶线性齐次方程,的两个解,也是该方程的解.,证:,代入方程左边,得,(叠加原理),定理1.,说明:,不一定是所给二阶方程的通解.,例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解,并不是通解,但是,则,为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与,线性无关概念.,定义:,是定义在区间I上的,n个函数,使得,则称这n个函数在I上线性相关,否则称为线性无关.,例如，,在(,)上都有,故它们在任何区间I上都线性相关;,又如，,若在某区间I上,则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为0,可见,在任何区间I上都线性无关.,若存在不全为0的常数,两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件:,线性相关,存在不全为0的,使,线性无关,常数,思考:,中有一个恒为0,则,必线性,相关,(证明略),线性无关,定理2.,是二阶线性齐次方程的两个线,性无关特解,则,数)是该方程的通解.,例如,方程,有特解,且,常数,故方程的通解为,推论.,是n阶齐次方程,的n个线性无关解,则方程的通解为,3、线性非齐次方程解的结构,是二阶非齐次方程,的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理3.,则,是非齐次方程的通解.,证:将,代入方程左端,得,是非齐次方程的解,又Y中含有,两个独立任意常数,例如,方程,有特解,对应齐次方程,有通解,因此该方程的通解为,证毕,因而也是通解.,推论：,二阶非齐次方程的任意两个解的差是相应齐次方程的解,定理4.,分别是方程,的特解,是方程,的特解.(非齐次方程之解的叠加原理),定理3,定理4均可推广到n阶线性非齐次方程.,定理5.,是对应齐次方程的n个线性,无关特解,给定n阶非齐次线性方程,是非齐次方程的特解,则非齐次方程,的通解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,常数,则该方程的通解是().,设线性无关函数,都是二阶非齐次线,性方程,的解,是任意,例3.,提示:,都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证),(89考研),例4.,已知微分方程,个解,求此方程满足初始条件,的特解.,解:,是对应齐次方程的解,且,常数,因而线性无关,故原方程通解为,代入初始条件,故所求特解为,有三,第三节,常系数齐次线性微分方程,第七章,二阶常系数齐次线性微分方程:,和它的导数只差常数因子,代入得,称为微分方程的特征方程,1.当,时,有两个相异实根,方程有两个线性无关的特解:,因此方程的通解为,(r为待定常数),所以令的解为,则微分,其根称为特征根.,2.当,时,特征方程有两个相等实根,则微分方程有一个特解,设另一特解,(u(x)待定),代入方程得:,是特征方程的重根,取u=x,则得,因此原方程的通解为,3.当,时,特征方程有一对共轭复根,这时原方程有两个复数解:,利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:,因此原方程的通解为,总结:,特征方程:,实根,以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.,二阶常系数齐次线性微分方程:,若特征方程含k重复根,若特征方程含k重实根r,则其通解中必含对应项,则其通解中必含,对应项,特征方程:,推广:,例1.,的通解.,解:特征方程,特征根:,因此原方程的通解为,例2.求解初值问题,解:特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题的解为,第四节,第七章,常系数非齐次线性微分方程,一、,二、,二阶常系数线性非齐次微分方程:,根据解的结构定理,其通解为,求特解的方法,根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.,待定系数法,则有形如,的特解，其中,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.,当是特征方程的k重根时,k=0,1,2,一、,待定多项式.,为m次,对非齐次方程,例1.,的一个特解.,解:本题,而特征方程为,不是特征方程的根.,设所求特解为,代入方程:,比较系数,得,于是所求特解为,例2.,的通解.,解:本题,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,例3.求解定解问题,解:本题,特征方程为,其根为,设非齐次方程特解为,代入方程得,故,故对应齐次方程通解为,原方程通解为,由初始条件得,于是所求解为,解得,对非齐次方程,则可设特解:,其中,为特征方程的k重根(k=0,1),上述结论也可推广到高阶方程