陕西省咸阳市2015-2016年高二下期末数学试卷(文)含答案解析

第 1 页（共 14 页） 2015年陕西省咸阳市高二（下）期末数学试卷（文科） 一、选择题：每小题为 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知 i 为虚数单位，则 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2下列四个图象中，两个变量具有正相关关系的是（ ） A B CD 3命题 “ （ 0， +）， 1”的否定是（ ） A （ 0， +）， 1 B 0， +）， 1 C x （ 0， +）， x 1 D x（ 0， +）， x 1 4下列函数求导正确的是（ ） A（ = （ =（ 2x） =x2x 1 D（ ） = 5设 a， b 是实数，则 “a+b 0”是 “0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6命题 “若 x=2，则 3x+2=0”的逆否命题是（ ） A若 x 2，则 3x+2 0 B若 3x+2=0，则 x=2 C若 3x+2 0，则 x 2 D若 x 2，则 3x+2=0 7要证明不等式 + 2 ，可选择的方法有（ ） A分析法 B综合法 C反证法 D以上三种方法均可 8为了研究高中学生对乡村音乐的态度（喜欢和不喜欢两种态度）与性别的关系，运用 2 2 列联表进行独立性检验，经计算 认为 “喜欢乡村音乐与性别有关系 ”的把握性约为（ ） P（ B 1% C 99% D 9若实数 m 满足 0 m 8，则曲线 =1 与曲线 =1 的（ ） 第 2 页（共 14 页） A焦距相等 B实半轴长相等 C虚半轴长相等 D离心率相等 10已知椭圆 + =1（ m 为实数）的左焦点为（ 4， 0），则该椭圆的离心率为（ ） A B C D 11观察下列各式： =2 ， =3 ， =4 ， ，若=9 ，则 m=（ ） A 80 B 81 C 728 D 729 12函数 f（ x）的定义域为 R，它的导函数 y=f（ x）的部分 图象如图所示，则下面结论错误的是（ ） A在（ 1， 2）上函数 f（ x）为增函数 B在（ 3， 4）上函数 f（ x）为减函数 C在（ 1， 3）上函数 f（ x）有极大值 D x=3 是函数 f（ x）在区间 1， 5上的极小值点 二、填空题：每小题 5 分，共 20 分 13若输入 a=3， b=4，则通过如图程序框图输出的结果是 14设 i 为虚数单位，则复数 共轭复数为 15函数 f（ x） =x 在 x=1 处取得极值，则 a 的值为 16设抛物线 x 上的一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点的距离为 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤 17已知函数 f（ x） =9x+3求： （ ） f（ x）的单调递增区间； （ ） f（ x）的极值 18已知抛物线 p 0）的焦点 F 位于直线 x+y 1=0 上 （ ）求抛物线方程； （ ）过抛物线的焦点 F 作倾斜角为 45的直线，交抛物线于 A， B 两点 ，求线段 中点 C 的横坐标 19已知数列 ， ， = （ n N+） 第 3 页（共 14 页） （ ）求 值，猜想数列 通项公式； （ ）运用（ ）中的猜想，写出用三段论证明数列 是等差数列时的大前提、小前提和结论 20 指空气中直径小于或等于 米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）为了探究车流量与 浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车 流量与 时间 周一 周二 周三 周四 周五 车流量 x（万辆） 50 51 54 57 58 浓度 y（微克 /立方米） 69 70 74 78 79 （ 1）根据表数据，请在下列坐标系中画出散点图； （ 2）根据上表数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 ； （ 3）若周六同一时间段车流量是 25 万辆，试根据（ 2）求出的线性回归方程预测，此时 留整数）？ 21已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的焦距为 2 ，长轴长为 4 （ ）求椭圆 C 的标准方程； （ ）如图，过坐标原点 O 作两条互相垂直的射线，与椭圆 C 交于 A， B 两点设 A（ x1， B（ 直线 方程为 y= 2x+m（ m 0），试求 m 的值 22已知函 数 f（ x） = +x 在 x=1 处的切线方程为 2x y+b=0 （ ）求实数 a， b 的值； （ ）若函数 g（ x） =f（ x） + g（ x）是其定义域上的增函数，求实数 k 的取值范围 第 4 页（共 14 页） 2015年陕西省咸阳市高二（下）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：每小题为 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知 i 为虚数单位，则 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数的基本概念 【分析】 将复数的分子、分母同乘以 i，利用多项式的乘法分子展开，将 1 代替；利用复数对应点的坐标实部为横坐标，虚部为纵坐标，判断出所在的象限 【解答】 解： 所以 z 在复平面内对应的点为（ 1， 1） 位于第四象限 故选 D 2下列四个图象中，两个变量具有正相关关系的是（ ） A B CD 【考点】 变量间的相关关系 【分析】 观察两个变量的散点图，若样本点成直线形带状分布，则两个变量具有相关关系，若带状越细说明相关关系越强，得到两个变量具有相关关系的图 【解答】 解： A 中两个变量之间是函数关系，不是相关关系； 在两个变量的散点图中，若样本点成直线形带状分布， 则两个变量具有相关关系， 对照图形： 本点成直线形带状分布， B 是负相关， D 是正相关， C 样本点不成直线形带状分布 两个变量具有正相关关系的图是 D 故选： D 3命题 “ （ 0， +）， 1”的否定是（ ） 第 5 页（共 14 页） A （ 0， +）， 1 B 0， +）， 1 C x （ 0， +）， x 1 D x（ 0， +）， x 1 【考点】 命题的否定 【分析】 根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论 【解答】 解：命题的否定是： x （ 0， +）， x 1， 故选： C 4下列函数求导正确的是（ ） A（ = （ =（ 2x） =x2x 1 D（ ） = 【考点】 导数的运算 【分析】 根据基本导数公式判断即可 【解答】 解：（ = = 2x） =x，（ ） = ， 故选： D 5设 a， b 是实数，则 “a+b 0”是 “0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 利用特例集合充要条件的判断方法，判断正确选项即可 【解答】 解： a， b 是实数，如果 a= 1， b=2 则 “a+b 0”，则 “0”不成立 如果 a= 1， b= 2， 0，但是 a+b 0 不成立， 所以设 a， b 是实数，则 “a+b 0”是 “0”的既不充分也不必要条件 故选： D 6命题 “若 x=2，则 3x+2=0”的逆否命题是（ ） A若 x 2，则 3x+2 0 B若 3x+2=0，则 x=2 C若 3x+2 0，则 x 2 D若 x 2，则 3x+2=0 【考点】 四种命题间的逆否关系 【分析】 根据命题 “若 p，则 q”的逆否命题是 “若 q，则 p”，写出它的逆否命题即可 【解答】 解：命题 “若 x=2，则 3x+2=0”的逆否命题是 “若 3x+2 0，则 x 2” 故选： C 7要 证明不等式 + 2 ，可选择的方法有（ ） A分析法 B综合法 C反证法 D以上三种方法均可 【考点】 综合法与分析法 (选修） 【分析】 利用三种方法，给出不等式的证明，即可得出结论 【解答】 解：用分析法证明如下：要证明 + 2 ， 需证（ + ） 2 （ 2 ） 2， 即证 10+2 20， 即证 5，即证 21 25，显然成立， 第 6 页（共 14 页） 故原结论成立 综合法： （ + ） 2（ 2 ） 2=10+2 20=2（ 5） 0， + 2 反证法：假设 + 2 通过两端平方后导出矛盾，从而肯定原结论 从以上证法中，可知三种方法均可 故选： D 8为了研究高中学生对乡村音乐的态度（喜欢和不喜欢两种态度）与性别的关系，运用 2 2 列联表进行独立性检验，经计算 认为 “喜欢乡村音乐与性别有关系 ”的把握性约为（ ） P（ B 1% C 99% D 【考点】 独立性检验 【分析】 把观测值同临界值进行比较得到有 99%的把握说学生性别与支持该活动有关系 【解答】 解： 照表格： P（ 有 99%的把握说学生性别与支持该活动有关系 故选： C 9若实数 m 满足 0 m 8，则曲线 =1 与曲线 =1 的（ ） A焦距相等 B实半轴长相等 C虚半轴长相等 D离心率相等 【考点】 双曲线的标准方程 【分析】 根据 m 的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及 a， b， c 的大小关系即可得到结论 【解答】 解：当 0 m 8，则 0 8 m 8， 16 24 m 24， 即曲线 =1 表示焦点在 x 轴上的双曲线，其中 4， m， 2 m， 曲线 =1 表示焦点在 x 轴上的双曲线，其中 a2=24 m， b2=8， c2=32 m， 即两个双曲线的焦距相等， 故选： A 10已知椭圆 + =1（ m 为实数）的左焦点为（ 4， 0），则该椭圆的离心率为（ ） A B C D 【考点】 椭圆的简单性质 第 7 页（共 14 页） 【分析】 由题意可得椭圆的焦点在 x 轴上，可得 b=3， c=4，由 a， b， c 的关系，解得 a=5，再由离心率 e= ，计算即可得到所求值 【解答】 解：椭圆 + =1（ m 为实数）的左焦点为（ 4， 0）， 即有 a=|m|， b=3， c=4， 由 c2= 16=9， 可得 a=|m|=5， 可得离心率 e= = 故选： B 11观察下列各式 ： =2 ， =3 ， =4 ， ，若=9 ，则 m=（ ） A 80 B 81 C 728 D 729 【考点】 归纳推理 【分析】 观察每个等式可以发现每个被开方数的分数部分的分母是分子的立方减去 1 所得，从而可求 m 【解答】 解： =2 =2 ， =3 ， ， =4 =4 ， ， 所以 ， 所以 =9 =9 ， 所以 m=93 1=729 1=728； 故选 C 第 8 页（共 14 页） 12函数 f（ x）的定义域为 R，它的导函数 y=f（ x）的部分图象如图所示，则下面结论错误的是（ ） A在（ 1， 2）上函数 f（ x）为增函数 B在（ 3， 4）上函数 f（ x）为减函数 C在（ 1， 3）上函数 f（ x）有极大值 D x=3 是函数 f（ x）在区间 1， 5上的极小值点 【考点】 利用导数研究函数的极值 【分析】 显然由图象可看成 x （ 1， 2）时，有 f（ x） 0，从而得出 f（ x）在（ 1， 2）上单调递增，这样便可选出正确选项 【解答】 解：根据导函数图象知， x （ 1， 2）时， f（ x） 0， x （ 2， 4）时， f（ x） 0， x （ 4， 5）时， f（ x） 0； f（ x）在（ 1， 2），（ 4， 5）上为增函数，在（ 2， 4）上为减函数， x=2 是 f（ x）在 1， 5上的极大值点， x=4 是极小值点； A 正确 故选： A 二、填空题：每小题 5 分，共 20 分 13若输入 a=3， b=4，则通过如图程序框图输出的结果是 5 【考点】 程序框图 【分析】 根据各程序框图的功能，模拟程序的运行过程，分析各变量在执行过程中值的变化情况，可得答案 【解答】 解： 模拟执行程序，可得 a=3， b=4 d=9+16=25， c=5， 输出 c 的值为 5 故答案为： 5 14设 i 为虚数单位，则复数 共轭复数为 i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 根据复数 i 的幂运算性质进行求解即可得答案 【解答】 解： 503 i， 它的共轭复数为 i 故答案为： i 15函数 f（ x） =x 在 x=1 处取得极值，则 a 的值为 1 第 9 页（共 14 页） 【考点】 函数在某点取得极值的条件 【分析】 由题意得求出函数的导数 f（ x） = +1，因为函数 f（ x） =x 在 x=1 处取得极值，所以 f（ 1） =0 进而可以求出答案 【解答】 解：由题意得 f（ x） = +1 因为函数 f（ x） =x 在 x=1 处取得极值， 所以 f（ 1） =0，即 a+1=0，所以 a= 1 故答案为 1 16设抛物线 x 上的一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点的距离为 5 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 由题意可得点 P 的横坐标为 4，由抛 物线的定义可得点 P 到该抛物线焦点的距离等于点 P 到准线 x= 1 的距离，由此求得结果 【解答】 解：由于抛物线 x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4，故点 P 的横坐标为 4 再由抛物线 x 的准线为 x= 1， 以及抛物线的定义可得点 P 到该抛物线焦点的距离等于点 P 到准线的距离， 故点 P 到该抛物线焦点的距离是 4（ 1） =5， 故答案为： 5 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤 17已知函数 f（ x） =9x+3求： （ ） f（ x）的单调递增区间； （ ） f（ x）的极值 【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）可求导数得到 f（ x） =3x 9，而通过解 f（ x） 0 即可得出函数 f（ x）的单调递增区间； （ ）根据 x 的取值可以判断导数符号，这样由极值的概念便可得出函数 f（ x）的极值 【解答】 解：（ ） f（ x） =3x 9，解 f（ x） 0 得： x 1，或 x 3； f（ x）的单调递增区间为（ ， 3， 1， +）； （ ） x 3 时， f（ x） 0， 3 x 1 时， f（ x） 0， x 1 时， f（ x） 0； x= 3 时 f（ x）取极大值 30， x=1 时， f（ x）取极小值 2 18已知抛物线 p 0）的焦点 F 位于直线 x+y 1=0 上 （ ）求抛物线方程； （ ）过抛物线的焦点 F 作倾斜角为 45的直线，交抛物线于 A， B 两点，求线段 中点 C 的横坐标 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 （ ）先求出焦点进而求出 P，从而求出抛物线的方程； （ ）先根据抛物线的焦点坐标和直线的倾斜角可表示出直线 方程，然后联立直线方程与抛物线方程可得到两根之和与两根之积，进而可得到中点 C 的横坐标 【解答】 解：（ ） 抛物线 p 0）的焦点 F 位于直线 x+y 1=0 上， F（ 1， 0） 第 10 页（共 14 页） 抛物线方程为 x； （ ）抛物线 x 的焦点坐标为（ 1， 0），准线方程为 x= 1， 直线 方程为 y=x 1， 设点 A（ B（ 将 y=x 1 代入 x 得 6x+1=0 则 x1+， x1 故中点 C 的横坐标为 3 19已知数列 ， ， = （ n N+） （ ）求 值，猜 想数列 通项公式； （ ）运用（ ）中的猜想，写出用三段论证明数列 是等差数列时的大前提、小前提和结论 【考点】 进行简单的演绎推理；归纳推理 【分析】 （ ）由数列 递推公式可得 而可猜想通项公式； （ ）由三段论的模式和等差数列的定义可证 【解答】 解：（ ） 数列 ， ， = ， ， ， 猜想： ； （ ） 通项公式为 数列 若 an=d， d 是常数， 则 等差数列， 大前提 又 = ，为常数； 小前提 数列 是等差数列 结论 20 指空气中直径小于或等于 米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）为了探究车流量与 浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与 时间 周一 周二 周三 周四 周五 车流量 x（万辆） 50 51 54 57 58 浓度 y（微克 /立方米） 69 70 74 78 79 （ 1）根据表数据，请在下列坐标系中画出散点图； （ 2）根据上表数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 ； （ 3）若周六同一时间段车流量是 25 万辆，试根据（ 2）求出的线性回归方程预测，此时 留整数）？ 第 11 页（共 14 页） 【考点】 线性回归方程 【分析】 （ 1）利用描点法可得数据的散点图； （ 2）根据公式求出 b， a，可写出线性回归方程； （ 3）根据（ 2）的性回归方程，代入 x=25 求出 浓度 【解答】 解：（ 1）散点图如图所示 （ 2） ， ， ， 故 y 关于 x 的线性回归方程是： （ 3）当 x=25 时， y=25+37 所以可以预测此时 浓度约为 37 第 12 页（共 14 页） 21已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的焦距为 2 ，长轴长为 4 （ ）求椭圆 C 的标准方程； （ ）如图，过坐标原点 O 作两条互相垂直的射线，与椭圆 C 交于 A， B 两点设 A（ x1， B（ 直线 方程为 y= 2x+m（ m 0），试求 m 的值 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）利用椭圆 C： + =1（ a b 0）的焦距为 2 ，长轴长为 4，求出椭