23等腰三角形

等腰三角形 2 3 我们前面已经学习了三角形的一些性质 那么等腰三角形除了具有一般三角形的性质外 还具有哪些特殊的性质呢 任意画一个等腰三角形ABC 其中AB AC 如图 作 ABC关于顶角平分线AD所在直线的轴反射 由于 1 2 AB AC 因此 D 1 2 射线AB的像是射线AC 射线AC的像是射线 线段AB的像是线段AC 线段AC的像是线段 点B的像是点C 点C的像是点 线段BC的像是线段CB 从而等腰三角形ABC关于直线对称 AB AB B AD 由于点D的像是点D 因此线段DB的像是线段 从而AD是底边BC上的 由于射线DB的像是射线DC 射线DA的像是射线 因此 BDA CDA 从而AD是底边BC上的 由于射线BA的像是射线CA 射线BC的像是射线 因此 B C DC 中线 DA 90 高 CB 由此得到等腰三角形的性质定理 等腰三角形是轴对称图形 对称轴是顶角平分线所在的直线 等腰三角形的两底角相等 简称 等边对等角 等腰三角形底边上的高 中线及顶角平分线重合 简称为 三线合一 因为 ABC是等边三角形 所以AB BC AC 从而 C A B 由三角形内角和定理可得 A B C 60 如图 ABC是等边三角形 那么 A B C的大小之间有什么关系呢 由此得到等边三角形的如下性质 等边三角形的三个内角相等 且都等于60 由于等边三角形是特殊的等腰三角形 因此等边三角形是轴对称图形 它有三条对称轴 分别是三个内角的平分线所在的直线 例1已知 如图 在 ABC中 AB AC 点D E在边BC上 且AD AE 求证 BD CE 举例 证明作AF BC 垂足为点F 则AF是等腰三角形ABC和等腰三角形ADE底边上的高 也是底边上的中线 BF CF BF DF CF EF DF EF 即BD CE 如图的三角测平架中 AB AC 在BC的中点D挂一个重锤 自然下垂 调整架身 使点A恰好在铅锤线上 1 AD与BC是否垂直 试说明理由 2 这时BC处于水平位置 为什么 1 如图 在 ABC中 AB AC AD为BC边上的高 BAC 49 BC 4 求 BAD的度数及DC的长 答 BAD 24 5 DC 2 2 如图 点P为等边三角形ABC的边BC上一点 且 APD 80 AD AP 求 DPC的度数 答 DPC 20 我们知道 等腰三角形的两底角相等 反过来 两个角相等的三角形是等腰三角形吗 如图 在 ABC中 如果 B C 那么AB与AC之间有什么关系吗 我测量后发现AB与AC相等 3cm 3cm 事实上 如图 在 ABC中 B C 沿过点A的直线把 BAC对折 得 BAC的平分线AD交BC于点D 则 1 2 又 B C 由三角形内角和的性质得 ADB ADC 沿AD所在直线折叠 由于 ADB ADC 1 2 所以射线DB与射线DC重合 射线AB与射线AC重合 从而点B与点C重合 于是AB AC 有两个角相等的三角形是等腰三角形 简称 等角对等边 三个角都是60 的三角形是等边三角形 由此并且结合三角形内角和定理 还可以得到等边三角形的判定定理 例2已知 如图 在 ABC中 AB AC 点D E分别是AB AC上的点 且DE BC 求证 ADE为等腰三角形 举例 证明 AB AC B C 又 DE BC ADE B AED C ADE AED 于是 ADE为等腰三角形 有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形吗 为什么 如图 在等腰三角形ABC中 AB AC 由三角形内角和定理得 A B C 180 如果顶角 A 60 则 B C 180 60 120 又AB AC B C B C A 60 ABC是等边三角形 由此得到另一条等边三角形的判定定理 有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形 例3已知 如图 ABC是等边三角形 点D E分别在BA CA的延长线上 且AD AE 求证 ADE是等边三角形 举例 证明 ABC是等边三角形 BAC B C 60 EAD BAC 60 又AD AE ADE是等边三角形 有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形 1 已知 等腰三角形ABC的底角 ABC和 ACB的平分线相交于点O 求证 OBC为等腰三角形 ABD DBC ACE ECB DBC ECB OBC是等腰三角形 又 ABC是等腰三角形 ABC ACB 2 已知 如图 CD平分 ACB AE DC AE交BC的延长线于点E 且 ACE 60 求证 ACE是等边三角形 在 ACE中 CAE 180 E ACE 60 又 ACE 60 BCD E 60 ACD DCB ACD DCB 60 又 AE DC CAE ACE E 60 ACE是等边三角形 3 已知 如图 AB BC CDE 120 DF BA 且DF平分 CDE 求证 ABC是等边三角形 ABC是等边三角形 又 CDE 120 DF平分 CDE FDC ABC 60 ABC是等腰三角形 EDF FDC 60 又 DF BA 例1 等腰三角形两边长分别是2cm和5