高等数学三第三章矩阵理论

1矩阵及其运算,一、矩阵的定义,例1设某物质有m个产地，n个销地，如果以aij表示由第i个产地销往第j个销地的数量，则这类物质的调运方案，可用一个数表表示如下：,1.实际例子,销地,销量,产地,1,2,j,n,记,例2解线性方程组,代替：,由mn个数aij(i=1,2,m;j=1,2,n)有次序地排成m行(横排)n列(竖排)的数表,称为一个m行n列的矩阵，简记(aij)mn，通常用大写字母A，B，C，表示，m行n列的矩阵A也记为Amn，构成矩阵A的每个数称为矩阵A的元素，而aij表示矩阵第i行、第j列的元素。,2.定义,注意：,(1)只有一行的矩阵A1n=(a1a2an)称为行矩阵,(2)两个矩阵A、B，若行数、列数都相等，则称A、B是同型的。,(3)若A=(aij)mn,B=(bij)mn是同型的，且aij=bij(i=1,2,m;j=1,2,n)则称A与B相等，记作AB。,(4)元素全为0的矩阵称为零矩阵，记作O，不同型的零矩阵是不相等的。,二、矩阵的运算,设A=(aij)mn,B=(bij)mn,则矩阵C=(cij)mn=(aij+bij)mn,称为矩阵A与B的和，记作C=A+B,1.矩阵的加法,(1)定义,设A，B，C，O都是mn矩阵,(1)A+B=B+A,(2)(A+B)+C=A+(B+C),(3)A+O=O+A=A,(2)性质,2.矩阵的减法,(1)负矩阵,设A=(aij)mn,则称,(aij)mn为A的负矩阵，简记A,显然,A+(A)=O,(A)=A,(2)减法：,设A=(aij)mn,B=(bij)mn,AB=A+(B)=(aijbij)mn,记为A，即,设是常数，A=(aij)mn，,3.数与矩阵的乘法,(1)定义,设A、B为mn矩阵，、u为常数,(1)(u)A=(uA)=u(A);,(2)(A+B)=A+B,(3)(+u)A=A+uA,(2)性质,例3：,设,求A2B,解：,设A=(aij)ms,B=(bij)sn,其中Cij等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和,(i=1,2,m;j=1,2,n),4.矩阵的乘法,(1)定义,例4：设矩阵,求乘积AB和BA,解：,注：ABBA即矩阵乘法不满足交换律,例5：设,试证：(1)AB=0；(2)AC=AD,证：,(1),(2),故ACAD,比较：,(1)在数的乘法中，若ab=0a=0或b=0,两个非零矩阵乘积可能为O。,(2)在数的乘法中，若ac=ad，且a0c=d(消去律成立),在矩阵乘法中，若AC=AD，且AOC=D(消去律不成立),(1)(AB)C=A(BC),(2)A(B+C)=AB+AC,(3)(B+C)A=BA+CA,(4)(AB)=(A)B=A(B)(其中为常数),(2)性质,5.线性方程组的矩阵表示,设方程组为,可表示为,简记为,AXB。,A称为由线性方程组的系数矩阵。,将矩阵Amn的行换成同序数的列，列换成同序数的行所得的nm矩阵称为A的转置矩阵，记作AT或A。,例如：,则,6.矩阵的转置,(1)定义,(1)(AT)T=A,(2)(A+B)T=AT+BT,(3)(A)TAT,(2)性质,例6：,设,求(AB)T。,解法一：,(AB)T=BTAT,解法二：,三、方阵,1.定义,则：,(其中：k,l均为正整数),行数与列数相同的nn矩阵A称为方阵，n称为它的阶数，简记An。,称为n阶单位矩阵，简记E,显然,1.单位矩阵,2.几类特殊方阵,2.对角矩阵,结论：,(2)k为正整数时,3.上三角矩阵,下三角矩阵,4.对称矩阵,(1)若方阵A满足AT=A，即aji=aij，则称A为对称矩阵。,(2)若方阵A满足AT=A，即aji=aij，则称A为反对称矩阵。这时aii=0(i=1,2,n),例7：设A为任一方阵，证明:A+AT为对称阵，AAT为反对称阵,(1)方阵A对应的行列式记为|A|或detA,若|A|0，则称方阵A是非奇异(非退化)的，否则，称A是奇异(退化)的。,3、比较方阵与行列式,(2)|A|=n|A|,(3)|AB|=|A|B|,(3)|AB|=|A|B|,例如：,有,而,(4)|Am|=|A|m,|A1A2Am|=|A1|A2|Am|,推广：,四、分块矩阵,如果用若干条贯穿矩阵的横线和纵线将矩阵A分成若干小块，这样的小块称为矩阵A的子块或子矩阵，而A可以看成是以子块为元素的矩阵，称A为分块矩阵。,1.定义,例如：,A11,A12,A21,A22,例8：设,利用分块矩阵求A+B，AB。,解：将A、B分块成,则,而,而,故,考察：AT,对于,2.分块矩阵的转置,注：设矩阵A=(aij)mn分块为,则,若方阵A除主对角线上的子块外，其余子块都为O，且主对角线的子块均为方阵，,则称A为准对角矩阵。,3.准对角矩阵,定义：,例如：,为准对角矩阵。,准对角矩阵与对角矩阵有类似的性质,例如：,(Ai为方阵，i=1,2,，m),2矩阵的初等变换,一、矩阵的初等变换,定义1,对矩阵施行下列三种变换称为矩阵的初等行变换,(1)互换两行(记作rirj);,(2)以数0乘以某一行(记作ri);,(3)将第j行各元素乘以数后加到第i行的对应元素上去(记作ri+rj),相应地，矩阵的三种初等列变换的记号只需将r换成c。,二、初等矩阵,定义2,由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。,(1)rirj,cicj也得到P(i,j),(2)ri,ci也得到P(i(),0,0,第i行,(3)ri+rj,cj+ci也得到P(i,j(),定理1,对A施行一次初等行变换，相当于在A的左侧乘以一个相应的初等矩阵；,对A施行一次初等列变换，相当于在A的右侧乘以一个相应的初等矩阵；,例如：,设A是一个mn矩阵,(1),A,P(1,2)A,(2),A,AP(3,4),三、矩阵的秩,1.k阶子式,定义3,设A为mn矩阵，在A中任取k行k列(1kmin(m,n)，由这k行，k列的交叉处的k2个元素(按原来的前后顺序)所构成的k阶行列式，称为矩阵A的一个k阶子式。,例如：,一个2阶子式,例如：,一个2阶子式,一个3阶子式,(1)A的每个元素aij都是A的一个一阶子式,(2)当A为n阶方阵时，n阶子式即为|A|,注：,2.矩阵的秩,r(A)=3,定义4,矩阵A的不为0的子式的最高阶数称为矩阵A的秩，记为r(A)。,(显然r(A)min(m,n),规定：,注：,(1)非奇异矩阵A，有|A|0，A的秩就等于它的阶数，A又称为满秩矩阵。,(2)奇异矩阵A，也称为降秩矩阵。,定理2若矩阵A中至少有一个k阶子式不为0，而所有k+1阶子式全为0，则r(A)=k。,零矩阵的秩为0，即r(O)=0,3.初等变换求矩阵的秩,定理4.3对矩阵施行初等变换，矩阵的秩不变,例：,阶梯形,r(A)=3,A,进一步：,A,称为A的标准形,注：若A为n阶满秩方阵，则A的标准形为n阶单位阵E。,3逆矩阵,一、逆矩阵的定义,定义1,AB=BA=E,则称B为A的逆矩阵，并称A可逆。,设A是一个n阶方阵，若存在n阶方阵B,使,显然A为B的逆矩阵，即A与B互为逆矩阵。,例如：,有,所以B是A的逆阵，同时A也是B的逆阵。,例1设a11a22ann0,由于：,例2若方阵A1A2Am均可逆，可证,定理1(唯一性),若方阵A的逆矩阵存在，则唯一，用A1表示,证：设B、C均是A的逆矩阵，则,B,所以A的逆矩阵唯一。,=BE,=B(AC),=(BA)C,=EC,=C,矩阵,称为A的伴随矩阵,定义2:,设A=(aij)nn,Aij是|A|中元素aij的代数余子式(i,j=1,2,n);,二、矩阵可逆的条件,即：,定理2,方阵A存在逆矩阵,|A|,且,例3求矩阵,的逆矩阵,解：,故A可逆，又,A115，A122，A212，A221,则,所以,比较：,(1)在数的乘法中，若ab=0a=0或b=0,两个非零矩阵乘积可能为O。,(2)在数的乘法中，若ac=ad，且a0c=d(消去律成立),在矩阵乘法中，若AC=AD，且AOC=D(消去律不成立),例4设A是可逆阵，证明：,(1)若AX=AYX=Y,(2)若AB=0B=0,证：,A1(AX)=A1(AY),(A1A)X=(A1A)Y,EX=EY,X=Y,所以,(2),由AB=0，有A1(AB)=A10,所以B=0,(A1A)B=0,(1)若A，B均为n阶方阵，且AB=E(或BA=E)，则BA1,证：,|A|B|=|E|=1,|A|0,A1存在，且A1=A1E=A1(AB),=(A1A)B,=EB,=B,设AB=E,同理可证BA=E的情形,三、逆矩阵的性质,(2)(A1)1=A,(4)若A，B均为n阶可逆矩阵，则(AB)1=B1A1。,若A1，A2，Am均为n阶可逆矩阵，则(A1A2Am)1=Am1A21A11,推广：,证明：,因为(AB)(B1A1),=AEA1,=E,所以(AB)1=B1A1,=A(BB1)A1,这是因为|A1|A|=|E|=1,四、初等行变换求逆矩阵(方法二),1.初等矩阵都是可逆矩阵，且其矩阵仍然是初等矩阵,定理3若方阵A可逆，则存在有限个初等矩阵P1,P2,Pm,使A=P1P2Pm,证：因为A可逆，则r(A)=n，标准形为En，,A=P1P2Pm,P1P2PsEPs+1Pm=A,即,存在有限次初等变换使A化为En，,表示为：,A=P1P2Pm,E,A,E,A1,例4,设,求A1.,解：,r1+r2,r3r2,故,对A也可通过初等列变换求A1,A=P1P2Pm,注：,表示为：,E,A1,对于n元线性方程组,AX=B,五、逆矩阵的应用,1.解线性方程组,例5：解方程组,x1+2x2+3x3=1,2x1+2x2+x3=1,3x1+4x2+3x3=3,解：方程组简记为,X=