2016年武汉市高考模拟文科数学试卷（5月份）含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年湖北省武汉市高考数学模拟试卷（文科）（ 5 月份） 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1已知复数 z 满足方程 z（ 4 3i） =3+4i，则 z 的虚部为（ ） A 1B 1C i 2已知集合 P=0， 1， 2， Q=y|y=3x，则 PQ=（ ） A 0， 1， 2B 0， 1C 1， 2D 3命题 p：若 x y；命题 q： x2+列命题为假命题的是（ ） A p 或 p 且 p 4要得到函数 的图象，只需将 y=图象（ ） A向左平移 个单位 B向右平移 个单位 C向左平移 个单位 D向右平移 个单位 5函数 y=区间（ ， ）上的图象大致是（ ） A B C D 6等差数列 前 n 项和为 1= 4， ， =6，则 m=（ ） A 3B 4C 5D 6 7若函数 y=2x， y）满足约束条件 则实数 m 的最大值为（ ） A 2B C 1D 8某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ） A 28+6 B 30+6 C 56+12 D 60+12 9执行如图的程序框图，输出的 T 的值为（ ） 第 2 页（共 19 页） A 12B 20C 30D 42 10在 ， A= ， ，则 C 的长可表示为（ ） A 4 B+ ） B 6B+ ） C 4 B+ ） D 6B+ ） 11过双曲线 =1（ a 0， b 0）的一个焦点 F 的直线与双曲 线相交于 A， B 两点，当 x 轴，称 |双曲线的通径若过焦点 F 的所有焦点弦 ，其长度的最小值为 ，则此双曲线的离心率的范围为（ ） A（ 1， ） B（ 1， C（ ， +） D ， +） 12设 a 为实数，且函数 f（ x） =（ a+ a 1 有零点，则 a 的取值范围是（ ） A（ ， 1 ） B 1+ ， 1 C 1+ ， +） D 1 ， 1+ 1 ， 1+ 二、填空题 :本大题共 4小题。每小题 5分。 13已知向量 =（ 2， m+1）， =（ m+3， 4），且（ + ） （ ），则 m= 14一首诗词巍巍宝塔中写道： “遥望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯 ” 根据诗词中的描述，算出塔尖的灯数为 15设奇函数 y=f（ x）（ xR），满足对任意 tR 都有 f（ t） =f（ 1 t），且 时，f（ x） = 的值等于 16过点（ ， 0）引直线 l 与曲线 y= 相交于 A， B 两点， O 为坐标原点，当 线 l 的斜率为 第 3 页（共 19 页） 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17已知 内角 A， B， C 的三条对边分别为 a， b， c，且 b（ 3b c） （ ）求 （ ）若 面积为 2 ，且 上的中线 长为 2 ，求 b， c 的值 18如表为吸烟与患病之间的二联表： 患病（人数） 不患病（人数） 合计 吸烟（人数） a b a+b 不吸烟（人数） c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d 根据如表，回答下列问题： （ ）试根据上表，用含 a， b， c， d， n 的式子表示人群中患病的频率为 ；在（ a+b）个人中患病的频数为 ；在（ a+b）个人中不患病的频数 为 ；在（ c+d）个人中患病的频数为 ；在（ c+d）人中不患病的频数为 （ ）根据 2= 以及临界值表，若 a=40， b=10， c=30， d=20，能否有 上的把握认为吸烟与患病有关？ P（ 20） 0 （ 20） 0 9如图，在长方体 D=1， ，一只蚂蚁沿侧面 点出发，经过棱 到达 蚂蚁所走的路程最短时， （ ）求 长； （ ）求证： 平面 20已知函数 f（ x） =aR）的图象在点（ 1， f（ 1）处的切线与直线 x+3y=0 垂直 （ ）求实数 a 的值； （ ）若存在 kZ，使得 f（ x） k 恒成 立，求 k 的最大值 21已知椭圆 C： + =1 的短轴长为 2，离心率 （ ）求椭圆 C 的标准方程； （ ） ，若 点 P 的轨迹 E 的方程； 第 4 页（共 19 页） （ ）若 于 E 与 积的最大值 请 考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 22如图， O 过平行四边形 三个顶点 B， C， T，且与 切，交 延长线于点 D （ 1）求证： =D； （ 2） E、 F 是 三等分点，且 F，求 A 选修 4标系与参数方程 23在平面直角坐标系中，以原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位已知曲线 C 的极坐标方程为 =2线 l 的参数方程为（ t 为参数， 为直线的倾斜角） （ I）写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （ ）若直线 l 与曲线 C 有唯一的公共点，求角 的大小 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|2x a|+|x 1| （ 1）当 a=3 时，求不等式 f（ x） 2 的解集； （ 2）若 f（ x） 5 x 对 xR 恒成立，求实数 a 的取值范围 第 5 页（共 19 页） 2016 年湖北省武汉市高考数学模拟试卷（文科）（ 5 月份） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1已知复数 z 满足方程 z（ 4 3i） =3+4i，则 z 的虚部为（ ） A 1B 1C i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】 解：由 z（ 4 3i） =3+4i，得 ， z 的虚部为 1 故选： A 2已知集合 P=0， 1， 2， Q=y|y=3x，则 PQ=（ ） A 0， 1， 2B 0， 1C 1， 2D 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 Q 中 y 的范围确定出 Q，找出 P 与 Q 的交集即可 【解答】 解： 集合 P=0， 1， 2， Q=y|y=3x=y|y 0， PQ=1， 2， 故选： C 3命题 p：若 x y；命题 q： x2+列命题为假命题的是（ ） A p 或 p 且 p 【考点】 复合命题的真假 【分析】 根据正弦函数的图象即可判断出 ，不一定得到 x y，所以说命题 根据基本不等式即可判断出命题 q 为真命题，然后根据 p， p 或 q， p 且 q 的真假和 p， q 真假的关系即可找出正确选项 【解答】 解： x= ， y=，满足 x y； 命题 p 是假命题； x2+是基本不等式； 命题 q 是真命题； p 或 q 为真命题， p 且 q 为假命题， q 是真命题， p 是真命题； 是假命题的是 B 故选 B 4要得到函数 的图象，只需将 y=图象（ ） A向左平移 个单位 B向右平移 个单位 第 6 页（共 19 页） C向左平移 个单位 D向右平移 个单位 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 利用平移原则求解即可得解 【解答】 解：函数 y= ） = x ）， 只需将 y=x 的图象向右平移 个单位，即可得到函数 y= ）的图象， 故选： B 5函数 y=区间（ ， ）上的图象大致是（ ） A B C D 【考点】 函数的图象 【分析】 先研究函数的奇偶性、再判断函 数的单调性，即可得出结论 【解答】 解：由于 f（ x） = f（ x） =ln x） =f（ x）， 函数是偶函数，排除 B， D； 又函数在（ 0， ）上单调递减，排除 C 故选： A 6等差数列 前 n 项和为 1= 4， ， =6，则 m=（ ） A 3B 4C 5D 6 【考点】 等差数列的通项公式 【分析】 由 与 而得到公差 d，由前 n 项和公式及 可求得 由通项公式及 可得 m 值 【解答】 解： m 1=4， = ， 公差 d= ， 由 ， 得 a1+，则 4， 4+（ m 1） 2=4，解得 m=5， 故选： C 7若函数 y=2x， y）满足约束条件 则实数 m 的最大值为（ ） 第 7 页（共 19 页） A 2B C 1D 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，由指数函数的性质分析可得函数 y=2y=3 交与点（ 1， 2），结合图形分析可得 m 的最大值，即可得答案 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图，即 边与其内部区域， 当函数 y=2x+y=3 交与点 A 时，满足条件， 由 ，解得 ，即 A（ 1， 2）， 若函数 y=2x， y）满足约束条件， 即 y=2 则必有 m1，即实数 m 的最大值为 1， 故选： C 8某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ） A 28+6 B 30+6 C 56+12 D 60+12 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可 【解答】 解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为 4 和 5 的三角形， 一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为 4，底边长为 5，如图， 所以 S 底 = =10， S 后 = ， 第 8 页（共 19 页） S 右 = =10， S 左 = =6 几何体的表面积为： S=S 底 +S 后 +S 右 +S 左 =30+6 故选： B 9执行如图的程序框图，输出的 T 的值为（ ） A 12B 20C 30D 42 【考点】 程序框图 【分 析】 根据程序框图，按照其流程运算，并输出结果 【解答】 解：根据程序框图，运行如下： S=0 N=0 T=0 S=5 N=2 T=2 S=10 N=4 T=6 S=15 N=6 T=12 S=20 N=8 T=20 S=25 N=10 T=30 此时 T S 故输出 T=30 第 9 页（共 19 页） 故选 C 10在 ， A= ， ，则 C 的长可表示为（ ） A 4 B+ ） B 6B+ ） C 4 B+ ） D 6B+ ） 【考点】 正弦定理 【分析】 由正弦定理可得： B）， 用三角函数恒等变换的应用化简即可得解 【解答】 解：在 ， A= ， ， C= B， 由正弦定理得： = =2 ，整理得： B）， C=2 B） +2 B） +2 （ =6B+ ） 故选： D 11过双曲线 =1（ a 0， b 0）的一个焦点 F 的直线与双曲线相交于 A， B 两点，当 x 轴，称 |双曲线的通径若过焦点 F 的所有焦点弦 ，其长度的最小值为 ，则此双曲线的离心率的范围为（ ） A（ 1， ） B（ 1， C（ ， +） D ， +） 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 当经过焦点 F 的直线与双曲线的交点在同一支上，可得双曲线的通径最小；当直线与双曲线的交点在两支上，可得直线的斜率为 0 时，即为实轴，最小为 2a由 2a ，结合 a， b， c 的关系和离心率公式，计算即可得到范围 【解答】 解：当经过焦点 F 的直线与双曲线的交点在同一支上， 可得双曲线的通径最小，令 x=c，可得 y=b = ， 即有最小值为 ； 当直线与双曲线的交点在两支上，可得直线的斜率为 0 时， 即为实轴，最小为 2a 第 10 页（共 19 页） 由题意可得 2a ， 即为 a2b2= 即有 c a， 则离心率 e= （ 1， 故选： B 12设 a 为实数，且函数 f（ x） =（ a+ a 1 有零点，则 a 的取值范围是（ ） A（ ， 1 ） B 1+ ， 1 C 1+ ， +） D 1 ， 1+ 1 ， 1+ 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 结合选项，对选项中的 a=0 和 a=1 进行排除验 证，从而确定 D 是正确的 【解答】 解：当 a=0 时， f（ x） = 1 1 得 2（舍）所以 a=0 不成立，排除 B 当 a=1 时 f（ x） = t=x+ ） ， 2 所以 g（ t） =t = t2+t = （ t+1） 2 1 t ， 由图象知 g（ t）在 ， 上有零点 所以 a=1 成立排除 A， C 故选 D 二、填空题 :本大题共 4小题。每小题 5分。 13已知向量 =（ 2， m+1）， =（ m+3， 4），且（ + ） （ ），则 m= 5 或 1 【考点】 平面向量共线（平行）的坐标表示 【分析】 根据平面向量的坐标运算与共线定理的坐标表示，列出方程即可求出 m 的值 【解答】 解：向量 =（ 2， m+1）， =（ m+3， 4）， （ + ） =（ m+5， m+5）， （ ） =（ m 1， m 3）， 又（ + ） （ ）， （ m+5）（ m 3）（ m+5）（ m 1） =0， 解得 m= 5 或 m=1 故答案为： 5 或 1 14一首诗词巍巍宝塔中写道： 第 11 页（共 19 页） “遥望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯 ” 根据诗词中的描述，算出塔尖的灯数为 3 【考点】 等比数列的前 n 项和 【分析】 设每层的灯数组成等比数列 81，公比 q=2利用等比数列的前 n 项和公式即可得出 【解答】 解：设每层的灯数组成等比数列 81，公比 q=2 =381， 解得 故答案为： 3 15设奇函数 y=f（ x）（ xR），满足对任意 tR 都有 f（ t） =f（ 1 t），且 时，f（ x） = 的值等于 4 【考点】 函数的值；函数解析式的求解及常用方法 【分析】 由题设知 f（ 3） =f（ 1 3） =f（ 2） = f（ 2） = f（ 1 2） = f（ 1） =f（ 1）=f（ 0） =0. = = = = = 所以= 【解答】 解： 奇函数 y=f（ x）（ xR），满足对任意 tR 都有 f（ t） =f（ 1 t） ， 且 时， f（ x） = f（ 3） =f（ 1 3） =f（ 2） = f（ 2） = f（ 1 2） = f（ 1） =f（ 1） =f（ 0） =0 = = = = = = 故答案为： 16过点（ ， 0）引直线 l 与曲线 y= 相交于 A， B 两点， O 为坐标原点，当 线 l 的斜率为 3 【考点】 直线与 圆的位置关系 【分析】 通过曲线方程确定曲线表示单位圆在 x 轴上方的部分（含于 x 轴的交点），直线与曲线有两个交点，且直线不与 x 轴重合，从而确定直线斜率 1 k 0，用含 k 的式子表示出三角形 面积，利用二次函数求最值，确定直线斜率 k 的值 【解答】 解：由 y= 得 x2+（ y0） 曲线 y= 表示単位圆在 x 轴上方的部分（含于 x 轴的交点） 第 12 页（共 19 页） 由题知，直线斜率存在，设直线 l 的斜率为 k， 若直线与曲线 有两个交点，且直线不与 x 轴重合，则 1 k 0 直线 l 的方程为： y 0=k（ x ），即 y k=0 则圆心 O 到直线 l 的距离 d= 直线 l 被半圆所截得的弦长为 |2 =2 面积 S= 2 令 =t，则 S= 当 t= ，即 = 时， S 此时， 1 k 0， k= 故答案为： 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17已知 内角 A， B， C 的三条对边分别为 a， b， c，且 b（ 3b c） （ ）求 （ ）若 面积为 2 ，且 上的中线 长为 2 ，求 b， c 的值 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ I）由 b（ 3b c） =得：（ 3b c） 正弦定理可得： 3简整理即可得出 （ ， A（ 0， ），可得 = ，又 ，可得，利用余弦定理可得： 2 为 4b2+0，联 立解出即可得出 【解答】 解：（ I） b（ 3b c） =得：（ 3b c） 由正弦定理可得： 3 3C+A） = B（ 0， ）， ， 可得 （ ， A（ 0， ）， = ， 第 13 页（共 19 页） ， ， 于是： 2 化为 4b2+0，与 联立， 解得 b=1， c=6，或 b=3， c=2 18如表为吸烟与患病之间的二联表： 患病（人数） 不患病（人数） 合计 吸烟（人数） a b a+b 不吸烟（人数） c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d 根据如表，回答下列问题： （ ）试根据上表，用含 a， b， c， d， n 的式子表示人群中患病的频率为 a+cn ；在（ a+b）个人中患病的频数为 a+b）（ a+c） n ；在（ a+b）个人中不患病的频数为 a+b）（ b+d） n ；在（ c+d）个人中患病的频数为 a+c）（ c+d） n ；在（ c+d）人中不患病的频数为 b+d）（ c+d） n （ ）根据 2= 以及临界值表，若 a=40， b=10， c=30， d=20，能否有 上的把握认为吸烟与患病有关？ P（ 20） 0 （ 20） 0 考点】 独立性检验的应用 【分析】 （ ）根据表中数据，可完成填空； （ ） a=40， b=10， c=30， d=20，根据 2= = 可得出结论 【解答】 解：（ ）人群中患病的频率为 ；在（ a+b）个人中患病的 频数为 ；在（ a+b）个人中不患病的频数为 ；在（ c+d）个人中患病的频数为 ；在（ c+d）人中不患病的频数为 ； （ ） a=40， b=10， c=30， d=20，根据 2= = 没有 上的把握认为吸烟与患病有关 故答案为： ； ； ； ； 第 14 页（共 19 页） 19如图，在长方体 D=1， ，一只蚂蚁沿侧面 点出发，经过棱 到达 蚂蚁所走的路程最短时， （ ）求 长； （ ）求证： 平面 【考点】 直线与平面垂直的判定；棱柱的结构特征 【分析】 （ ）将长方体展开，根据两点之间线段最短可得 M 为 点，蚂蚁所走的路径最短，利用勾股定理即可计算 值 （ ）由题意，计算可得 1； 1，利用勾股定理即可证明 而判定 平面 【解答】 解：（ ） 在长方体 D=1， ， 将侧面 开到平面 结 M，此时 M 为 点，蚂蚁所走的路径最短 = （ ） 1； 1， 平面 20已知函数 f（ x） =aR）的图象在点（ 1， f（ 1）处的切线与直线 x+3y=0 垂直 （ ）求实数 a 的值； （ ）若存在 kZ，使得 f（ x） k 恒成立，求 k 的最大值 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 （ ）由图象在点（ 1， f（ 1）处的切线与直线 x+3y=0 垂直即函数 f（ x）的导函数在 x=1 处的函数值为 3，求出 a 的值； （ ）利用已知函数的单调性，构造 g（ x） =2x+，由 g（ x）的单调性得出 f（ x）的单调性，再由 f（ x） f（ x） 极小值 ，解决恒等式，从而求 出 k 的最大值 第 15 页（共 19 页） 【解答】 解：（ ） f（ x） = f（ x） =2ax+， 切线与直线 x+3y=0 垂直， 切线的斜率为 3， f（ 1） =3，即 2a+1=3，故 a=1； （ ）由（ ）知 f（ x） =x2+a（ 0， +）， f（ x） =2x+， x（ 0， +）， 令 g（ x） =2x+， x（ 0， +），则 g（ x） = +2， x（ 0， +）， 由 g（ x） 0 对 x（ 0， +）恒成立，故 g（ x）在（ 0， +）上单调递增， 又 g（ ） = 1 0， g（ ） =2 0， 存在 0， ）使 g（ =0 g（ x）在（ 0， +）上单调递增， 当 x（ 0， ， g（ x） =f（ x） 0， f（ x）在（ 0， 单调递减； 当 x（ +）时， g（ x） =f（ x） 0， f（ x）在（ +）上单调递增； f（ x）在 x=f（ f（ x） k 恒成立，所以 k f（ 由 g（ =0 得， 2x0+=0，所以 1 2 f（ = 1 2= ，又 0， ） f（ （ ， 0）， kZ， k 的最大值为 1 21已知椭圆 C： + =1 的短轴长为 2，离心率 （ ）求椭圆 C 的标准方程； （ ） ，若 点 P 的轨迹 E 的方程； （ ）若 于 E 与 积的最大值 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）运用椭圆的离心率公式和 a， b， c 的关系，解方程可得 a， b，进而得到椭圆方程； （ ）设 P（ m， n），切线的方程为 y n=k（ x m），代入椭圆方程，运用判别式为 0，结合两直线垂直的条件：斜率之积为 1，化简可得 P 的轨迹方程； 第 16 页（共 19 页） （ ）由题意可得 ，即有 用三角函数的二倍角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最大值 【解答】 解：（ ）由题意可得 2b=2，即 b=1， e= = ， ， 解得 a= ， b=1， 即有椭圆的方程为 +； （ ）设 P（ 切线的方程为 y y0=k（ x 可得 y= 代入椭圆方程 ， 即有（ 1+2k（ x+2（ 2 2=0， 由直线与椭圆相切，可得 =0， 即为 162 8（ 1+2（ 2 1=0， 化为 2） 21=0， 由 得 1， 即有 = 1， 化为 ， 可得点 P 的轨迹 E 的方程为圆 x2+； （ ） 于 与 得 设 ，即有 则 积为 S= 2 6 当 =45时， ， 即有 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 22如图， O 过平行四边形 三个顶点 B， C， T，且与 切，交 延长线于点 D （ 1）求证： =D； （ 2） E、 F 是 三等分点，且 F，求 A 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ 1）证明 T，结合切割线定理，即可证明结论； 第 17 页（共 19 页） （ 2）取 点 M，连接 得 O， D， T 三点共线， O 的直径，即可求 A 【解答】 （ 1）证明：因为 A= 所以 A= 以 T 又 =以 = （ 2）解：取 点 M，连接 由（ 1