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第 1 页(共 18 页) 2015年广东省深圳市宝安区高二(上)期末数学试卷(理科) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1不等式 2x 5 2x 的解集是( ) A x|x 5 或 x 1 B x|x 5 或 x 1 C x| 1 x 5 D x| 1x 5 2已知向量 ,且 相互垂直,则 k 值为( ) A B C D 1 3 “x2= “x=y”的( ) A充分不必要条件 B充分必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 4若方程 E: =1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,则实数 m 的取值范围为( ) A( 1, 2) B( , 1) ( 2, +) C( , 2) D( 1, +) 5在 , a= , b= , B=45,则 A 等于( ) A 30 B 60 C 60或 120 D 30或 150 6已知 1, 8 成等差数列, 1, 4 成等比数列,那么 的值为( ) A 5 B 5 C D 7若动点 M( x, y)始终满足关系式 + =8,则动点 N 的轨迹方程为( ) A =1 B =1 C =1 D =1 8已知等差数列 前 n 项和 满足 ,则 ) A 4 B 2 C 0 D 2 第 2 页(共 18 页) 9已知 x, y 满足约束条件 ,若 z=ax+y 的最大值为 4,则 a=( ) A 3 B 2 C 2 D 3 10在 , a=2, c=1,则角 C 的取值范围是( ) A( 0, ) B( , ) C( , ) D( 0, 11已知直线 l: y=k+1 与抛物线 C: x,若 l 与 C 有且仅有一个公共点,则实数 ) A B 1, 0 C D 12已知圆 x2+y2=椭圆 =1,若在椭圆 存在一点 P,使得由点 1 的两条切线互相垂直,则椭圆 离心率的取值范围是( ) A B C D 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分 13已知命题 p: x R, m;命题 q:指数函数 f( x) =( 3 m) x 是增函数若 “p q”为假命题且 “p q”为真命题,则实数 m 的取值范围为 14已知点 M, N 分别是空间四面体 边 中点, P 为线段 中点,若 ,则实数 += 15设数列 前 n 项和为 1, =n+1,则数列 通项公式 16已知双曲线 C: =1,点 M 与曲线 C 的焦点不重合,若点 M 关于曲线 C 的两个焦点的对称点分别为 A, B, M, N 是坐标平面内的两点,且线段 中点 P 恰好在双曲线 C 上,则 | 三、解答题:本大题 6 小题,满分 70 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17设命题 p: 40(其中 a 0, x R),命题 q: x 6 0, x R ( 1)若 a=1,且 p q 为真,求实数 x 的取值范围; ( 2)若 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围 18已知函数 f( x) =g( x) =x,数列 前 n 项和记为 数列 通项, n N*点( n)和( n, 别在函数 f( x)和 g( x)的图象上 ( 1)求数列 通项公式; ( 2)令 ,求数列 前 n 项和 19已知 a、 b、 c 分别是 三个内角 A、 B、 C 的对边 ( 1)若 积 S , c=2, A=60,求 a、 b 的值; 第 3 页(共 18 页) ( 2)若 a= b=判断 形状 20已知直线 l 过点 M( 1, 1),且与 x 轴, y 轴的正半轴分别相交于 A, B 两点, O 为坐标原点求: ( 1)当 | |得最小值时,直线 l 的方程; ( 2)当 |+| 取得最小值时,直线 l 的方程 21如图所示,在长方体 , D=1, E 为 中点 ( 1)求证: 2)若二面角 A 大小为 30,求 长 22如图示, A, B 分别是椭圆 C: + =1( a b 0)的左右顶点, F 为其右焦点, 2是 | |等差中项, 是 | |等比中项点 P 是椭圆 C 上异于 A、 B 的任一动点,过点 A 作直线 l x 轴以线段 直径的圆交直线 点 A, M,连接 l 于点 Q ( 1)求椭圆 C 的方程; ( 2)试问在 x 轴上是否存在一个定点 N,使得直线 过该定点 N?若存在,求出 N 点的坐标,若不存在,说明理由 第 4 页(共 18 页) 2015年广东省深圳市宝安区高二(上)期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1不等式 2x 5 2x 的解集 是( ) A x|x 5 或 x 1 B x|x 5 或 x 1 C x| 1 x 5 D x| 1x 5 【考点】 一元二次不等式的解法 【分析】 将不等式转化为一元二次不等式,利用因式分解法,可求得结论 【解答】 解:不等式 2x 5 2x4x 5 0( x 5)( x+1) 0x 5 或 x 1, 故选 B 2已知向量 ,且 相互垂直,则 k 值为( ) A B C D 1 【考点】 空间向量的数量积运算 【分析】 再利用向量坐标运算法则分别求出 和 2 ,再由 相互垂直,可求出 k 【 解答】 解: 向量 , =( 1+k, k, 2), 2 =( 3, 2, 2), 相互垂直, ( ) ( 2 ) =3( 1+k) +2k 4=0, 解得 k= 故选: A 3 “x2= “x=y”的( ) A充分不必要条件 B充分必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 由 x2=得 x= y,即可判断出结论 【解答】 解:由 x2=得 x= y, 可得: “x2= “x=y”的必要不充分条件 故选: C 第 5 页(共 18 页) 4若方程 E: =1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,则实数 m 的取值范围为( ) A( 1, 2) B( , 1) ( 2, +) C( , 2) D( 1, +) 【考点】 双曲线的标准方程 【分析】 利用双曲线的性质直接求解 【解答】 解: 方程 E: =1 表示焦点在 y 轴上的双曲线, ,解得 1 m 2 实数 m 的取值范围为( 1, 2) 故选: A 5在 , a= , b= , B=45,则 A 等于( ) A 30 B 60 C 60或 120 D 30或 150 【考点】 正弦定理 【分析】 由正弦定理可得 ,再由大边对大角可得 A B=45,从而求得 A 的值 【解答】 解:由正弦定理可得 = , B=45, a b,再由大边对大角可得 A B, 故 B=60或 120, 故选, C 6已知 1, 8 成等差数列, 1, 4 成等比数列,那么 的值为( ) A 5 B 5 C D 【考点】 等比数列的性质;等差数列 的性质 【分析】 由 1, 8 成等差数列,利用等差数列的性质列出关于 两个关系式,联立组成方程组,求出方程组的解得到 值,再由 1, 4 成等比数列,利用等比数列的性质求出 ,再根据等比数列的性质得到 0,可得出于 0,开方求出 值,把 值代入所求式子中,化简即可求出值 【解答】 解: 1, 8 成等差数列, 2 1+ 2a2=, 由 得: 8, 代入 得: 2( 28) = 1+ 解得: , 8=10 8=2, 第 6 页(共 18 页) 又 1, 4 成等比数列, 0,即 0, 1) ( 4) =4, 开方得: 2, 则 = = 5 故选 A 7若动点 M( x, y)始终满足关系式 + =8,则动点 N 的轨迹方程为( ) A =1 B =1 C =1 D =1 【考点】 轨迹方程 【分析】 由 + =8 的几何意义,即 动点 M( x, y)到两定点( 0, 2)和( 0, 2)的距离和为定长 8,可知动点 M 的关键为焦点在 y 轴上的椭圆,且求出 a,c 的值,结合隐含条件求得 b 值,则椭圆方程可求 【解答】 解: + =8 的几何意义为动点 M( x, y)到两定点( 0, 2)和( 0, 2)的距离和为定长 8, 两定点距离为 4,且 8 4, 动点 M 的轨迹是以( 0, 2)和( 0, 2)为焦点,长轴长是 8 的椭圆, 则 a=4, c=2, b2=6 4=12, 则动点 M 的轨迹方程为 故选: B 8已知等差数列 前 n 项和 满足 ,则 ) A 4 B 2 C 0 D 2 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 根据等差数列 前 n 项和 定义,利用 1,即可求出结果 【解答】 解: 等差数列 前 n 项和为 且满足 , n 1) 2( n 1) =3n+2 1=12 3 1+2=0 第 7 页(共 18 页) 故选: C 9已知 x, y 满足约束条件 ,若 z=ax+y 的最大值为 4,则 a=( ) A 3 B 2 C 2 D 3 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定 【解答】 解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分) 则 A( 2, 0), B( 1, 1), 若 z=ax+y 过 A 时取得最大值为 4,则 2a=4,解得 a=2, 此时,目标函数为 z=2x+y, 即 y= 2x+z, 平移直线 y= 2x+z,当直线经过 A( 2, 0)时,截距最大,此时 z 最大为 4,满足条件, 若 z=ax+y 过 B 时取得最大值为 4,则 a+1=4,解得 a=3, 此时,目标函数为 z=3x+y, 即 y= 3x+z, 平移直线 y= 3x+z,当直线经过 A( 2, 0)时,截距最大,此时 z 最大为 6,不满足条件, 故 a=2, 故选: B 10在 , a=2, c=1,则角 C 的取值范围是( ) A( 0, ) B( , ) C( , ) D( 0, 【考点】 余弦定理 【分析】 根据正弦定理,代入题中数据得 结合 A 为三角形内角算出 ( 0,根据正弦函数的图象,可得 C ( 0, , ),注意到 a c 得 C 不是最大角,因此得到 C ( 0, 第 8 页(共 18 页) 【解答】 解: , a=2, c=1, 由正弦定理 ,得 由此可得 A ( 0, ),可得 0 1, ( 0, , 结合函数 y=图象,可得 C ( 0, , ) 又 a c,可得角 C 是锐角, C ( 0, 故选: D 11已知直线 l: y=k+1 与抛物线 C: x,若 l 与 C 有且仅有一个公共点,则实数 ) A B 1, 0 C D 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 当斜率 k=0 时,直线 l: y=k+1 平行于 x 轴,与抛物线 x 仅有一个公共点,当斜率 不等于 0 时,把 l: y=k+1 代入抛物线的方程化简,由判别式 =0 求得实数 k 的值 【解答】 解:当斜率 k=0 时,直线 l: y=k+1 平行于 x 轴,与抛物线 x 仅有一个公共点 当斜率不等于 0 时,把直线 l: y=k+1 代入抛物线 x 得 4k 4) x+( 2k+1)2=0, 由题意可得,此方程有唯一解, 故判别式 =( 4k 4) 2 42k+1) 2=0, k= 1 或 , 故选: C 12已知 圆 x2+y2=椭圆 =1,若在椭圆 存在一点 P,使得由点 1 的两条切线互相垂直,则椭圆 离心率的取值范围是( ) A B C D 【考点】 椭圆的简单性质 第 9 页(共 18 页) 【分析】 设 P( m, n),由题意 列出方程组求出 = ,从而 = ,由此能求出椭圆 离心率的取值范围 【解答】 解:设 P( m, n),由题意知 , , = , = = = , a m a, m=b 时, =1, m=a 时, = , = , = , 又 0 e 1, 椭圆 离心率的取值范围是 , 1) 故选: D 二、填空题:本大题共 4 小题,每小 题 5 分,满分 20 分 13已知命题 p: x R, m;命题 q:指数函数 f( x) =( 3 m) x 是增函数若 “p q”为假命题且 “p q”为真命题,则实数 m 的取值范围为 1, 2) 【考点】 复合命题的真假 【分析】 分别求出 p, q 为真时的 m 的范围,通过讨论 p, q 的真假,从而求出 m 的范围即可 【解答】 解:命题 p: x R, m,解得: m 1; 命题 q:指数函数 f( x) =( 3 m) x 是增函数, 则 3 m 1,解得: m 2, 若 “p q”为假命题且 “p q”为真命题, 则 p, q 一真一假, p 真 q 假时: 无解, p 假 q 真时: ,解得: 1 m 2, 第 10 页(共 18 页) 故答案为: 1, 2) 14已知点 M, N 分别是空间四面体 边 中点, P 为线段 中点,若 ,则实数 += 【考点】 空间向量的基本定理及其意义 【分析】 要充分利用图形的直观性,熟练利用向量加法的三角形法 则进行运算 【解答】 解:如图,连接 ,点 P 是 点, 则由平行四边形法则得 = ( + ) = + = + ( + ) = + + , += , 故答案为: 15设数列 前 n 项和为 1, =n+1, 则数列 通项公式 【考点】 数列递推式 【分析】 由已知数列递推式可得数列 是以 1 为首项,以 1 为公差的等差数列,求其通项公式后,利用 n 1 求得数列 通项公式 【解答】 解:由 =n+1,得: n, 即 , 数列 是以 1 为首项,以 1 为公差的等差数列, 则 , 当 n 2 时, 第 11 页(共 18 页) n=1 时上式不成立, 故答案为: 16已知双曲线 C: =1,点 M 与曲线 C 的焦点 不重合,若点 M 关于曲线 C 的两个焦点的对称点分别为 A, B, M, N 是坐标平面内的两点,且线段 中点 P 恰好在双曲线 C 上,则 | 12 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据已知条件,作出图形, 中点连接双曲线的两个焦点,便会得到三角形的中位线,根据中位线的性质及双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值为 2a,即可求出| | 【解答】 解:双曲线 C: =1 的 a=3, 设双曲线 C 的左右焦点分别为 图, 连接 中点, P 是 中点, 中位线, | | 同理 | | | |=2| |, P 在双曲线上, 根据双曲线的定义知: | |=2a=6, | |=12 故答案为: 12 三、解答题: 本大题 6 小题,满分 70 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 第 12 页(共 18 页) 17设命题 p: 40(其中 a 0, x R),命题 q: x 6 0, x R ( 1)若 a=1,且 p q 为真,求实数 x 的取值范围; ( 2)若 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断;复合命题的真假 【分析】 ( 1)将 a=1 代入,分别求出 p, q 为真时的 x 的范围,取交集即可; ( 2)解出关于 p 的不等式, p 是 q 的充分不必要条件结合集合的包含关系得到关于 出即可 【解答】 解:( 1)当 a=1 时,由 4x+3 0,得 1 x 3, 即命题 p 为真时有 1 x 3 命题 q 为真时, 2 x 3 由 p q 为真命题知, p 与 q 同时为真命题,则有 2 x 3 即实数 x 的取值范围是( 2, 3) ( 2)由 40,得( x 3a)( x a) 0 又 a 0,所以 a x 3a, 由 p 是 q 的充分不必要条件知, q 是 p 的充分不必要条件 则有 2 x 3x|a x 3a 所以 解得 1 a 2 即实 数 a 的取值范围是( 1, 2) 18已知函数 f( x) =g( x) =x,数列 前 n 项和记为 数列 通项, n N*点( n)和( n, 别在函数 f( x)和 g( x)的图象上 ( 1)求数列 通项公式; ( 2)令 ,求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和;数列递推式;数列与函数的综合 【分析】 ( 1)由题意可得: n=得 n Sn=n,当 n 2 时, n 1,即可得出 ( 2) f( 1) = =2n 1可得 ,利用 “裂项求和 ”即可得出 【解答】 解:( 1)由题意可得: n=得 n Sn=n,当 n 2 时, 1=( n 1) 2+2( n 1), n 1=2n+1 当 n=1 时也成立, n+1 ( 2) f( 1) = =2n 1 = = , 第 13 页(共 18 页) 数列 前 n 项和 + += = 19已知 a、 b、 c 分别是 三个内角 A、 B、 C 的对边 ( 1)若 积 S , c=2, A=60,求 a、 b 的值; ( 2)若 a= b=判断 形状 【考点】 余弦定理;三角形的形状判断 【分析】 ( 1)由 A 的度数求出 值,再由 c 及三角形的面积,利用三角形的面积公式求出 b 的值,然后由 b, c 及 值,利用余弦定理即可求出 a 的值; ( 2)由三角形的三边 a, b 及 c,利用余弦定理表示出 入已知的 a=简可得出 a2+b2=用勾股定理的逆定理即可判断出三角形为直角三角形,在直角三角形 用锐角三角函数定义表示出 入 b=简可得 b=a,从而得到三角形 【解答】 解:( 1) , ,得 b=1, 由余弦定理得: a2=b2+22+22 2 1 23, 所以 ( 2)由余弦定理得: , a2+b2= 所以 C=90; 在 , ,所以 , 所以 等腰直角三角形 20已知直线 l 过点 M( 1, 1),且与 x 轴, y 轴的正半轴分别相交于 A, B 两点, O 为坐标原点求: ( 1)当 | |得最小值时,直线 l 的方程 ; ( 2)当 |+| 取得最小值时,直线 l 的方程 【考点】 直线的点斜式方程 【分析】 ( 1)设出点 A 的坐标,写出直线 方程,利用基本不等式求出 a+b=|最小值,写出对应的直线方程; ( 2)设出直线方程为 y 1=k( x 1)( k 0),求出 |+| 的最小值,写出对应的直线方程 【解答】 解:( 1)设点 A( a, 0), B( 0, b),且 a 0, b 0, 直线 l 的方程为: + =1, 且直线 l 过点 M( 1, 1), + =1; 第 14 页(共 18 页) a+b=( a+b) ( + ) =2+ + 2+2 =4, 当 且仅当 = ,即 a=b 时取 “=”, 将 a=b 代入 式得 a=2, b=2; 直线 l 的方程为 x+y 2=0, 即 |最小值 4 时, l 的方程为 x+y 2=0; ( 2)设直线方程为 y 1=k( x 1)( k 0), 则 A( +1, 0), B( 0, 1 k), |+|=( ) 2+1+1+( k) 2=2+ 2+2=4, 当且仅当 k= 1 时取 “=”; 当 |+| 取得最小值 4 时,直线 l 的方程为 y 1=( x 1),即 x+y 2=0 21如图所示,在长方体 , D=1, E 为 中点 ( 1)求证: 2)若二面角 A 大小为 30,求 长 【考点】 二面角的平面角及求法 【分析】 ( 1)以 A 为原点, , , 的方向分别为 x 轴, y 轴, z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,利用向量法能证明 ( 2)求出平面 一个法向量和平面 法向量,由二面角 A 大小为 30,利用向量法能求出 长 【解答】 证明:( 1)以 A 为原点 , , , 的方向分别为 x 轴, y 轴, z 轴的正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系 设 AB=a,则 A( 0, 0, 0), D( 0, 1, 0), 0, 1, 1), E( , 1, 0), a, 0, 1), =( a, 0, 1), =( , 1, 0), =( 0, 1, 1), =( , 1, 1) = 0+1 1+( 1) 1=0, 解:( 2)连结 长方体 D=1,得 又由( 1)知 1E= 平面 第 15 页(共 18 页)

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