【毕业学位论文】（Word原稿）用统计方法建立NBA球员薪金与场上表现模型初探-统计教育学

1 用统计方法建立 员薪金与场上表现模型初探 中央财经大学 目录 摘要 . 2 一、 问题提出 . 3 二、 研究现状和存在的问题 . 3 三、 数据变量的来源和解释 . 4 四、 分析方法 . 5 1. 岭回归 (. 5 2. 因子分析 (. 6 3. 回归分析 (. 7 五、 模型建立 . 7 1. 岭回归 . 7 2. 因子分析 . 12 3. 回归分析 . 14 六、 结论与建议 . 16 附录 . 18 附录 . 18 附录 . 18 参考文献 . 20 2 摘要 随着 在全球的影响力不断加深，进入 中 一个 重要原因是其极高数额的薪金合同。薪金数额主要取决于球队老板和教练，薪金能否与球员的场上表现有一个正相关的关系 是我们关注的对象。本文 使用岭回归，因子分析方法，以及一般的最小二乘回归方法，分析薪金与球员各项数据指标 关系，建立能够表明 薪金与球员年度场上表现 的模型，借此判断球员薪金 合同 的合理性，对球队分配薪金、激励球员有很强 的指导意义。 笔者所用到的所有数据均来自于 关键词： 岭回归 因子分析 最小二乘回归 3 一、 问题 提出 2010季的 烟刚刚散去，小牛队卧薪尝胆数十年，终于拿到了总冠军。下一个赛季 ，中国巨星姚明的去留、新合同的签订与否一直牵动着中国球迷的心， 其他球员转会情况以及薪金合同变化也随之拉开了帷幕。 联盟中各支球队不断顶破工资限制，给予球员更高的薪金， 鼓励他们夺取总冠军。 球员工会也在不停努力来提高球员的薪金水平。诸多因素的影响 下， 年上亿美元的合同已经不在少数。这些合同是否合理、匹配 于他们的场上表现是 球迷和球队、球员工会关注的焦点 。 在此，笔者选择 200600余名球员职业 联赛表现数据与薪金数据， 将 这 两类数据进行 回归 分析 并建立模型， 探寻薪金的合理性与改进方法 ，进而有益于 队更合理地分配薪金，激励球员， 完成夺取总冠军 的终极目标。笔者首先使用 岭回归对薪金和各项数据指标进行回归， 回归结果不十分理想 ，原因来自于 球员不同的风格以及不同 的数据指标 的交互影响 ， 岭回归 使用的软件是 根据 岭回归 结果，为了降低指标维度 ， 研究众多变量之间的内部依赖关系， 笔者使用因子分析方法，利用 15个变量用 5个假想变量 （因子） 表示其基本的数据结 构。 5个变量 （因子） 能够更直观 地评价球员的能力和薪金对比，并有主次之分。随后，笔者对 部分指标进行 线性 普通最小二乘回归，从而找出这些单个变量之间互相的关联。总结四个 回归，经过不同试验，得到了说服力较强的回归结果 ，建立相应的模型 。 本文的创新之处 ： 此前尚未有 对 系的直接或间接 研究，本文为首次探讨 ； 笔者编写 其结果更为精确； 使用因子分析方法，将 构分析，并将 数据分析结果与实际情况做了比对和解释；最终 对 15 项数据指标做完整的分析并找出 内部的相互关联， 建立分项模型。 二、 研究现状和存在的问题 笔者搜索了大多数期刊数据库，未发现与 员薪金与球员场上数据指标分析研究的文章。虽然收集到 一些关于 金讨论的文章，但其内容主要是薪金 制度、关于 这些研究集中于 联盟和球队的 层面，没有深入 量化探讨球员层面的薪金问题。 薪金 要发给球员，薪金4 的多少理应与球员的场上数据、球员对球队的贡献以及球员的影响力相匹配， 否则其发放便无章可循。因此，本文是针对 员层面的薪金问题做的初步探讨，并希望 带来更多的研究。 三、 数据变量的来源和解释 本文 使用 的数据变量如表 1： 表 1 本文中所需要使用的 15项球员场上数据指标以及薪金的中英文解释 G G% 赛季上场次数 赛季首发次数 平均单场上场时间 赛季投篮命中率 3P% 季三分球命中率 赛季罚球 命中率 平均单场前场篮板 1 平均单场后场篮板 2 均单场篮板 平均单场助攻 3 平均单场抢断次数 平均单场盖帽次数 F 平均单场失误 平均单场犯规 平均单场得分 US 薪金 注： 1前场篮板指的是进攻篮板； 2后场篮板指的是防守篮板； 3助攻指的是传给队友篮球后队友投进得分 表 1的数据全部来自于 布的结果（虎扑中国） 。包括 2006薪金外， 共有 15项单项数据。以下逐一解释 选 取该数据的理由 ： 上场次数、首发次数和上场时间直接影响球员对球队的贡献 ，体现 球队对球员的信任程度。球队不需要昙花一现的球员，这些球员必然得不到稳定的上场次数以及时间；同时球队更不需要大量占用上场次数和时间却效率低下的球员。不仅如此，上场次数与球员的健康程度有很大关系，当球队与一名容易受伤的球员签约尤其签的是大合同时，球队会承担很大的风险，故球队在 做出选择之前 会 重点 考虑球员的健康因素。因此，薪金与此三项数据有重要联系。 5 赛季投 篮命中率、三分球命中率以及罚球命中率 分别从不同 角度 反映了球员的得分 效率。高薪金球员有更多的控球时间以及出手机会 ，因为他们担任了更多的责任。 而且， 他们 珍惜出手机会并 高效完成投篮 ， 关系到他们的场上表现， 对球队而言至关重要 。因此，投篮效率与薪金有紧密联系。 球员在进攻端有上佳表现 ，球队 同样 需要他们在防守端 有 出色 表现 。 这些素养通过诸如 前后场篮板、抢断和盖帽次数 等指标表现出来 。球员在战术体系中的角色位置 对 这些指标 有较大影响 ，不同的球员有不同的侧重点。因此， 本文通过完整的防守端数据体系来评价球员，对其 相应的薪金情况 进行全面分析 。 如上文所说，由于不同球员在球队战术体系 中的角色位置不同，必须有完整的数据体系来评价他们的贡献，而助攻次数是评价一位球员贡献时非常重要的数据，每一次的助攻都意味着队友的直接得分，助攻的能力也直接决定了一位球员组织水平的高低，毕竟篮球是整体运动，组织进攻者是全场的进攻发动机，也往往是球队的灵魂。故在综合评价一位球员的贡献时，助攻数据是必不可少的。 犯规和失误从另一面对球员的场上表现做了评价。犯规是否合理，失误是否控制得当，表现了球员的 综合素质和头脑反应。在很多时候，犯规也是球队战术中的一环， 是不容忽视的。 得分可能是评价一位球员贡献时最重要的数据了 ，球队打比赛的最终目是赢球，而赢球的方法说白了就是自己球队多得分，让对方球队少得分，每个球队都需要得分能力强的球员。故场均得分是我们必不可少的数据。 综上所述，我们选择了球员的 15 项指标进行分析并与薪金对比，希望寻求一个合理的模型，能够综合评价球员的表现并匹配于他的薪金。 四、 分析方法 1. 岭回归 (岭回归是一种修正最小二乘法 ,它通过引入一个偏倚常数 ,找到一个有偏估计量 ,使其精度优于最小二乘的估计量。 通过放弃最小二乘法的无偏性，以损失部分信息、降低精度为代价获得 回归系数 更为符 合实际、更可靠的回归方法 。在自变量高度相关时 ,岭回归的估计量是稳定而且有效的。 在 者所选用的所有变量都有必要或者必须进行考虑。比如每个 队的老板 (总经理，教练等等都会有不同的侧重点，抛开这些， 可以得到一个综合的观察角度。例如投篮命中率，这是多数人考虑的重点，并且部分指标在理论与实际数据上会有较大差异，这也是为什么 如此大的6 魅力，正是这种理论与实际的差异，彰显了许多球员优秀的球技和高超的配合能力。在分析过程中，传统的计量方法不适用，我们很难因为违背基本假定而取消某 些变量， 或者改变一些关系，这些指标的关系一般为线性的，是平行的。所以本文 考虑 引入岭回归，对原始回归结果进行优化。 根据 高斯马尔科夫定理 ，多重相关性并不影响最小二乘估计量的无偏性和最小方差性，但是，虽然最小二乘估计量在所有线性无偏估计量中是方差最小的，但是这个方差却不一定小。而实际上可以找一个有偏估计量，这个估计量虽然有微小的偏差，但它的精度却能够大大高于无偏的估计量。岭回归分析就是依据这个原理，通过在正规方程中引入有偏常数而求得回归估计量 。 2. 因子分析 (因子分析是一 种数据简化的技术。它通过研究众多变量之间的内部依赖关系，探求观测数据中的基本结构，并用少数几个假想变量来表示其基本的数据结构。这几个假想变量能够反映原来众多变量的主要信息。原始的变量是可观测的显在变量，而假想变量是不可观测的潜在变量，称为因子。 因子分析模型 设 Xi(i=1,2, ,p) p 个变量，如果表示为 称为公共因子，是不可观测的变量，他们的系数称为因子载荷。 是特殊因子，是不能被前 m 个公共因子包含的部分。并且满足： 7 因子旋转（正交变换） 建立了因子 分析数学目的不仅仅要找出公共因子以及对变量进行分组，更重要的要知道每个公共因子的意义，以便进行进一步的分析，如果每个公共因子的含义不清，则不便于进行实际背景的解释。由于因子载荷阵是不惟一的，所以应该对因子载荷阵进行旋转。目的是使因子载荷阵的结构简化，使载荷矩阵每列或行的元素平方值向 0和 1两极分化。 3. 回归分析 (经过上面的综合性分析，局部的回归分析显得更加重要。 根据每个球员的特点，不难发现，尽管数据呈现时间序列特点，但是由于单个球员样本量少，并且从年度数据上看，受 时间影响很小，滞后期往往可以达到整体样本量的一半以上。因此，采用横截面数据分析即可。 横截面数据分析中，笔者根据因子分析和岭回归的分析结果进行部分回归，观察其中一些特别变量之间的关系。根据实际含义，我们同样可以分析出整体风格格局，例如，进攻性数据，防守性数据，失误等等。 这里采用普通最小二乘法，由于每个球员相对独立，各个评价指标和薪金也有关联，因此符合普通最小二乘的基本假定。由于是截面数据，笔者采取多次分类回归的方法。 使用 普通最小二乘法保证估计量的无偏性，在变量相对独立的情况下建立的模型更加合理。 五、 模型建 立 1. 岭回归 回归的数据，笔者对其进行了标准化处理，这样的处理使得各个变量之间可以进行回归分析，排除了由于数据本身特殊性导致的偏误。 8 在岭回归之前，我们将 493个样本进行划分，通过有放回的随机抽样抽取其中的 20%作为测试集，其余的作为训练集。整个数据集的第一列为薪酬，后面是场上表现指标。 岭回归的部分关键程序步骤如下： 在这部分回归之前，我们进行了初始化设定，这里的 分别是矩阵和列向量，使用的是训练集。 程序 1 ,X,b) t(%b)%*%(%b)+t(b)%*%b) #这是原始的优化方程 X=2:16);Y=1 #设定 b=,15) d=2*(t(X)%*%(%b)b) ld=d2) #if(;) k; ,X,b+d),X,b) k=k+1 b=b+d 这部分的回归主要是进行初步尝试，思想是一般优化中使用的梯度下降算法。这里的梯度是每次迭代点的切线方向（在程序中是 d），即导数值。对步长的处理是固定的，随着每一次迭代，我们都对其进行固定形式的缩减处理，即初始设定步长的 k 次幂，乘以 有特别限制，这里仅仅观测整体函数的取值，如果足够小，那么退出循环，此时的系数 b 加上步长乘以方向（梯度），得到了一系列结果。 G S G. 3P. T. O F 理回归结果可得 直观地观察此结果， 薪金与大部分数据成正相关，而与三分球命中率成负相关 。在以上程序中，固定的步长较大， 在迭代的过程中 有可能 越过了最佳拟合点，导致 结果的不准确。下面是对梯度下降算法的一个改善，即对岭回归的一个算法改善。思想大致相同，这里对其中的 行限制，如果其小于 提前退出循环， 长使用上一部分程序的预设定。这样做是对步长本身有一个较好的限制，对每次的改变有一个人为的约束。 见程序 2： 程序 2 ) d=2*(t(X)%*%(%b)b) ld=d2) if(#程序改善部分 ;)k;,X,b+d),X,b) k=k+1 10 b=b+d 程序中， 样做的好处是，根据梯度的变化，调整步长，这样的好处在上一个回归中也有所体现。本次回归中，步长每次的调整的幅度可以控制，我们可以把范围定在 至于 限，本文计算使用 G S G. 3P. T. O F 理回归结果可得 到此， 从理论上来说， 回归方程已比较精确， 完成了模型的初步建立 ，尽管估计量是有偏的，模型的总体拟合效果较好 。但是看其实际意义，可以发现 ， 薪金与上场次数、平均上 场时间、命中率、平均单场前场篮板、平均单场抢断次数、平均单场失误都成负相关关系。这有悖于常理，毕竟以上数据都是能够体现球员综合能力的指标。 有理由推测， 由于球员选择较多，战术打法不同，11 教练或者经理（也包括老板）对球员 选择 的侧重点不同，以及数据内部 可能存在的关联导致了此结果 。 我们更可以猜测，这些正系数项是 负项的指标说明球队老板和教练对部分球员提出了相应要求，但是对他们的薪金影响不大。 对以上回归过程作图 如图 1通过对图形的绘制，可以看出每个变量针对薪金的迭代逼近过程。数字 0及字母 别代表了 15 个变量。某些变量与精确值很近，而有些相差较大。但随着迭代过程，逼近效果明显，结果愈加精确。 图 1 12 2. 因子分析 使用 取部分结果如下： 图 2 如图 2所示 ，当取至 5个因子时，累计值超过 85%，因此使用 5 个因子。 为了使结果更加精确，我们选择旋转因子矩阵，这样做的好处是区分因子间的相似程度。 图 3 因子结构 图 4 旋转因子结构 图 5 To t a l V a r i a nc e E x pl a i ne 3 7 8 4 9 . 1 8 4 4 9 . 1 8 4 7 . 3 7 8 4 9 . 1 8 4 4 9 . 1 8 4 5 . 0 8 8 3 3 . 9 2 1 3 3 . 9 2 13 . 2 6 1 2 1 . 7 4 1 7 0 . 9 2 4 3 . 2 6 1 2 1 . 7 4 1 7 0 . 9 2 4 4 . 0 8 6 2 7 . 2 4 0 6 1 . 1 6 1. 9 8 3 6 . 5 5 2 7 7 . 4 7 6 . 9 8 3 6 . 5 5 2 7 7 . 4 7 6 1 . 3 7 9 9 . 1 9 6 7 0 . 3 5 7. 7 2 4 4 . 8 2 4 8 2 . 3 0 0 . 7 2 4 4 . 8 2 4 8 2 . 3 0 0 1 . 3 0 5 8 . 7 0 1 7 9 . 0 5 8. 5 8 9 3 . 9 2 9 8 6 . 2 2 9 . 5 8 9 3 . 9 2 9 8 6 . 2 2 9 1 . 0 7 6 7 . 1 7 1 8 6 . 2 2 9. 4 2 8 2 . 8 5 4 8 9 . 0 8 3. 3 9 5 2 . 6 3 0 9 1 . 7 1 3. 2 9 7 1 . 9 8 3 9 3 . 6 9 6. 2 8 0 1 . 8 6 4 9 5 . 5 6 0. 2 2 3 1 . 4 8 5 9 7 . 0 4 5. 1 9 2 1 . 2 8 2 9 8 . 3 2 7. 1 0 1 . 6 7 5 9 9 . 0 0 2. 0 9 4 . 6 2 5 9 9 . 6 2 8. 0 5 6 . 3 7 1 9 9 . 9 9 9. 0 0 0 . 0 0 1 1 0 0 . 0 0 0C o m p o n e n t a l % o f V a r i a n c e C u m u l a t i v e % To t a l % o f V a r i a n c e C u m u l a t i v e % To t a l % o f V a r i a n c e C u m u l a t i v e %I n i t i a l E ig e n v a l u e s E x t r a c t i o n S u m s o f S q u a r e d L o a d i n g s R o t a t i o n S u m s o f S q u a r e d L o a d i n g sE x t r a c t i o n M e t h o d : P r i n c i p a l C o m p o n e n t A n a l y s i s 2 因子分析结果 分析因子分析的结果，可以看出以下几点： 在第 一个 因子中，包括了 3种篮板数据、平均单场盖帽、平均单场犯规、赛季首发次数、平均单场上场时间以及平均单场得分。显然这些数据是首先被关注的球员素质或能力。其中，上场时间和首发次数都来自于球队教练对该球员的信任，只有充分认可才可以有足够是时间和机会，而得分显然是直接衡量球员的一个指标。随着上场时间的提高，犯规次数会随之提高，这个数据是可解释的。 3种篮 板数据和盖帽数据 包含在主要因子中， 可以看出，防守型球员是非常受青睐的 ，说明整个 在进攻能力突出的同时，兼具防守能力，该球员的薪金将显著高于其他球员。即使仅擅长于防守，也一样能拿到较高的薪金 ，说明在球队胜负方面，防守的作用更加重要 ； 第 2因子中，包括了平均单场助攻、平均单场抢断、平均单场失误以及上场时间和单场得分。同第 1类类似，得分和上场时间与薪金的关系紧密。而助攻和抢断均是协助型球员。他们能够帮助队友防守或者进攻，间接地完成了球队任务，由此看来，协助型球员同样可以得到他们应得的薪金。其中值 得注意的是平均单场失误。随着助攻次数的提高， 必然会伴随着助攻的失败，从而造成了失误，因此在这一类中是合理的。这个因子的 方差 贡献率 与 主因子 相比， 有所下降 ，说明了总体趋势下，单纯配合型球员受重视程度低 ， 第 3因子中，包括罚球命中率和三分球命中率，以及得分。得分依然在次起到作用。而两种命中率则显示出了球员的进攻效率，是否在获得出手机会的同时把握住该机会，能够精准投篮和高效进攻的球员非常优秀。同时值得注意的是，罚球命中率的前提是该球员被犯规，重要球员被犯规的次数显然会远高于非重要球员；能够大 量获得三分球出手机会的球员，同样是重要球员，在队友的帮助下获得该机会。因此，这两项命中率排在第 3 因子中。 第 4因子中，包括上场次数和首发次数。首发次数高的球员自然上场次数高。但依然有一些替补球员能够获得足够的上场次数。但他们的重要性就不能与首发球员相比。很多时候，他们需要做的是配合主要球员，甚至是替换主要球员下场1 3P%、 G、 4 休息，临时参加比赛。第四因子的方差贡献率更低，说明单纯看上场次数和首发次数不能够判断一个球员的水平，除了一级球员，还有相当数量的二级，三级球员，他们对指标的说明产生了影响 。 第 5因子中，包括赛季投篮 命中率、前场篮板和平均单场犯规。事实上，即使是替补球员同样可能有较高的投篮命中率，因为他们的出 手机会并不多。同时，出于战术的考虑，他们会有较高的犯规次数， 使得第 5因子 合理。 3. 回归分析 在这里，笔者对部分指标进行普通最小二乘回归。目的是找出这些单个变量之间互相的关联。由于球员风格和位置不同，所以综合考虑所有指标有失偏颇。从理论上看，笔者进行四个分别回归，经过不同试验，得到了说服力较强的回归方程。 主要考虑使用线性模型，如下： 模型回归使用 本 观测 值 为 493个，回归分为四个模型，从不 同角度对整体结构进行分析。四个模型分别从球员薪金，球队配合，得分效率，与防守方式四个方面对其进行综合考察。 球员薪金及其相应影响因素 根据因子分析结果，适当选取主因子的部分变量进行回归分析， 经过试验，下面的模型拟合效果较好。 主因子的方差贡献率较低，线性方程的拟合不会很高 。 表 3 1024056 2450999 变量为 酬（美元 /每年） 调整 R 平方约为 截面数据中，这样的结果可以接受， 第三行是 以发现 各项系数检验均通过。对薪酬而言，平均单场盖帽次数与薪酬成正比，在上场次数和赛季首发次数中，二者互有影响，相较之下，没有绝对关系，首发次数越多，说明球员的水平相对较高，受到球队的和教练的重视。明星球员会有频繁伤病干扰，所以上场次数较普通球员没有优势。平均单场得分与薪酬有较高联系，也反映出整个联盟商业化特点，后面的是平均单场篮板和平均单场抢断次数与薪酬的关系，系数出现负数，代表它受到其他因素的影响。对15 于薪酬而言，一般呈正向趋势，这里从侧面说明，这两个因素不是多数教练，经理以及老板所考虑的重点。 所以，在考虑与 球员 球员签订和同时，可以考虑 球员之前的得分能力，篮板与盖帽 的数据 ，来制定合理的薪金。 球队配合 在选取影响球队整体配合的因素时，主要选取助攻与失误的指标进行衡量。篮球是一种配合性很强的运动，这两项指标直接反应了一个球员与球队的配合能力。 方程显示的是对助攻与失误的相对回归关系，其中的调整 全可以接 受。并且方程通过其余各项检验， 括号中是系数检验， 得到的拟合效果较好，可以说明他们之间的联系。 助攻次数越多，说明球员对球队的得分贡献越高。由于在助攻时需要快速反映，以及和队友之间的默契配合，所以会造成失误的增多。球 员水平不同，会导致每个人失误水平不同，这是造成拟合效果无法达到较 高水平的一个因素。 从本模型可以发现，考虑 球员 配合能力时，选取助攻次数较多，同时失误较少的球员，当然，其平均水平大约是 关系，可以认为，如果球员助攻失误比超过 么球员助攻能力强， 反之亦然。在数据上看，如果球员助攻次数较少，说明球员配合能力较差。 得分效率 得分效率 是球迷关注最多的，也是多数球队老板和教练的关注重点，从大牌球星的数据来看，场均得分都是可以用来炫耀的资本。为此，考虑几个因素，分别是 球员得分，上场时间，失误与犯规 。 这些因素直接影响球员的得分，犯规在一定程度上影响对方得分和己方进攻策略，所以考虑在内 。 在 失误 方面 ， 对得分的影响较大，当然，上场时间多，出手次数多，失误也会增多。 表 4 O 变量为平均上场时间 平均上场时间与得分有相互因果关系，即得分越多，有越多的机会上场。但16 是随着上场时间的增多，失误与犯规的次数也随之增加。 模型 的拟合效果非常好， 调整 R 平方 达到了 参数检验效果非常好，其余各项检验均通过。 得分与上场时间有 明二者的数据极其接近，可以认为接近是一分钟得一分（当然排除截距项和失误与犯规）。同时可以看出失误与犯规与上场时间有较强的线性相关性。 该模型 说明，在 选择球员 时，可以 帮助 考虑 对该球员的使用安排问题。如果让球员 有较多的上场时间，就可以通过其得分与上场时间的关系比较观察球员得分效率，在减去一定的常数后，比值如果接近 1，说明接近平均水平，如果低于方程的拟合参数值，则说明该球员效率较低。用同样的方法可以观察失误和犯规的次数，来更加公平地评价球员。 防守方式 防守方面的主要观测指标是单场篮板数量和盖帽数量。通过二者的比较，可以观察球员的防守能力 平均单场篮板数量和平均单场盖帽数量之间也有较强的线性关系。该模型拟合效果较好，调整 项检验通过， 每项系数检验均为 该模型描述的是防守方面的数据，篮板分为前场篮板与后场篮板，篮板的数量和盖帽的数量基本描述了内线球员的防守能力，这个模型可以排除其他因素影响，对内线球员有一个单独而客观的评价，这些数据能够反映，篮板数量越多的球员盖帽数量越多。 通过对模型的分析，除了选择篮板数量和盖帽数量高的球员，可以提示球队老板和教练对二者的关系进行考察，仔细 考虑球员防守能力。 六、 结论 与 建议 通过以上详细的 建模 分析，可以发现在 分析结果看， 球员的差异很大，影响因素很多，加上篮球本身就是一种配合运动 ，官网的 基本指标 （直接观测值） 显得略有不足。 中，明星效应也是难以衡量的，比如我们熟悉的姚明，可能从数据上看，他比一些普通球员