工程材料力学第四章轴向拉压杆的应力与变形PPT课件

1,4-3轴向拉(压)杆横截面上的应力,.应力的概念,受力杆件(物体)某一截面的M点附近微面积A上分布内力的平均集度即平均应力，其方向和大小一般而言，随所取A的大小而不同。,第四章轴向拉伸和压缩,2,该截面上M点处分布内力的集度为，其方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切，称为总应力。,第四章轴向拉伸和压缩,3,总应力p,法向分量,正应力s,某一截面上法向分布内力在某一点处的集度,切向分量,剪应力t,某一截面上切向分布内力在某一点处的集度,应力量纲：ML-1T-2应力单位：Pa(1Pa=1N/m2，1MPa=106Pa)。,第四章轴向拉伸和压缩,4,.拉(压)杆横截面上的应力,(1)与轴力相应的只可能是正应力s，与剪应力无关；,(2)s在横截面上的变化规律横截面上各点处s相等时可组成通过横截面形心的法向分布内力的合力轴力FN；横截面上各点处s不相等时，特定条件下也可组成轴力FN。,第四章轴向拉伸和压缩,5,为此：,1.观察等直杆表面上相邻两条横向线在杆受拉(压)后的相对位移：两横向线仍为直线，仍相互平行，且仍垂直于杆的轴线。,2.设想横向线为杆的横截面与杆的表面的交线。平截面假设原为平面的横截面在杆变形后仍为平面，对于拉(压)杆且仍相互平行，仍垂直于轴线。,第四章轴向拉伸和压缩,6,3.推论：拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段的伸长(缩短)变形是均匀的。根据对材料的均匀、连续假设进一步推知，拉(压)杆横截面上的内力均匀分布，亦即横截面上各点处的正应力s都相等。,4.等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式。,第四章轴向拉伸和压缩,7,注意：,1.上述正应力计算公式来自于平截面假设；对于某些特定杆件,例如锲形变截面杆，受拉伸(压缩)时，平截面假设不成立，故原则上不宜用上式计算其横截面上的正应力。,2.即使是等直杆，在外力作用点附近，横截面上的应力情况复杂，实际上也不能应用上述公式。,3.圣维南(Saint-Venant)原理：“力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响”。,第四章轴向拉伸和压缩,8,这一原理虽被许多实验所证实，但没有经过严格的理论证明，也没有确切的数学表达式，因此不能随便使用。上图为不能应用圣维南(Saint-Venant)原理的例子（详见奚绍中编材料力学精讲，p15)。,第四章轴向拉伸和压缩,9,例题4-2试求此正方形砖柱由于荷载引起的横截面上的最大工作应力。已知F=50kN。,10,段柱横截面上的正应力,所以，最大工作应力为smax=s2=-1.1MPa(压应力）,解：段柱横截面上的正应力,(压应力),(压应力),第四章轴向拉伸和压缩,11,例题4-3试求薄壁圆环在内压力作用下径向截面上的拉应力。已知：d=200mm，=5mm，p=2MPa。,第四章轴向拉伸和压缩,12,而,所以,解：薄壁圆环(两平行的斜截面之间的所有纵向线段伸长变形相同。,第四章轴向拉伸和压缩,14,斜截面上的总应力：,推论：斜截面上各点处轴向分布内力的集度相同，即斜截面上各点处的总应力pa相等。,式中，为拉(压)杆横截面上(a=0)的正应力。,第四章轴向拉伸和压缩,15,斜截面上的正应力(normalstress)和剪应力(shearingstress)：,正应力和剪应力的正负规定：,第四章轴向拉伸和压缩,16,思考：1.写出图示拉杆其斜截面k-k上的正应力sa和剪应力ta与横截面上正应力s0的关系。并示出它们在图示分离体的斜截面k-k上的指向。,2.拉杆内不同方位截面上的正应力其最大值出现在什么截面上？绝对值最大的剪应力又出现在什么样的截面上？,第四章轴向拉伸和压缩,17,4-5轴向拉(压)杆的变形胡克定律,拉(压)杆的纵向变形（轴向变形）,基本情况下(等直杆，两端受轴向力)：,纵向总变形l=l1-l（反映绝对变形量）,纵向线应变（反映变形程度）,第四章轴向拉伸和压缩,18,x截面处沿x方向的纵向平均线应变为,图示一般情况下在不同截面处杆的横截面上的轴力不同，故不同截面的变形不同。,第四章轴向拉伸和压缩,19,线应变的正负规定：伸长时为正，缩短时为负。,一般情况下，杆沿x方向的总变形,x截面处沿x方向的纵向线应变为,第四章轴向拉伸和压缩,20,横向变形与杆轴垂直方向的变形,在基本情况下,第四章轴向拉伸和压缩,21,引进比例常数E，且注意到F=FN，有,胡克定律(Hookeslaw),适用于拉(压)杆。,式中：E称为弹性模量(modulusofelasticity)，由实验测定，其量纲为ML-1T-2，单位为Pa；EA杆的拉伸(压缩)刚度。,胡克定律(Hookeslaw),工程中常用材料制成的拉(压)杆，当应力不超过材料的某一特征值(“比例极限”)时，若两端受力,第四章轴向拉伸和压缩,22,胡克定律的另一表达形式：,单轴应力状态下的胡克定律,第四章轴向拉伸和压缩,低碳钢(Q235)：,23,低碳钢(Q235)：n=0.240.28。,亦即,横向变形因数(泊松比)(Poissonsratio),单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例极限时，某一方向的线应变e与和该方向垂直的方向(横向)的线应变e的绝对值之比为一常数，此比值称为横向变形因数或泊松比(Poissonsratio)：,第四章轴向拉伸和压缩,24,2.横截面B,C及端面D的纵向位移与各段杆的纵向总变形是什么关系？,思考：等直杆受力如图，已知杆的横截面面积A和材料的弹性模量E。,1.列出各段杆的纵向总变形lAB，lBC，lCD以及整个杆纵向变形的表达式。,第四章轴向拉伸和压缩,25,第四章轴向拉伸和压缩,位移：,变形：,26,3.图(b)所示杆，其各段的纵向总变形以及整个杆的纵向总变形与图(a)的变形有无不同？各横截面及端面的纵向位移与图(a)所示杆的有无不同？何故？,第四章轴向拉伸和压缩,(a),27,第四章轴向拉伸和压缩,位移：,变形：,28,例题4-4求例题2-3中所示薄壁圆环其直径的改变量d。已知,第四章轴向拉伸和压缩,29,2.如果在计算变形时忽略内压力的影响，则可认为薄壁圆环沿圆环切向的线应变e(周向应变)与径向截面上的正应力s的关系符合单轴应力状态下的胡克定律，即,解：1.前已求出圆环径向截面上的正应力此值小于钢的比例极限(低碳钢Q235的比例极限sp200MPa)。,第四章轴向拉伸和压缩,30,从而有圆环直径的改变量(增大)为,3.圆环的周向应变e与圆环直径的相对改变量ed有如下关系：,第四章轴向拉伸和压缩,31,例题4-5如图所示杆系，荷载P=100kN，试求结点A的位移A。已知：a=30，l=2m，d=25mm，杆的材料(钢)的弹性模量为E=210GPa。,第四章轴向拉伸和压缩,32,由胡克定律得,其中,1.求杆的轴力及伸长,解：结点A的位移A系由两杆的伸长变形引起，故需先求两杆的伸长。,由结点A的平衡(如图)有,第四章轴向拉伸和压缩,33,2.由杆的总变形求结点A的位移,根据杆系的布置、约束、杆的材料以及受力情况均与通过结点A的铅垂线对称可知，结点A只有竖向位移(如图)。,第四章轴向拉伸和压缩,34,亦即,画杆系的变形图，确定结点A的位移,由几何关系得,第四章轴向拉伸和压缩,35,从而得,此杆系结点A的位移(displac