大学物理第5章角动量守恒定律ppt课件

5 1质点的角动量角动量定理 1 质点的角动量 称为质点相对参考点O的角动量或动量矩 第5章角动量角动量守恒定律 例 求从A点自由下落质点在任意时刻的角动量 任意时刻t 有 1 对A点的角动量 2 对O点的角动量 2 质点的角动量定理 角动量的时间变化率 力矩 定义 对O点力矩 质点的角动量定理 大小 质点对某固定点所受的合外力矩等于它对该点角动量的时间变化率 3角动量守恒定律 则 或 若对某一固定点 质点所受合外力矩为零 则质点对该固定点的角动量矢量保持不变 若 质点的角动量定理 例 质点做匀速直线运动中 对0点角动量是否守恒 例 试利用角动量守恒定律 1 证明关于行星运动的开普勒定律 任一行星和太阳之间的联线 在相等的时间内扫过的面积相等 即掠面速度不变 2 说明天体系统的旋转盘状结构 1 行星对太阳O的角动量的大小为 其中 是径矢r与行星的动量p或速度v之间的夹角 表示 时间内行星所走过的弧长 则有 表示从O到速度矢量v的垂直距离 则有 用 证明 时间内行星与太阳间的联线所扫过的面积 如图中所示 其中 是 d dt称为掠面速度 由于万有引力是有心力 它对力心O的力矩总是等于零 所以角动量守恒 L 常量 行星作平面运动 而且 这就证明了掠面速度不变 也就是开普勒第二定律 2 角动量守恒说明天体系统的旋转盘状结构 天体系统的旋转盘状结构 5 2质点系的角动量定理 质点系角动量 第i个质点角动量的时间变化率 质点系的角动量定理 时 质点系的角动量守恒 例 两个同样重的小孩 各抓着跨过滑轮绳子的两端 一个孩子用力向上爬 另一个则抓住绳子不动 若滑轮的质量和轴上的摩擦都可忽略 哪一个小孩先到达滑轮 两个小孩重量不等时情况又如何 h h m1 m2 解 把每个小孩看成一个质点 以滑轮的轴为参考点 把两个小孩看成一个系统 此系统的总角动量为 v1左边孩子向上的速度 v2右边孩子向上的速度 此系统所受外力矩 只有两个小孩所受重力矩 彼此抵消 内力矩不改变系统角动量 因此整个系统角动量守恒 R 设两个小孩起初都不动 即 以后 虽然v1 v2不再为零 但总角动量继续为零 即v1 v2随时保持相等 所以他们将同时到达滑轮 若两个小孩重量不等 即 系统所受外力矩 系统总角动量 仍设起初两个小孩都不动 由角动量定理 若 有 轻的升得快 R 例 光滑水平桌面上放着一质量为M的木块 木块与一原长为L0 劲度系数为k的轻弹簧相连 弹簧另一端固定于O点 当木块静止于A处时 弹簧保持原长 设一质量为m的子弹以初速v0水平射向M并嵌在木块中 当木块运动到B OB OA 时 弹簧的长度为L 求木块在B点的速度vB的大小和方向 解 1 m和M相撞时 系统的动量守恒 2 A B 只有弹力作功 机械能守恒 3 A B 弹力对O点的力矩为零 对O点角动量守恒 5 3刚体的定轴转动 1 平动 在运动过程中刚体上的任意一条直线在各个时刻的位置都相互平行 A B A B B A 刚体的平动 任意质元运动都代表整体运动 2 定轴转动 刚体所有质元都绕一固定直线 定轴 做圆周运动 1 刚体的平动和定轴转动 用质心运动代表刚体的平动 质心运动定理 2用角量描述转动 1 角位移 在 t时间内刚体转动角度 2 角速度 3 角加速度 z 刚体定轴转动 角速度 的方向按右手螺旋法则确定 切向分量 法向分量 z O 线量与角量关系 匀变速直线运动 匀变速定轴转动 5 4定轴转动刚体的角动量定理角动量守恒 质点系的角动量定理 Z轴分量 质元 对O点的力矩 垂直z轴 垂直z轴 1 刚体对转轴的力矩和角动量 刚体到转轴的转动惯量 对固定轴 2 刚体对定轴的角动量守恒 角动量定理 1质点 由 微分式 积分式 2质点系 由 微分式 积分式 3定轴转动刚体 积分 这里 定轴转动刚体角动量守恒 若转动惯量有变化 则有 1 刚体定轴转动定律 与牛顿第二定律对比 刚体到转轴的转动惯量 转动惯量的物理意义 1 刚体转动惯性大小的量度 2 转动惯量与刚体的质量有关 3 J在质量一定的情况下与质量的分布有关 4 J与转轴的位置有关 对比刚体的角动量和质点的动量 5 5定轴转动刚体的转动定律转动中的功和能 2 转动惯量的计算 称为刚体对转轴的转动惯量 对质量连续分布刚体 线分布 面分布 体分布 是质量的线密度 是质量的面密度 是质量的体密度 例 一均匀细棒长l质量为m 1 轴z1过棒的中心且垂直于棒 2 轴z2过棒一端且垂直于棒 求 上述两种情况下的转动惯量 O Z1 解 设棒质量的线密度 所以只有指出刚体对某轴的转动惯量才有意义 有关转动惯量计算的几个定理 1 平行轴定理 h 式中 关于通过质心轴的转动惯量 m是刚体质量 h是c到z的距离 是对平行于质心轴的一个轴的转动惯量 z C 2 转动惯量叠加 如图 式中 是A球对z轴的转动惯量 是B棒对z轴的转动惯量 是C球对z轴的转动惯量 3 回转半径 任意刚体的回转半径 式中 J是刚体关于某一轴的转动惯量 m是刚体的质量 例 G不是质心 C G 转动惯量的计算 例 求半径为R 总质量为m的均匀圆盘绕垂直于盘面通过中心轴的转动惯量如下图 解 R r ds Z 质量面密度 刚体定轴转动定律的应用 a m1g m2g T 解 对否 T1 T2 T 否则滑轮匀速转动 而物体加速运动 T1 T2 转动定律 线量与角量关系 M 例1 质量为M 半径为R的均匀圆盘形定滑轮上绕一轻绳 绳的两端分别悬挂质量为m1和m2的物体 m1 m2 滑轮与轴间无摩擦 绳与滑轮间无相对滑动 求物体的加速度a 例2 已知 匀质杆m 长一端O固定 当由水平位置自由下落到 时 求 解 C 质心运动定理 转动定律 质心运动定理 例3 一半径为R 质量为m的匀质圆盘 平放在粗糙的水平桌面上 设盘与桌面间的摩擦系数为 令圆盘以 0绕中心轴旋转后 问经过多少时间才停止转动 解 m 0 摩擦力的和 例4 已知 匀质杆M 长一端悬挂于固定点O 子弹m 水平速度 射入不复出 求 解 对M m系统 系统角动量守恒 射入后瞬间 刚体的转动动能 定轴转动动能定理 力矩作功 3 转动中的功和能 例 质量为m 长为l的均匀直棒 其一端有一固定的光滑水平轴 可以在竖直平面内运动 初始时 棒静止在水平位置 求它由此自由下摆 角时的角速度和角加速度 解 定轴转动定律 动能定理 5 6进动 据刚体的角动量定理有 同方向 重力矩 式中 是陀螺质心的位置矢量 与自转轴同向 与之平行 时间内 的变化为 角动量 顶端绕一水平圆周运动 把自转轴绕一竖直轴的这种转动 称为旋进或进动 rsi