【学海导航】高考数学第1轮总复习 全国统编教材 12.5导数的应用（第3课时）课件 理.ppt

第十二章极限与导数 导数的应用 第讲 5 第三课时 题型6利用导数证明不等式 1 证明 对任意的正整数n 不等式都成立 证明 令函数f x x3 x2 ln x 1 则 所以当x 0 时 f x 0 所以函数f x 在 0 上单调递增 又f 0 0 所以 当x 0 时 恒有f x f 0 0 即x3 x2 ln x 1 恒成立 故当x 0 时 有ln x 1 x2 x3 对任意正整数n 取 0 则有 所以结论成立 点评 利用导数证明不等式 一般是先根据不等式的形式构造相对应的函数 然后利用导数讨论此函数的单调性或最值 进一步得到所需结论 已知m n是正整数 且2 m n 证明 1 m n 1 n m 证明 不等式可化为nln 1 m mln 1 n 即设则 因为x 2 所以ln 1 x ln3 1 所以f x 0 从而f x 为减函数 因为n m 2 所以f n f m 即故 1 m n 1 n m 题型7利用导数解决方程根的问题 2 设函数f x x ln x m 其中m为常数 求证 当m 1时 方程f x 0在区间 e m m e2m m 内有两个不等实根 证明 当m 1时 f 1 m 1 m 0 f e m m e m m ln e m m m e m 0 f e2m m e2m m lne2m e2m 3m 令g m e2m 3m m 1 则g m 2e2m 3 0 所以g m 在 1 上为增函数 从而g m g 1 e2 3 0 即f e2m m 0 所以f e m m f 1 m 0 f e2m m f 1 m 0 因为f x 为连续函数 所以存在x1 e m m 1 m x2 1 m e2m m 使f x1 0 f x2 0 故方程f x 0在区间 e m m e2m m 内有两个不等实根 点评 方程根的问题 一是可以转化为函数图象的交点问题 通过导数研究函数图象的性质 再结合图象的性质观察交点情况 由图象直观地得出相应的结论 二是利用性质f a f b 0 a b 且f x 在区间 a b 上是连续函数 则方程f x 0在 a b 上至少有一个根 已知函数f x lnx g x x 若关于x的方程g x2 f 1 x2 k有四个不同的实根 求实数k的取值范围 解 令则由 x 0 得x x 1 x 1 0 所以 1 x 0或x 1 由 x 0 得x 1或0 x 1 所以 x 在 1 0 1 上是减函数 在 1 0 1 上是增函数 从而 0 0为 x 的极大值 1 1 ln2为 x 的极小值且 x 为偶函数 由此可得函数y x 的草图如右 若方程 x k有四个不同的实根 则直线y k与曲线y x 有四个不同的公共点 由图知 实数k的取值范围是 ln2 0 3 某分公司经销某种品牌产品 每件产品的成本为3元 并且每件产品需向总公司交a元 3 a 5 的管理费 预计当每件产品的售价为x元 9 x 11 时 一年的销售量为 12 x 2万件 1 求分公司一年的利润l x 万元 与每件产品的售价x 元 的函数关系式 2 当每件产品的售价为多少元时 分公司一年的利润l x 最大 并求出l x 的最大值q a 题型8利用导数解决实际问题 解 1 分公司一年的利润l x 万元 与售价x 元 的函数关系式为l x x 3 a 12 x 2 x 9 11 2 l x 12 x 2 2 x 3 a 12 x 12 x 18 2a 3x 令l x 0 得x 6 a或x 12 不合题意 舍去 因为3 a 5 所以8 6 a 在x 6 a两侧l x 的值由正变负 所以 当8 6 a 9 即3 a 时 l x max l 9 9 3 a 12 9 2 9 6 a 当9 6 a 即 a 5时 l x max l 6 a 6 a 3 a 12 6 a 2 4 3 a 3 9 6 a 3 a 4 3 a 3 a 5 所以q a 答 若3 a 则当每件售价为9元时 分公司一年的利润l x 最大 最大值q a 9 6 a 万元 若 a 5 则当每件售价为 6 a 元时 分公司一年的利润l x 最大 最大值q a 4 3 a 3万元 点评 涉及实际问题的最值问题 一般是利用函数知识来解决 即先建立函数关系 把实际问题转化为数学问题 然后利用求函数最值的方法求得最值 注意求得的解要符合实际意义 如图 某地为了开发旅游资源 欲修建一条连接风景点p和居民区o的公路 点p所在的山坡面与山脚所在水平面 所成的二面角为 0 90 且sin 点p到平面 的距离ph 0 4km 沿山脚原有一段笔直的公路ab可供利用 从点o到山脚修路的造价为a万元 km 原有公路改建费用为万元 km 当山坡上公路长度为lkm 1 l 2 时 其造价为 l2 1 a万元 已知oa ab pb ab ab 1 5km oa 3km 1 在ab上求一点d 使沿折线pdao修建公路的总造价最小 2 对于 1 中得到的点d 在da上求一点e 使沿折线pdeo修建公路的总造价最小 解 1 如图 ph hb pb ab 由三垂线定理的逆定理知 ab hb 所以 pbh是山坡与 所成二面角的平面角 则 pbh pb phsin 1 设bd xkm 0 x 1 5 则记总造价为f1 x 万元 据题设有当x 即bd km时 总造价f1 x 最小 2 设ae ykm 0 y 总造价为f2 y 万元 根据题设有 由f2 y 0 得y 1 当y 0 1 时 f2 y 0 f2 y 在 0 1 内是减函数 当y 1 时 f2 y 0 f2 y 在 1 内是增函数 故当y 1 即ae 1km时 总造价f2 y 最小 且最小总造价为a万元 已知函数 a b为常数 的图象在点a 1 f 1 处的切线为l 若l在点a处穿过函数y f x 的图象 即动点在点a附近沿曲线y f x 运动 经过点a时 从l的一侧进入另一侧 求实数a的值 解 因为f x x2 ax b 所以f 1 1 a b 又 题型利用导数处理图象位置关系问题 所以直线l的方程为因为切线l在点a处穿过y f x 的图象 所以g x 在x 1两边附近的函数值异号 从而x 1不是g x 的极值点 因为g x x2 ax a 1 x 1 x a 1 故若1 a 1 则x 1和x a 1都是g x 的极值点 不合题意 所以 a 1 1 即a 2 1 利用导数确定函数的单调区间 求函数的极值和最值 是导数应用中的三类基本问题 对变通后的变式问题或综合性问题 都要化归为上述基本问题来解决 导数的应用与方程 不等式等方面的知识联系密切 对运算 变形能力有较高的要求 2 利用导数处理不等式问题 关键是构造函数 然后将问题转化为研究函数的单调性或最值 这是导数应用中的一个难点 3 对于方程有解的条件分析 讨论根的个数 确定根的范围等问题 一般转化为研究函数图象的公共点问题 以导数为工具 先分析函数的基本性质 再研究图象 是一种有效的办法 4 解函数的最值的实际问题 首先把各变量用各字母分别