2.1.1直线的斜率

高中数学必修2,2.1.1直线的斜率,情境创设,现实世界中，到处有美妙的曲线,从飞逝的流星到雨后彩虹，,从古代的石拱桥到现代的立交桥,这些曲线都和方程息息相关,情境问题,问题1如何将这些曲线与方程联系起来呢？,引进平面直角坐标系，用有序数对(x，y)表示平面内的点根据曲线的几何性质，可以得到关于x，y的一个代数方程f(x，y)0反过来，把代数方程f(x，y)0的解(x，y)看做平面上点的坐标，这些点的集合是一条曲线,如果代数与几何各自分开发展，那么它的进步将十分缓慢，而且应用范围也很有限但若两互相结合而共同发展，则就者会相互加强，并以快速的步伐向着完美化的方向猛进,拉格朗日,解析几何的本质是用代数方法研究几何图形的性质，即通过引进直角坐标系，建立点与坐标、曲线与方程之间的对应关系，将几何问题转化为代数问题，从而用代数方法研究几何问题解析几何的基本思想是数形结合,情境问题,问题2解析几何与几何的本质区别是什么呢？,本章研究的基本几何图形直线与圆,本章研究的基本问题：,1如何建立它们的方程？,2如何通过方程来研究它们的性质？位置关系（平行、相交、）,本节课研究的问题：,1如何确定直线？,2如何用一个代数的量来刻画直线的方向（倾斜程度）？,两个要素（两点、点与方向）,如图，O是入山口，E是出山口，半山腰A(相对于O)的高度为100米，B(相对于O)的高度为250米，OA与AB的水平距离都为300米，试比较OA、AB两段山坡爬坡的难易程度,情境问题,100,250,300,300,F,问题：如何用一个量来描述、刻画山坡的陡峭程度？,“坡度”就是坡面的竖直高度与水平宽度的比，如上图，山坡PQ的坡度即为,用坡度来刻画直线的倾斜程度.,F,x,y,如图，建立直角坐标系，则O(0，0)，A(300，100)，B(600，250),直线OA的斜率k,直线AB的斜率k,数学建构,直线AB的斜率k,A(x1，y1),O,x,y,B(x2，y2),y,A(x1，y1),O,x,B(x2，y2),(x1x2),数学建构,3.直线AB的斜率与所选择直线上两点的位置无关定直线的斜率是确定的，,2.直线AB的斜率与A、B两点的顺序无关.,1x1x2，若x1x2，即直线垂直于x轴，此时，斜率不存在.,数学建构,例1如图，直线l1、l2、l3都经过点P(3，2)，又分别过点Q1(2，1)、Q2(2，6)，Q3(3，2)，试计算直线l1、l2、l3的斜率.,解：设k1、k2、k3分别表示直线l1、l2、l3的斜率，则,k24，,k30，,(1)当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜(l1)；,由图可以看出,(2)当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜(l2)；,(3)当直线的斜率为0时，直线与x轴平行或重合(l3)反之也成立.,数学应用,解：,故A、B、C三点共线.,已知三点A(1，4)、B(2，1)、C(2，5)，判断这三点是否共线？,数学应用,变式：若三点A(4，5)、B(2a，3)、C(1，a)共线，则a_.,小结：若三点A(4，5)、B(2a，3)、C(1，a)共线，则a_.,例2经过点P(3，2)画直线，且使直线的斜率分别为：,(1),(2),解：（1）直线l1即为所求.,（2）直线l2即为所求.,P,数学应用,与x轴相交的直线；绕交点按逆时针方向旋转；最小正角；规定：与x轴平行或重合的直线倾斜角为0；0180,直线的倾斜角和直线的斜率一样，也是刻画直线倾斜程度的量，但直线的倾斜角侧重于直观形象，直线的斜率则侧重于数量关系任何直线都有倾斜角，但不是任何直线都有斜率,数学建构,直线的倾斜角,与x轴垂直的直线斜率不存在，倾斜角为90；一条与x轴不垂直的定直线斜率为定值；ktan,数学建构,直线的倾斜角与斜率的关系：,tantan(180)；0时，k0；090时，k0，且k随着的增大而增大；90时，k不存在；90180时，k0，且k随着的增大而增大,例3根据下列条件，分别画出经过点P，且斜率为k的